Сравнение уровня признака в независимых выборках

Сравнение уровня признака в двух независимых выборках можно выполнить с помощью t-критерия Стьюдента (параметрический метод), либо с помощью критерия Манна-Уитни (непараметрический метод).

По t-критерию Стьюдента производится сравнение средних арифметических значений, то есть уровня признака, в двух независимых выборках с равной дисперсией и распределением случайной величины, соответствующим нормальному типу. Порядок проверки распределений на соответствие нормальному рассмотрен выше. Равенство дисперсий проверяется по F-критерию Фишера:

                                                   F=s₁²/s₂²                                                                   

За s₁² принимается большее из двух значений дисперсии, поэтому значение F_эмп. всегда больше 1. Полученное значение F_эмп сравнивается с критическим (Таблица 4 Приложения). При пользовании таблицей 4 число степеней свободы определяется по формулам n₁=n₁-1; n₂=n₂-1; критическое значение берется из клетки, находящейся на пересечении соответствующих строки и столбца. Если эмпирическое значение меньше критического, то различие дисперсий признается статистически незначимым.

Используется следующая формула t-критерия (здесь и ниже приводятся формулы критериев для малых выборок, то есть выборок с числом испытуемых менее 30):

где n_x и n_y - количество испытуемых в 1 и 2 выборках, М_х и М_у - средние арифметические значения, s_х и s_у - стандартные отклонения соответственно в первой и второй выборках. Число степеней свободы n = n_x+ n_y - 2.

Критическое значение t_кр определяется по таблицам (Таблица 5 Приложения). Если t _эмп³ t _кр, то принимается альтернативная гипотеза.

В программе Microsoft Excel расчет эмпирического значения критерия Стьюдента выполняется с использованием встроенного “Двухвыборочного t-теста с одинаковыми дисперсиями”. Для того чтобы воспользоваться встроенной функцией Microsoft Excel надо войти в раздел “Анализ данных” из меню “Сервис”, где выбрать “Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями”. На экране высвечивается меню “Двухвыборочного t-теста с одинаковыми дисперсиями”, в котором задаются интервалы обеих переменных, вероятность ошибки первого рода Альфа и выходной интервал (номер левой верхней ячейки выходного интервала). Входной интервал переменной задается через двоеточие, например интервал “a1:a24” включает в себя 24 значения переменной в столбце A с 1 по 24 ячейку. Если в первой строке интервала находится заголовок столбца (строки), то это следует указать в специальной ячейке меню. Гипотетическая средняя разность равна нулю по умолчанию. Выходные данные включают средние арифметические значения переменных в выборках, значения дисперсии, количество наблюдений в выборках, величину объединенной дисперсии, число степеней свободы, эмпирическое значение t-критерия и критические значения для одностороннего и двустороннего критериев.

Задача: В одной из школ Ленинградской области ученики 10 и 11 класса выполнили задания ШТУР (Школьный тест умственного развития)[AE1] . Различаются ли ученики 10 и 11 класса по уровню общей осведомленности?

Н₀: показатели осведомленности учеников 10 и 11 класса значимо не различаются.

Н₁: показатели осведомленности учеников 10 и 11 класса различаются значимо.

Таблица 10.

    Применение критерия Стьюдента связано с целым рядом ограничений - соответствие обоих распределений нормальному типу, равенство дисперсий распределений, достаточные объемы выборок. Если для решения поставленной задачи использовать параметрический критерий Стьюдента нельзя, то следует воспользоваться его непараметрическим аналогом - критерием Манна-Уитни. Для применения непараметрического критерия Манна-Уитни требуется лишь, чтобы оба распределения относились к сходному, а не обязательно к нормальному типу, кроме того, признак может быть измерен не только в шкале отношений или интервалов, но и в шкале рангов.

Что особенно ценно, критерий Манна-Уитни применим при малых количествах наблюдений в выборках: в каждой выборке должно быть не менее 3 наблюдений. Допускается также, чтобы в одной из выборок было 2 наблюдения, но при этом в другой их должно быть не менее 5. Максимальное число наблюдений в выборках 60, для большего числа наблюдений нет таблиц критических значений. Но уже когда число наблюдений свыше 20 в каждой выборке, расчет критерия становится достаточно трудоемким для расчетов на калькуляторе.

Порядок действий при расчете эмпирического значения критерия следующий:

1. Проранжировать все измерения, объединив результаты двух выборок. Правила ранжирования следующие:

n Наименьшему значению из всех присваивается ранг 1, наибольшему - n₁+n₂.  

n Если два или большее количество значений равны, то для них рассчитывается средний ранг. Например, если три наименьших значения в выборке равны, то их средний ранг будет (1+2+3)/3=2. А если равны 10 и 11 значения, то их средний ранг (10+11)/2=10.5.

2. Подсчитать сумму рангов отдельно для первой (SR₁) и для второй (SR₂) выборки. Проверить, совпадает ли общая сумма рангов с расчетной по формуле SR₁+SR₂=N(N+1)/2, где N= n₁+n₂ - общее число ранжируемых значений.

3. Рассчитать эмпирические значения критерия Манна-Уитни для выборок:

   U₁= n₁^.n₂+ n₁ (n₁+1)/2 - SR₁       U₂ = n₁^.n₂ + n₂(n₂+1)/2 - SR₂

4. Проверить правильность расчета с помощью выражения U₁+U₂= n₁^.n₂.

5. Эмпирическим значением является меньшее из двух рассчитанных значений. Оно сопоставляется с критическими значениями, приведенными в таблице 6 Приложения). Приложения для a=0.05 и a=0.01. Чем меньше значение U, тем выше достоверность различий, а значит, если U_эмп³U_крит, то принимается нулевая гипотеза Н₀, если U_эмп<U_крит, то принимается альтернативная гипотеза.

Задача: В одной из школ Ленинградской области ученики 10 и 11 класса выполнили задания ШТУР (Школьный тест умственного развития). Различаются ли ученики 10 и 11 класса по способности классификации?

Н₀: способности классификации учеников 10 и 11 класса значимо не различается.

Н₁: показатели способности классификации учеников 10 и 11 класса различаются значимо.                                                                          

                                                                         Таблица 11

Сравнение способности классификации по результатам ШТУР у юношей - учеников 10 и 11 классов (по критерию Манна-Уитни)
Исходные данные		Ранжирование переменных
11 класс	10 класс	10 класс	Ранг	11 класс	Ранг
23	20	6	1
23	21	7	2
20	20	10	4
23	14	10	4
23	14	10	4
20	20	11	6
22	11			12	7,5
21	17			12	7,5
19	14			13	9
16	15	14	12
15	10	14	12
14	6	14	12
17	7			14	12
21	10			14	12
16	10	15	15,5
14				15	15,5
13				16	18
12				16	18
12				16	18
16				17	20,5
		17	20,5
Ме=18	Ме=14			19	22
q=3.5	q=4	20	25
		20	25
		20	25
				20	25
				20	25
		21	29
				21	29
				21	29
				22	31
				23	33,5
				23	33,5
				23	33,5
				23	33,5
		Сумма	197		433
Проверка: Общая сумма рангов 197+433=630. N(N+1)/2=35х36.3=630, т.е. ранжирование выполнено верно. U1=20х15+15x16/2-197=223 U2=20x15+20х21/2-433=77 Проверка: U1+U2=300. n1× n2=300 Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 513; Мы поможем в написании вашей работы! Поделиться с друзьями: ⇐ Предыдущая123456789 Мы поможем в написании ваших работ! . . © 2014-2024 — Студопедия.Нет — Информационный студенческий ресурс. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав (0.051)