Алгоритм проверки статистических гипотез.



  1. Располагая выборочными данными , формируют нулевую гипотезу  и конкурирующую .
  2. Задают уровень значимости (обычно принимают ).
  3. Рассматривается критерий :

· нормальное распределение;

· распределение Пирсона;

· распределение Стьюдента;

· распределение Фишера-Снедокора.

  1. На основании выборки определяют значение критерия  (см. приложения 4-6)

 

Пример решения задачи

 

Задача.

Оценить существенность различий в средней урожайности двух сортов пшеницы, если для первого сорта средняя урожайность ц/га и выборочная дисперсия , а для второго сорта средняя урожайность  и выборочная дисперсия . Объемы выборок  и соответственно. Считать, что совокупности распределены нормально и генеральные дисперсии известны (независимые выборки). Принять уровень значимости .

 

Решение:

Выдвигаем нулевую гипотезу о том, что средние урожайности двух сортов пшеницы не отличаются друг от друга, т.е. , при альтернативной гипотезе - урожайности существенно различны.

Так как выборки независимы, причем , то применим критерий Стьюдента с степенями свободы, где .

По приложению……

 

По приложению 4 определим критическое значение t- распределения для двусторонней области: .

Так как , то нулевую гипотезу следует отклонить. Следовательно, два сорта пшеницы отличаются значимо по величине урожайности.

 

 

Задачи для самостоятельного решения.

 

Задача 8.1

  Компания, производящая средства для потери веса, утверждает, что прием таблеток в сочетании со специальной диетой позволяет сбросить в сред­нем в неделю 400 г. Веса. Случайным образом ото­браны 25 человек, использующих эту терапию, и обнаружено, что в среднем еженедельная потеря в весе составила 430 г. Со средним квадратическим отклонением 110 г. Проверьте гипотезу о том, что средняя потеря в весе составляет 400 г. Уровень значимости .

 

Задача 8.2

 Поступление страховых взносов в 130 филиа­лов страховых организаций в регионе А составило 26*104 у.е., в регионе В на 100 филиалов пришлось 18*104 у.е. Дисперсия величины страховых взно­сов в регионе А равна 39*108 (у. е.)2, в регионе В25*108 (у. е.)2. На уровне значимости  опре­делите, существенно ли различается средняя ве­личина поступления страховых взносов в регионах А и В из расчета на 1 филиал.

 

Задача 8.3

Компания утверждает, что новый вид зубной пасты для детей лучше предохраняет зубы от кари­еса, чем зубные пасты, производимые другими фир­мами. Для проверки эффекта в случайном порядке была отобрана группа из 400 детей, которые пользо­вались новым видом зубной пасты. Другая группа из 300 детей, также случайно выбранных, в это же время пользовалась другими видами зубной пасты. После окончания эксперимента было выяснено, что у 30 детей, использующих новую пасту, и 25 детей из контрольной группы появились новые признаки кариеса. Имеются ли у компании достаточные ос­нования для утверждения о том, что новый сорт зубной пасты эффективнее предотвращает кариес, чем другие виды зубной пасты? Принять уровень значимости .

 

Задача 8.4

  В 1995 г. Число договоров добровольного стра­хования, заключенных государственными страхо­выми организациями, составило в Ростовской об­ласти 1858*103 на сумму 7461*106 руб. Негосудар­ственные страховые организации заключили 1250*104 договоров добровольного страхования на сумму 34884*106 руб. Предположительно дисперсия страховой суммы договоров, заключенных государственными страховыми организациями, равна 1016 руб.2, а договоров, заключенных негосударственными страховыми организациями, - 8*1017 руб.2. Имеются ли существенные различия в средних раз­мерах страховых сумм договоров добровольного страхования, заключаемых государственными и не­государственными страховыми организациями? Уровень значимости  принять равным 0,01.

 

Задача 8.5

Крупный коммерческий банк заказал марке­тинговое исследование по выявлению эффекта «пре­мирования» (калькулятор, набор ручек и др.) как стимула для открытия счета в банке. Для проверки случайным образом было отобрано 200 «премиро­ванных» посетителей и 200 «непремированных». В результате  выяснилось, что 89% посетителей, ко­торым  предлагалась премия, и 79% посетителей, которым не предлагалась премия, открыли счет в банке в течение 6 мес. Используя эти данные, про­верьте гипотезу о том, что доля «премированных» посетителей, открывших счет в банке, статистичес­ки существенно отличается от удельного веса «не­премированных» посетителей, открывших счет в банке. Принять уровень значимости .

 

Задача 8.6

Инженер по контролю качества проверяет сред­нее время горения нового вида электроламп. Для проверки в порядке случайной выборки было ото­брано 100 ламп, среднее время горения которых со­ставило 1075 ч. Предположим, что среднее квадратическое отклонение времени горения для генераль­ной совокупности известно и составляет 100 ч. Ис­пользуя уровень значимости , проверьте ги­потезу о том, что среднее время горения ламп – более 1 000 ч.

Предположим, что инженер по контролю каче­ства не имеет информации о генеральной диспер­сии и использует выборочное среднее квадратическое отклонение. Изменится ли ответ задачи?

 

Задача 8.7

Компания, выпускающая в продажу новый сорт растворимого кофе, провела проверку вкусов поку­пателей по случайной выборке из 400 человек и вы­яснила, что 220 из них предпочли новый сорт всем остальным. Проверьте на уровне значимости  гипотезу о том, что, по крайней мере, 52% потреби­телей предпочтут новый сорт кофе.

 

Задача 8.8

 Страховая компания изучает вероятность до­рожных происшествий для подростков, имеющих мотоциклы. За прошедший год проведена случай­ная выборка 2 000 страховых полисов подростков-мотоциклистов и выявлено, что 15 из них попада­ли в дорожные происшествия и предъявили компании требование о компенсации за ущерб. Может ли аналитик компании отклонить гипотезу о том, что менее 1% всех подростков-мотоциклистов, имею­щих страховые полисы, попадали в дорожные про­исшествия в прошлом году? Принять уровень зна­чимости .

 

Задача 8.9

Новое лекарство, изобретенное для лечения атеросклероза, должно пройти экспериментальную, проверку для выяснения возможных побочных эффектов. В ходе эксперимента лекарство принимали 4 тыс. мужчин и 5 тыс. женщин. Результаты выявили, что 60 мужчин и 100 женщин испытывали побочные эффекты при приеме нового медикамен­та. Можем ли мы на основании эксперимента ут­верждать, что побочные эффекты нового лекарства у женщин проявляются в большей степени, чем у мужчин? Принять уровень значимости .

 

Задача 8.10

В 1995 г. В Ростовской области обследовано 12 промышленных предприятий и 14 строительных (подрядных) организаций. Средняя балансовая при­быль промышленных предприятий оказалась равной 25*107pyб., а строительных организаций – 12*108 руб. Исправленная выборочная дисперсия прибыли про­мышленных предприятий составила 64*1016 руб.2, строительных организаций – 16*1016 руб.2. На уров­не значимости  определите, являются ли различия в результатах финансовой деятельности промышленных предприятий и строительных орга­низаций случайными.

 

Задача 8.11

На 1 января 1996 г. Численность беженцев в Ростовской области составляла 32 412 чел. При об­щей численности наличного населения 4425400 чел. В Краснодарском крае на 5043900 чел. На­личного населения приходилось 30423 беженца. На уровне значимости  ответьте на вопрос: «Объясняется ли более высокий удельный вес бе­женцев в общей численности населения в Ростов­ской области в сравнении с Краснодарским краем случайными факторами или имеет смысл поиск факторов, обусловивших это явление?»

 

Задача 8.12

Компания по производству безалкогольных напитков предполагает выпустить на рынок новую модификацию популярного напитка, в котором са­хар заменен сукразитом. Компания хотела бы быть уверенной в том, что не менее 70% ее потребителей предпочтут новую модификацию напитка. Новый напиток был предложен на пробу 2 тыс. чел., и 1422 из них сказали, что он вкуснее старого. Может ли компания отклонить предположение о том, что толь­ко 70% всех ее потребителей предпочтут новую мо­дификацию напитка старой? Принять уровень зна­чимости .

 

Задача 8.13

Производители нового типа аспирина утвер­ждают, что он снимает головную боль за 30 мин. Случайная выборка 100 чел., страдающих голов­ными болями, показала, что новый тип аспирина снимает головную боль за 28,6 мин при среднем квадратическом отклонении 4,2 мин. Проверьте на уровне значимости  справедливость утверж­дения производителей аспирина о том, что это ле­карство излечивает головную боль за 30 мин.

 

Задача 8.14

   Доля убыточных предприятий в промышлен­ности в целом по России в 1995 г. Составила 26%, а в Ростовской области – 27%. В 1995 г. В Ростов­ской области насчитывалось 7579 промышленных предприятий. На уровне значимости  опре­делите, являются ли различия в удельном весе убы­точных промышленных предприятий в России и в Ростовской области случайными или в Ростовской области действует комплекс экономических усло­вий, обусловливающих повышенную долю нерен­табельных предприятий?

 

Задача 8.15

В 1995 г. Доля предприятий государственной формы собственности в Ростовской области соста­вила 2,3% от общего числа промышленных пред­приятий. Среди 2236 машиностроительных и ме­таллообрабатывающих предприятий она оказалась равной 2,1%. На уровне значимости

 опре­делите, существенно ли меньше удельный вес госу­дарственных предприятий в машиностроении и ме­таллообработке, чем в целом в промышленности области?

 

Задача 8.16

В 1996 г. Годовой оборот 4 бирж в регионе А составил 12*104 у.е.; в регионе В годовой оборот 5 бирж — 125*103 у. е. Исправленная выборочная дисперсия оборота в регионе А оказалась равной З*104(у.е.)2, в регионе В – 2*104 (у. е.)2. Можно ли на уровне значимости  утверждать, что средний оборот бирж в регионе А больше, чем в регионе В?

 

Задача 8.17

Компания, занимающаяся консультировани­ем в области инвестиций, заявляет, что среднего­довой процент по акциям определенной отрасли промышленности составляет 11,5%. Инвестор, желая проверить истинность этого утверждения, на основе случайной выборки 50 акций выявил, что среднегодовой процент по ним составил 10,8% с исправленным средним  квадратическим  отклоне­нием 3,4%. На основе имеющейся информации определите, имеет ли инвестор достаточно основа­ний, чтобы опровергнуть заявление компании? При­нять уровень значимости .

 

Задача 8.18

Производитель некоторого вида продукции утверждает, что 95% выпускаемой продукции не имеют дефектов.  Случайная выборка 100 изделий показала, что только 92 из них свободны от дефек­тов. Проверьте справедливость утверждения произ­водителя продукции на уровне значимости .

 

Задача 8.19

Главный бухгалтер большой корпорации про­вел обследование по данным прошедшего года с целью выяснения доли некорректных счетов. Из 2000 выбранных счетов в 25 оказались некоррект­ные проводки. Для уменьшения доли ошибок он внедрил новую систему. Год спустя он решил про­верить, как работает новая система, и выбрал для проверки в порядке случайного отбора 3000 счетов компании. Среди них оказалось 30 некорректных. Можем ли мы утверждать, что новая система по­зволила уменьшить долю некорректных проводок в счетах? Принять уровень значимости .

 

Задача 8.20

Владелец фирмы считает, что добиться более высоких финансовых результатов ему помешала неравномерность поставок комплектующих по ме­сяцам года, несмотря на то, что поставщик в пол­ном объеме выполнил свои обязательства за год. Поставщик утверждает, что поставки были не так уж неравномерны. Распределение поставок по ме­сяцам года имеет следующий вид:

Месяц 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Объем поставок, единиц 19 23 26 18 20 20 20 20 32 27 35 40

На уровне значимости  определите, кто прав: владелец фирмы или поставщик? Изменится ли ответ на поставленный вопрос, если уровень значимости принять равным 0,01? Объясните результаты.

 

 

Литература

1. Гмурман Г.Е.

Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов.-М.:Высшая школа,2003

2. Гмурман Г.Е.

Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для студентов вузов. Изд.5-е, стер.-М.: Высшая шк.,2000.

3. Горелова Г.В., Кацко И.А.

Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Eхcel: Учебное пособие для вузов/Серия «Высшее образование».-Ростов н/Д: Феникс,2005.

4. Закс Л.

Статистическое оценивание. Пер. с нем. В.М.Варыгина. Под ред. Ю.Адлера, В.Г.Горского. М., «Статистика», 1976.

5. Кремер Н.Ш.

Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов.- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000.

6. Пустыльнк Е.И.

Статистические методы анализа и обработки наблюдений. М.: Наука, 1968.

 

 

Приложения.

Приложение 1

 

Значения функций

 и

 

0,00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 0,10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 0.20 21 22 23 24 25 26 27 28 29   0,3989 3989 3989 3988 3986 3984 3982 3980 3977 3973 0,3970 3964 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918 0,3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825 0,000 0040 0080 0120 0160 0199 0239 0279 0319 0359 0,0398 0438 0478 0517 0557 0596 0636 0675 0714 0753 0,0793 0832 0871 0910 0948 0987 1026 1064 1103 1141   0,30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 0,40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 0.50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 0,3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697 0.3683 3668 3652 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538 0,3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352   0,1179 1217 1255 1293 1331 1368 1406 1443 1480 1517 0,1554 1591 1628 1664 1700 1736 1772 1808 1844 1879 0,1915 1950 1985 2019 2054 2088 2123 2157 2190 2224 0,60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 0,70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 0,80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 0,3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144 0,3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 2920 0,2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685   0,2257 2291 2324 2357 2389 2422 2454 2486 2517 2549 0,2580 2611 2642 2673 2703 2734 2764 2794 2823 2852 0,2881 2910 2939 2967 2995 3023 3051 3078 3106 3133

 

Продолжение приложения 1

.

0,90  91 92 93 94 95 96 97 98 99 1,00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1,10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1,20 21 22 23 24 25 26 27  0,2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203 0,2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965 0,1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 0,3159 3186 3212 3238 3264 3289 3315 3340 3365 3389 0,3413 3438 3461 3485 3508 3531 3554 3577 3599 3621 0,3643 3665 3686 3708 3729 3749 3770 3790 3810 3830 0,3849 3869 3883 3907 3925 3944 3962 3980 28 29 1,30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 1,40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 1,50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 1,60 61 62 63 64 65 1758 1736 0,1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518 0,1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315 0,1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127 0,1109 1092 1074 1057 1040 1023 3997 4015 0,4032 4049 4066 4082 4099 4115 4131 4147 4162 4177 0,4192 4207 4222 4236 4251 4265 4279 4292 4306 4319 0,4332 4345 4357 4370 4382 4394 4406 4418 4429 4441 0,4452 4463 4474 4484 4495 4505 66 67 68 69 1,70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 1,80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 1,90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 2,00 02 04 06 1006 0989 0973 0957 0,0940 0925 0909 -893 0878 0863 0848 0833 0818 0804 0,0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669 0,0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551 0,0540 0,0519 0498 04788 4515 4525 4535 4545 0,4554 4564 4573 4582 4591 4599 4608 4616 4625 4633 0,4641 4649 4656 4664 4671 4678 4686 4693 4699 4706 0,4713 4719 4726 4732 4738 4744 4750 4756 4761 4767 0,4772 4783 4793 4803

 

Продолжение приложения 1

 

 08 10 12 14 16 18 2,20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 2,40 42 44 46 0459 0440 0422 0404 0387 0371 0,0355 0339 0325 0310 0297 0283 0270 0258 0246 0235 0,0224 0213 0203 0194 4812 4821 4830 4838 4846 4854 0,4861 4868 4875 4881 4887 4893 4898 4904 4909 4913 0,4918 4922 4927 4931 48 50 52 54 56 58 2,60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 2,80 82 84 86   0184 0175 0167 0158 0151 0143 0,0136 0129 0122 0116 0110 0104 0099 0093 0088 0084 0,0079 0075 0071 0067 4934 4938 4941 4945 4948 4951 0,4953 4956 4959 4961 4963 4965 4967 4969 4971 4973 0,4974 4976 4977 4979 88 90 92 94 96 98 3,00 3,10 3,20 3,30 3,40 3,50 3,60 3,70 3,80 3,90 4,00 4,50 5,00 0063 0060 0056 0053 0050 0047 0,00443 00327 00238 00172 00123 00087 0061 00042 00029 00020 0,0001338 0000160 0000015 4980 4981 4982 4984 4985 4986 0,49865 49903 49931 49952 49966 49977 499841 49989 499928 49995 499968 499997 499999

 

Приложение 2

Таблица значений .

       0,95 0,99 0,999       0,95 0,99 0,999
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2,78 2,57 2,45 2,37 2,31 2,26 2,23 2,20 2,18 2,16 2,15 2,13 2,12 2,11 2,10 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 3,17 3,11 3,06 3,01 2,98 2,95 2,92 2,90 2,88 8,61 6,86 5,96 5,41 5,04 4,78 4,59 4,44 4,32 4,22 4,14 4,07 4,02 3,97 3,92 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100 120 2,093 2,064 2,045 2,032 2,023 2,016 2,009 2,001 1,996 1,991 1,987 1,984 1,980 1,960   2,861 2,797 2,756 2,720 2,708 2,692 2,679 2,662 2,649 2.640 2,633 2,627 2,617 2,576   3,883 3,745 3,659 3,600 3,558 3,527 3,502 3,464 3,439 3,418 3,403 3,392 3,374 3,291  

 

 

Приложение 3

 

Таблица значений .

       0,95 0,99 0,999       0,95 0,99 0,999
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1,37 1,09 0,92 0,80 0,71 0,65 0,59 0,55 0,52 0,48 0,46 0,44 0,42 0,40 0,39 2,67 2,01 1,62 1,38 1,20 1,08 0,98 0,90 0,83 0,78 0,73 0,70 0,66 0,63 0,60 5,64 3,88 2,98 2,42 2,06 1,80 1,60 1,45 1,33 1,23 1,15 1,07 1,01 0,96 0,92 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100 150 200 250 0,37 0,32 0,28 0,26 0,24 0,22 0,21 0,188 0,174 0,161 0,151 0,143 0,115 0,099 0,089 0,58 0,49 0,43 0,38 0,35 0,32 0,30 0,269 0,245 0,226 0,211 0,198 0,160 0,136 0,120 0,88 0,73 0,63 0,56 0,50 0,46 0,43 0,38 0,34 0,31 0,29 0,27 0,211 0,185 0,162

 

Приложение 4

Критические точки t-распределения Стьюдента.

Число степеней свободы

Уровень значимости (двусторонняя критическая область)

0,10 0,05 0,02

0,01

0,002

0,001

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 6,31 2,92 2,35 2,13 2,01 1,94 1,90 1,86 1,83 1,81 1,80 1,78 1,77 1,76 1,75 1,75 1,74 1,73 1,73 1,73 1,72 1,72 1,71 1,71 1,71 1,71 1,70 1,70 1,70 1,70 1,68 1,67 1,66 1,65 12,71 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,37 2,31 2,26 2,23 2,20 2,18 2,16 2,15 2,13 2,12 2,11 2,10 2,09 2,09 2,08 2,07 2,07 2,06 2,06 2,06 2,05 2,05 2,05 2,04 2,02 2,00 1,98 1,96 31,82 6,97 4,54 3,75 3,37 3,14 3,00 2,90 2,82 2,76 2,72 2,68 2,65 2,62 2,60 2,58 2,57 2,55 2,54 2,53 2,52 2,51 2,50 2,49 2,49 2,48 2,47 2,47 2,46 2,46 2,42 2,39 2,36 2,33

63,66

9,93

5,84

4,60

4,03

3,71

3,50

3,36

3,25

3,17

3,11

3,06

3,01

2,98

2,95

2,92

2,90

2,88

2,86

2,85

2,83

2,82

2,81

2,80

2,79

2,78

2,77

2,76

2,76

2,75

2,70

2,66

2,62

2,58

318,31 22,33 10,22 7,17 5,89 5.21 4,79 4,50 4,30 4,14 4,03 3,93 3,85 3,79 3,73 3,69 3,65 3,61 3,58 3,55 3,53 3,51 3,49 3,47 3,45 3,44 3,42 3,41 3,40 3,39 3,31 3,23 3,16 3,09

636,62

31,60

12,92

8,61

6,87

5,96

5,41

5,04

4,78

4,59

4,44

4,32

4,22

4,14

4,07

4,02

3,97

3,92

3,88

3,85

3,82

3,79

3,77

3,75

3,73

3,71

3,69

3,67

3,66

3,65

3,55

3,46

3,37

3,29

 

0,05 0,025

0,01

0,005

0,001

0,0005

Уровень значимости (односторонняя критическая область)

                 

Приложение 5

Сравнение дисперсий.

Одна выборка

( - генеральная дисперсия)

                                         

Дано:

а)  при - по таблице Пирсона.

б) - при :

-по таблице распределения Лапласа.

Двусторонний критерий

Односторонний критерий

Если ,

то  принимается.

при

при

 

при при

 

 

Продолжение приложения 5

Две выборки

Дано:

, при , ,

Двусторонний критерий Односторонний критерий
 , при .  при .

- определяется по таблице распределения Фишера-Снедекора

 

Приложение 6

 

Сравнение выборочной средней с генеральной средней (одна выборка):

Большой объем выборки (генеральная дисперсия известна )

принимается если:

Двусторонний критерий

Односторонний критерий

-по таблице значений интеграла Лапласа,

Продолжение приложения 6

Малый объем выборки(генеральная дисперсия не известна)

принимается если:

Двусторонний критерий

Односторонний критерий

- по таблице распределения Стьюдента

 

Приложение 7


Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 518; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ