Основы математического анализа
Дифференцирование функций. Для решения многих задач требуется найти разность значений функции в двух точках. Так, средняя скорость материальной точки за промежуток времени Δt равна . Если рассматриваемое движение не является равномерным, то чем меньше выбран промежуток времени Δt, тем лучше указанная формула будет характеризовать движение точки. В идеале мы получаем понятие мгновенной скорости : это предел, к которому стремится средняя скорость, когда Dt → 0, то есть
Эта и другие задачи приводят к понятию производной.
Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки и существует конечный предел отношения при Δx → 0. Тогда этот предел называется производной функции в точке :
.
Производная функции y = f (x) может также обозначаться одним из следующих способов:
Геометрический смысл производной. Если y = f (x) изображена своим графиком – кривой в декартовых координатах (рис. 1.17), то . где – угол между осью и касательной к кривой в данной точке , отчитываемый от положительного направления оси против часовой стрелки. В механике производную по времени t часто обозначают точкой: .
Если приращение функции f (x0 + Δx) – f (x0) обозначить как Δy, то определение можно записать так:
.
Линейную функцию называют дифференциалом функции f в точке и обозначают df. Для функции x производная в каждой точке равна 1, то есть .
|
|
Поэтому пишут:
.
Геометрически дифференциал функции – это приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке при изменении абсциссы точки на dx (рис. 1.17).
Операция вычисления производной называется дифференцированием. Функция называется дифференцируемой в данной точке, если в этой точке существует ее производная.
Таблица производных
1 | 7 | 13 | |||
2 | 8 | 14 | |||
3 | 9 | 15 | |||
4 | 10 | 16 | |||
5 | 11 | 17 | |||
6 | 12 | 18 |
Интегрирование функций. Первообразной функцией (или просто первообразной) для данной функции одной переменной , определенной в некоторой области , называется такая функция , определенная в той же области, производная от которой равна .
Геометрический смысл первообразной. Если данная функция изображена кривой в декартовых координатах, то первообразная численно равна площади , ограниченной кривой , осью и двумя ординатами: постоянной АВ (при ) и переменной (при абсциссе ). Произвольно выбирая постоянную а,получаем различные первообразные. При этом площадь понимается в алгебраическом смысле (рис.1.18):
площадь фигуры АВСD = .
|
|
Процесс нахождения первообразной называется интегрированием.
Интегрирование является операцией, обратной дифференцированию.
Правила интегрирования
Неопределенный интеграл:
, где , .
Свойства неопределенного интеграла:
; .
Свойство линейности:
.
Метод замены переменной:
, где .
Метод интегрирования по частям
.
Свойства определенного интеграла:
; ;
;
Формула Ньютона – Лейбница:
.
Справедливость ниже указанных формул легко проверить дифференцированием.
Таблица интегралов
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 253; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!