Система случайных величин. Функция и плотность распределения вероятностей для системы случайных величин.

Функция распределения системы двух случайных величин:

Функцией распределения системы двух случайных величин (X, Y) называется вероятность совместного выполнения двух неравенств Х<х и У<у: F(x,y)=P((X<x)(Y<y)).

Функцией распределения системы n случайных величин (X₁,Х₂, ..., Х_n) называется вероятность совместного выполнения n неравенств вида X_i < x_i:

F(x₁,x₂,…,x_n)=P((X₁<x₁) (X₂<x₂)… (X_n<x_n))

Свойства функции распределения системы случайных величин:

v Функция распределения F(x, у) есть неубывающая функция обоих своих аргументов, т.е. при и

v Повсюду на -∞ функция распределения равна нулю: F(-∞,y)=F(x,-∞)=0.

v При одном из аргументов, равном +∞, функция распределения системы превращается в функцию распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу:

v F(x,+∞)=F₁(x) , F(+∞, y)=F₂(y), где F₁(x), F₂(y) — соответственно функции распределения случайных величин X и Y.

v Если оба аргумента равны +∞, функция распределения системы равна единице: F(+∞,+∞)=1.

Плотностью распределения системы n непрерывных случайных величин называется n-я смешанная частная производная функции F(x₁,x₂,…,x_n), взятая один раз по каждому аргументу:

Свойства плотности распределения системы случайных величин:

v Плотность распределения системы есть функция неотрицательная: >=0.

v интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения системы равен единице:

Задача 11.10

Экзаменационный Билет №32

Случайная величина. Функция и плотность распределения вероятностей для случайных величин.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Такие случайные величины, принимающие только отделенные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить, называются прерывными или дискретными случайными величинами.

Такие случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, называются непрерывными случайными величинами.

Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице. Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности:

Такую таблицу мы будем называть рядом распределения случайной величины X.

Многоугольник распределения

Функция распределения — самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как прерывных, так и непрерывных.

Эта функция обозначается F(x): F(x)=P(X<x).

Некоторые общие свойства функции распределения.

v Функция распределения F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, т. е. при.

v На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F (-∞) = 0.

v На плюс бесконечности функция распределения равна единице: F (∞) = 0.

График функции распределения F (х) в общем случае представляет собой график неубывающей функции (рис. 5.2.2), значения которой начинаются от 0 и доходят до 1, причем в отдельных точках функция может иметь скачки (разрывы).

Действительно

Плотность распределения:

Пусть имеется непрерывная случайная величина X с функцией распределения F(x), которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участок от х до х+Δх:

Р (х < X < х + Δx) = F (х + Δх) — F (х).

Рассмотрим среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать Δx к нулю. В пределе получим производную от функции распределения:

Функция f(х)=F’(x) - производная функции распределения - называется плотностью распределения непрерывной случайной величины X. Она существует только для непрерывных случайных величин.

Иногда функцию f(x) называют также «дифференциальной функцией распределения» или «дифференциальным законом распределения» величины X.

Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения.

Выразим вероятность попадания величины X на отрезок от α до β через плотность распределения:

Основные свойства плотности распределения.

· Плотность распределения есть неотрицательная функция:

· Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

Поглощающие цепи Маркова.

Задача 29.10

Экзаменационный Билет №33

Регулярные цепи Маркова.

Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 219; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 171819 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!