Применение центральной предельной теоремы.

а) Пусть — независимые случайные величины с математическими ожиданиями и дисперсиями

Предположим, что условия центральной предельной теоремы выполнены и число слагаемых п достаточно для того, чтобы закон распределения величины можно было считать приближенно нормальным.

Тогда вероятность того, что случайная случайная величина У попадает в пределы участка , выражается фопмулой

Где математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение величины V,

Ф* — нормальная функция распределения.

b) Частным случаем центральной предельной теоремы для дискретьых случайных величин является теорема Лапласа.

Если производится п независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, то справедливо соотношение

где Y — число появлений события А в n опытах, q = l — р.

Задача 15.7

Экзаменационный Билет №27

Закон Пуассона.

Дискретная случайная величина X называется распределенной по закону Пуассона, если ее возможные значения 0,1,2,..., m, ..., а вероятность того, что X = m, выражается формулой

где а > 0 — параметр закона Пуассона.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, распределенной по закону Пуассона, равны параметру закона а: m_x = а = D_x .

для вычисления вероятности Р_m_,_n того, что событие А появится ровно m раз, можно воспользоваться приближенной формулой

О парной и групповой зависимости случайных событий.

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события А, В, С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С.

События называются независимыми в совокупности, если для любого и любого набора различных меж собой индексов имеет место равенство:

Если события независимы в совокупности, то они попарно независимы, т.е. любые два события независимы. Достаточно в равенстве взять

Подчеркнем, что если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности. В этом смысле требование независимости событий в совокупности сильнее требования их попарной независимости.

Задача 31.10

Экзаменационный Билет №28

Числовые характеристики случайных функций.

Рассмотрим сечение случайной функции X (t) при фиксированном t.

Математическим ожиданием случайной функции X(t) называется неслучайная функция m_x(t), которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайной функции.

m_x(t) = M{X(t)}

Дисперсией случайной функции X (t) называется неслучайная функция D_x(t), значение которой для каждого t равно дисперсии соответствующего сечения случайной функции:

D_x(t) = D{X(t)}

Среднее квадратическое отклонение случайной функции:

σ_x(t) =

Корреляционная функция характеризует степень зависимости между сечениями случайной функции, относящимися к различным t.

Корреляционной функцией случайной функции X(t) называется неслучайная функция двух аргументов K_x(t, t’), которая при каждой паре значений t, t’ равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции:

K_y(t, t’) = M[ (t) (t’)]