Часто встречающиеся распределения дискретных случайных величин.

  

1. Закон распределения Бернулли.

Случайная величина ,распределена по закону Бернулли (индикаторная случайная величина) принимает значения -неудача и - успех, с вероятностями и  соответственно ( .

	0	1

 

,

 

2. Биноминальный закон распределения.

Случайная величина  принимает значения: 0,1,2,3,…, с вероятностью, определяемой по формуле Бернулли:

.

 

	0	1	2	…	n
				…

 

,

 

3. Закон распределения Пуассона.

Случайная величина принимает бесконечное счетное число значений: 0,1,2,… с вероятностью, определяемой по формуле Пуассона:

,

где - параметр распределения Пуассона.

 

	0	1	2	…	n
				…

 

, 

 

При  и  биноминальный закон приближается к закону распределения Пуассона, где .

 

4. Геометрический закон распределения.

Пусть - вероятность наступления события  в каждом опыте, соответственно, - вероятность не наступления события (схема Бернулли). Вероятность появления - неудач до первого появления события  определяется по формуле:

.

Случайная величина , распределяется по геометрическому закону.

 

	0	1	2	…	n
				…

 

, .

 

5.  Гипергеометрический закон распределения.

Случайная величина  с возможными значениями  имеет гипергеометрическое распределение с параметрами , если:

,

 

	0	1	2	…	n
				…

 

;

 

Примеры решения задач.

Задача.

 Монета бросается три раза. Случайная величина ={число выпавших гербов}. Построить для : 1) ряд распределения; 2) функцию распределения; 3) найти числовые характеристики.

Решение:

1) Случайная величина  имеет биноминальное распределение с параметрами: .

Случайная величина может принимать значения:0,1,2,3.

Полученные данные представим в виде таблицы распределения:

	0	1	2	3
P

Контроль: .

2) Функция распределения определяется по формуле: .

3) Числовые характеристики дискретной случайной величины :

.

 

 

Задачи для самостоятельного решения.

 

Задача 4.1.

В городе 10 коммерческих банков. У каждого риск банкротства в течение года составляет 10%. Составьте ряд распределения числа банков, кото­рые могут обанкротиться в течение следующего года; постройте его график. Найдите числовые ха­рактеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что в течение года обанкротятся не больше одного банка?

 

Задача 4.2.

В лотерее на 100 билетов разыгрываются две вещи, стоимости которых 210 и 60 у.е. Составьте ряд распределения суммы выигрыша для лица, имеющего: а) один билет; б) два билета. Стоимость билета - 3 у.е. Найдите числовые характеристи­ки этих распределений. Запишите в общем виде фун­кции распределений вероятностей и постройте их графики.

 

Задача 4.3.

 Нефтеразведывательная компания получила финансирование для проведения 6 нефтеразработок. Вероятность успешной нефтеразведки 0,05. Пред­положим, что нефтеразведку осуществляют незави­симые друг от друга разведывательные партии. Со­ставьте ряд распределения числа успешных нефтеразведок. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что как минимум 2 нефтеразведки принесут успех?

 

Задача 4.4

   Под руководством бригадира производствен­ного участка работают 3 мужчин и 4 женщины. Бригадиру необходимо выбрать двух рабочих для специальной работы. Не желая оказывать кому-либо предпочтения, он решил выбрать двух рабочих слу­чайно. Составьте ряд распределения числа женщин в выборке. Найдите числовые характеристики это­го распределения. Запишите в общем виде функ­цию распределения вероятностей и постройте ее график. Какова вероятность того, что будет выбра­но не более одной женщины?

 

Задача 4.5.

Некоторый ресторан славится хорошей кух­ней. Управляющий ресторана хвастает, что в суб­ботний вечер в течение получаса подходит до 9 групп посетителей. Составьте ряд распределения возмож­ного числа групп посетителей ресторана в течение получаса; постройте его график. Найдите число­вые характеристики этого распределения. Запиши­те в общем виде функцию распределения вероят­ностей и постройте ее график. Чему равна вероят­ность того, что 3 или более групп посетителей при­будут в ресторан в течение 10-минутного проме­жутка времени?

 

Задача 4.6.

 Хорошим считается руководитель, принима­ющий не менее 70% правильных решений. Тако­му управляющему банком предстоит принять ре­шения по 4 важным вопросам банковской полити­ки. Считая вероятность принятия правильного ре­шения постоянной, составьте ряд распределения возможного числа правильных решений управля­ющего; постройте его график. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что управляющий примет менее 3 правиль­ных решений?

 

Задача 4.7.

В банк поступило 30 авизо. Подозревают, что среди них 5 фальшивых. Тщательной проверке под­вергается 15 случайно выбранных авизо. Составьте ряд распределения числа фальшивых авизо, кото­рые могут быть выявлены в ходе проверки; пост­ройте его график. Найдите числовые характерис­тики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что в ходе проверки обнаружится менее 2 фальшивок?

 

Задача 4.8.

 В течение семестра преподаватели проводят консультации по вопросам, которые остались неясными для студентов. Преподаватель, проводящий консультации по статистике, заметил, что в сред­нем 8 студентов посещают его за час консультаци­онного времени, хотя точное число студентов, посе­щающих консультацию в определенный день, в на­значенный час, - случайная величина. Составьте ряд распределения числа студентов, посещающих консультации преподавателя по статистике в тече­ние часа. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что 3 студента при­дут на консультацию в течение определенного по­лучаса?

 

Задача 4.9.

В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает 5 счетов. При условии, что 3% счетов содержат ошиб­ки, составьте ряд распределения правильных сче­тов. Найдите числовые характеристики этого рас­пределения. Запишите в общем виде функцию рас­пределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что хотя бы 1 счет будет с ошибкой?

 

Задача 4.10.

Записи страховой компании показали, что 30% держателей страховых полисов старше 50 лет потребовали возмещения страховых сумм. Для про­верки в случайном порядке было отобрано 15 чело­век старше 50 лет, имеющих полисы. Составьте ряд распределения числа предъявленных претензий. Найдите числовые характеристики этого распреде­ления. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему рав­на вероятность того, что, по крайней мере, 10 чело­век потребуют возмещения страховых сумм?

 

Задача 4.11.

Экзаменационный тест содержит 15 вопро­сов, каждый из которых имеет 5 возможных отве­тов и только 1 из них верный. Предположим, что студент, который сдает экзамен, знает ответы не на все вопросы. Составьте ряд распределения числа пра­вильных ответов студента на вопросы теста и пост­ройте его график. Найдите числовые характерис­тики этого распределения. Запишите функцию рас­пределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что студент правиль­но ответит, по крайней мере, на 10 вопросов?

 

Задача 4.12.

Для того чтобы проверить точность своих финансовых счетов, компания регулярно пользуется услугами аудиторов для проверки бухгалтерских проводок счетов. Предположим, что служащие ком­пании при обработке входящих счетов допускают примерно 5% ошибок. Предположим, аудитор слу­чайно отбирает 3 входящих документа. Составьте ряд распределения числа ошибок, выявленных ауди­тором. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Определите ве­роятность того, что аудитор обнаружит более чем 1 ошибку.

 

Задача 4.13.

В городе 10 машиностроительных предприя­тий, из которых 6 - рентабельных и 4 - убыточ­ных. Программой приватизации намечено прива­тизировать 5 предприятий. При условии проведе­ния приватизации в случайном порядке составьте ряд распределения рентабельных предприятий, по­павших в число приватизируемых; постройте его график. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что будет приватизировано не ме­нее 4 рентабельных предприятий?

 

Задача 4.14

В международном аэропорту время прибы­тия самолетов различных рейсов высвечивается на электронном табло. Появление информации о раз­личных рейсах происходит случайно и независи­мо друг от друга. В среднем в аэропорт прибывает 10 рейсов в час. Составьте ряд распределения чис­ла сообщений о прибытии самолетов в течение часа. Найдите числовые характеристики этого распре­деления. Запишите функцию распределения веро­ятностей и постройте ее график, чему равна веро­ятность того, что в течение часа прибудут не менее 3 самолетов? Чему равна вероятность того, что в течение четверти часа не прибудет ни один само­лет?

 

Задача 4.15.

Телевизионный канал рекламирует новый вид детского питания. Вероятность того, что теле­зритель увидит эту рекламу, оценивается в 0,2. В случайном порядке выбраны 10 телезрителей. Со­ставьте ряд распределения числа лиц, видевших рекламу. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что, по крайней мере, 2 телезри­теля этого канала видели рекламу нового детского питания?

 

Задача 4.16.

В часы пик для общественного транспорта города происходит в среднем 2 дорожных проис­шествия в час. Утренний пик длится 1,5 ч, а ве­черний - 2ч. Составьте ряды распределения чис­ла дорожных происшествий в утренние и вечер­ние часы пик и постройте их графики. Найдите числовые характеристики этих распределений. Запишите функции распределений вероятностей и постройте их графики. Чему равна вероятность того, что в определенный день во время и утренне­го, и вечернего пика не произойдет ни одного до­рожного происшествия?

 

Задача 4.17.

В магазине имеется 15 автомобилей опреде­ленной марки. Среди них - 7 черного цвета, 6 - серого и 2 - белого. Представители фирмы обратились в магазин с предложением о продаже им 3 автомобилей этой марки, безразлично какого цве­та. Составьте ряд распределения числа проданных автомобилей черного цвета при условии, что авто­мобили отбирались случайно, и постройте его гра­фик. Найдите числовые характеристики этого рас­пределения. Напишите функцию распределения ве­роятностей и постройте ее график. Какова вероят­ность того, что среди проданных фирме автомоби­лей окажется, по крайней мере, 2 автомобиля чер­ного цвета?

 

Задача 4.18.

 На предприятии 1000 единиц оборудования определенного вида. Вероятность отказа единицы оборудования в течение часа составляет 0,001. Со­ставьте ряд распределения числа отказов оборудо­вания в течение часа. Найдите числовые характе­ристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и пост­ройте ее график. Чему равна вероятность того, что в течение часа откажут как минимум 2 единицы обо­рудования?

 

Задача 4.19.

  Торговый агент в среднем контактирует с 8 по­тенциальными покупателями в день. Из опыта ему известно, что вероятность того, что потенциальный покупатель совершит покупку, равна 0,1. Составь­те ряд распределения ежедневного числа продаж для агента и постройте его график. Найдите число­вые характеристики этого распределения. Запиши­те в общем виде функцию распределения вероятно­стей и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что у агента будут хотя бы 2 продажи в тече­ние дня?

 

Задача 4.20.

 Прибытие посетителей в банк подчиняется одному из теоретических законов распределения. Предполагая, что в среднем в банк каждые 3 мину­ты входит 1 посетитель, составьте ряд распределе­ния возможного числа посетителей банка в течение 15 мин. Найдите числовые характеристики этого распределения. Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график. Определите вероятность того, что, по крайней мере, 3 посетителя войдут в банк в течение 1 минуты?

 

6. Непрерывные случайные величины.

 

Случайная величина называется непрерывной, если:

1) все ее возможные значения непрерывно заполняют интервал .

2) ее функция распределения непрерывна на .

Вероятность попадания непрерывной случайной величины на участок от до  равна:

Плотность распределения непрерывной случайной величины есть производная от функции распределения: .

 

Свойства плотности распределения:

1)

2) .

Вероятность попадания непрерывной случайной величины на интервал  равна:

.

Функция распределения  непрерывной случайной величины выражается через ее плотность распределения:

Числовые характеристики:

1) .

2)

3)

 

---

Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 2517; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!