Способность обобщения учеников 10 класса

Одной из школ Ленинградской области (по результатам ШТУР)

	Вариант А				Вариант Б
Способность обобщения	Интервал квантования	Абсолютная частота	Относительн. частота (%)	Интервал квантования	Абсолютная частота	Относительн. частота (%)
7	[6 - 8]	1	7	[6-10]	2	13
10	[9 - 11]	3	20	[11-15]	6	40
11	[12-14]	4	26	[16-20]	5	33
11	[15-17]	2	13	[21-25]	1	7
12	[18-20]	3	20	[26-30]	1	7
13	[21-23]	0	0
13	[24-26]	1	7
14	[27-29]	1	7
16
16
18
18
20
25
28

Рис. 2. Гистограмма (слева) и полигон распределения случайной величины (способности обобщения) по данным таблицы 1, с выделением 8 (А) и 5 (Б) интервалов квантования. По оси Х указаны середины интервалов.

При характеристике распределения некоторой непрерывной случайной величины число подразделений по горизонтальной шкале теоретически является бесконечным, а значение каждого интервала - бесконечно малым. В этом случае полигон частот примет вид кривой распределения частоты встречаемости случайной величины.

Параметры распределения

Распределение случайной величины характеризуется параметрами распределения, которые объединены в четыре группы характеристик:

n характеристики положения,

n характеристики рассеивания,

n характеристики асимметрии,

n характеристики эксцесса.

Естественно, параметры распределения определяются только для данных, представленных либо в интервальной шкале, либо в шкале отношений.

Изхарактеристик положения рассмотрим моду, медиану и среднее арифметическое значение. По-другому эти параметры называются мерами центральной тенденции.

Мода (М₀) - наиболее часто встречающееся значение; его называют также модальным значением. Кроме модального значения используется также понятие модального интервала - так именуется интервал, куда попадает наибольшее количество значений. Нередко модальное значение оказывается как раз в модальном интервале. Распределение величины может быть унимодальным и полимодальным: если мода в распределении одна - то распределение унимодальное, если более - то полимодальное.

Среднее арифметическое значение М_х рассчитывается по формуле:

где Sх_i - это сумма всех значений случайной величины от первого х₁ до последнего x_N, а N - это общее число значений случайной величины.

Медиана (М_е) - это такое значение случайной величины, которое делит упорядоченную (в порядке возрастания или убывания величины) выборку пополам, то есть справа и слева от медианы находится равное количество значений случайной величины. При нечетном количестве измерений N=2k+1 за медиану принимается непосредственно центральное значение X_k₊₁, справа и слева от него располагается по k=(N-1)/2 значений. Так, в выборке из 15 упорядоченных значений это будет восьмое значение, а в выборке из 23 значений - двенадцатое и т.д. Если число значений случайной величины в выборке четное N=2k, то медиана оказывается между двумя значениями; в этом случае значение медианы рассчитывается как среднее арифметическое между ними

Медиана обладает важным свойством: сумма абсолютных отклонений случайной величины от медианы меньше, чем от любого другого числа.

На кривой распределения значение медианы всегда располагается между значениями моды и среднего арифметического (рис.3).

Рис.3. Соотношение между мерами центральной тенденции в асимметричном частотном распределении.

Квантили - это такие значения случайной величины, которые делят распределение на равные части. Есть несколько разновидностей квантилей:

n Квартили делят распределение на 4 равных части по 25%, соответственно квартилей три Q₁, Q₂, Q₃.

n Квинтили - их 4 (К₁ ....К₄), они делят распределение на 5 частей по 20% в каждой.

n Децили. Девять децилей (D₁ ... D₉) делят распределение на 10 частей по 10%.

n Процентили в количестве 99 (Р₁....Р₉₉) делят распределение на 100 частей по 1%.

Все остальные квантили можно выражать через процентили: так, первый квинтиль - это двадцатый процентиль или второй дециль. Второй квартиль - это 50 процентиль, или пятый дециль, или медиана.

Процентили нельзя ни в коем случае путать с процентными показателями. Процентные показатели - это первичные показатели, определяющие количество правильно выполненных заданий, а процентиль - показатель производный, указывающий на долю от общего числа членов группы. Первичный результат, который ниже любого показателя в выборке получает нулевой процентиль Р_о, а результат, превышающий все другие показатели группы - получает процентильный ранг 100 - Р₁₀₀. Эти процентили не означают ни нулевого, ни 100-процентного выполнения теста.

Средихарактеристик рассеивания рассмотрим:

n размах d

n дисперсию s² или D

n среднеквадратическое (стандартное) отклонение s

n коэффициент вариации V.

Размах d - это разность между максимальным и минимальным значениями случайной величины:

d = х_max - х_min

Дисперсияs² (или D) характеризует разброс значений случайной величины вокруг среднего арифметического значения, т.е. насколько плотно значения случайной величины группируются вокруг среднего арифметического М_х. Чем больше разброс, тем сильнее варьируют результаты испытуемых в данной группе, тем больше различия между испытуемыми.

На первый взгляд может показаться, что было бы проще взять не квадрат значений отклонения от среднего, а просто отклонения значений от среднего. Но легко убедиться, что сумма таких отклонений будет равна нулю. Возведение же отклонений от среднего в квадрат позволяет избежать отрицательных чисел. На практике расчета дисперсии наряду с указанной формулой используется и расчет “способом моментов” по формуле

где S(x_i)² - сумма квадратов значений Х.

Дисперсия имеет “квадратную размерность”, то есть, если какая-то величина измерена в сантиметрах, то размерность дисперсии - сантиметры в квадрате, а если в баллах - то дисперсия - в “баллах в квадрате”. Это не всегда удобно, большую наглядность в отношении разброса величины имеет среднеквадратическое или стандартное отклонение s (греческая буква “сигма”). Размерность этого параметра совпадает с размерностью случайной величины.

Среднеквадратическое отклонение используется очень широко в математической статистике. Малое значение стандартного отклонения указывает, что наблюдения хорошо группируются около среднего арифметического значения. Большое значение стандартного отклонения говорит о том, что наблюдения широко рассеяны относительно среднего значения и имеют слабую тенденцию к централизации.

Коэффициент вариации размерности не имеет, он служит для сравнения вариативности, то есть изменчивости случайных величин, имеющих различную природу. Рассчитывается коэффициент вариации по формуле:

Если коэффициент вариации меньше 40%, то он признается низким, то есть изменчивость величины невелика.

Характеристики асимметрии:

В случаях, когда по тем или иным причинам более часто встречаются значения с показателями ниже или выше среднего, то появляются асимметричные распределения величины. Основная мера асимметрии - это коэффициент асимметрии A_s, рассчитываемый по формуле:

Коэффициент асимметрии изменяется от минус до плюс бесконечности. Асиммерия бывает левосторонняя или положительная, если A_s>0 (на рисунке 2 справа), и правосторонняя или отрицательная, если коэффициент асимметрии меньше 0 (слева на рис.2). При левосторонней асимметрии чаше встречаются значения по величине меньшие среднего арифметического (то есть медиана, и мода на графике находятся слева от среднего арифметического), при правосторонней асимметрии, соответственно, чаще встречаются значения, по величине превосходящие среднее арифметическое. Для симметричных распределений коэффициент асимметрии равен нулю, мода, медиана и среднее арифметическое совпадают между собой.

Характеристики эксцесса. Коэффициент эксцесса (или островершинности) рассчитывается по формуле

Распределения с острой вершиной будут характеризоваться положительным эксцессом, а сглаженные либо с понижением в центральной части - отрицательным.

Пример расчета параметров распределения приведен в таблице 2:

Таблица 2

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 502; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!