Пример 6.7.3-3. Найти аппроксимирующие полиномы первой, второй, третьей и четвертой степени и вычислить коэффициенты корреляции.

⇐ ПредыдущаяСтр 13 из 16Следующая ⇒

Помимо вычисления значений функций в пределах интервала данных все рассмотренные ранее функции могут осуществлять экстраполяцию (прогнозирование поведения функции за пределами интервала заданных точек) с помощью зависимости, основанной на анализе расположения нескольких исходных точек на границе интервала данных. В Mathcad имеется и специальная функцияпредсказания predict(Y, m, n), где Y – вектор заданных значений функции, обязательно взятых через равные интервалы аргумента, а m – число последовательных значений Y, на основании которых функция predict возвращает n значений Y.

Значений аргумента для данных не требуется, поскольку по определению функция действует на данных, идущих друг за другом с одинаковым шагом. Функция использует линейный алгоритм предсказания, который точен, когда экстраполируемая функция гладкая. Функция может быть полезна, когда требуется экстраполировать данные на небольшие расстояния. Вдали от исходных данных результат чаще всего оказывается неудовлетворительным.

Тема 6.8. Многомерная оптимизация

6.8.1. Постановка задачи и основные определения

6.8.2. Методы спуска

6.8.3. Метод градиентного спуска с дроблением шага

6.8.4. Метод наискорейшего спуска

6.8.5. Технология решения задач многомерной оптимизации средствами математических пакетов

Постановка задачи и основные определения

Задача, требующая нахождения оптимального значения функции m переменных f(Х)=f(x₁, x₂, …, x_m), называется задачей многомерной оптимизации. Так же, как и для случая одномерной оптимизации, задача нахождения максимума функции сводится к задаче нахождения минимума путем замены целевой функции f на -f.

Пусть функция f(Х) = f(x₁, x₂, …, x_m) определена на некотором множестве ХÎR^m. Если Х=R^m (т.е. ограничения на переменные x₁, x₂, …, x_m отсутствуют), принято говорить о задаче безусловной минимизации. В противном случае, когда Х ¹ R^m, говорят о задаче условной минимизации.

Методы решения задачи безусловной минимизации являются основой для перехода к изучению более сложных методов решения задач условной минимизации.

В постановке задачи безусловной оптимизации для f(Х)=f(x₁, x₂, …, x_m) требуется найти хотя бы одну точку минимума Х* и вычислить f*=f(Х*). Точка Х*ÎR^m называется точкой глобального минимума функции f на множестве Х, если для всех ХÎR^m выполняется неравенство f(Х*)£f(Х). В этом случае значение f(Х*) называется минимальным значением функции f на R^m.

Точка Х*Î R^m называется точкой локального минимума функции f, если существует такая d - окрестность U_d этой точки (d>0), что для всех ХÎХ_d=Х U_d выполняется неравенство f(X*)£f(X).

Подавляющее большинство методов решения задачи безусловной минимизации в действительности являются методами поиска точек локальных минимумов, среди которых затем выделяют глобальный минимум, являющийся наименьшим. Этот способ очень трудоемок, поэтому чаще используют другой: местоположение точки глобального минимума определяют в ходе анализа решаемой задачи, а затем для его уточнения с заданной точностью применяют один из методов поиска точки локального минимума.

Рассмотрим функцию нескольких переменных и введем для нее основные определения.

Множество точек, для которых целевая функция принимает постоянное значение f(x₁, x₂, …, x_m) = c, называется поверхностью уровня. Для функции двух переменных (m = 2) это множество называется линией уровня.

Рис. 6.8.1-1

Функция f(x₁,x₂) задает в трехмерном пространстве некоторую поверхность U=f(x₁,x₂) (рис. 6.8.1-1), низшая точка которой и дает решение задачи минимизации. Для того чтобы изобразить рельеф этой поверхности, проведем несколько плоскостей
(U = const): U=c₁, U=c₂, U=c₃ . Проекции на плоскость Ох₁х₂ линий пересечений этих плоскостей с поверхностью и дают линии уровня.

Для дифференцируемой функции можно определить вектор из первых частных производных, который называется градиентом :

или .

Направление вектора градиента указывает направление наискорейшего возрастания функции, а его модуль (длина) равен скорости возрастания функции. Вектор Градиент нормален к линии уровня в каждой своей точке и касателен к поверхности, которую задает функция.

Вектор - называется антиградиентом и показывает направление наискорейшего убывания функции.

Равенство нулю градиента в точке Х является необходимым условием того, чтобы внутренняя для множества Х_i (i = 1, 2,…m) точка Х была точкой локального минимума дифференцируемой функции f. Точка Х, для которой выполняется равенство f’(X) = 0, называется стационарной точкой функции.

Это равенство представляет собой систему из m нелинейных уравнений относительно компонент х₁, х₂, …, х_m, вектора X, где m – количество переменных.

Для функции двух переменных Q(x, y)это условие имеет вид:

Однако не всякая стационарная точка является точкой минимума. Для всякой непрерывно дифференцируемой функции f достаточным условием того, чтобы стационарная точка Х была точкой локального минимума, является положительная определенность матрицы вторых производных (матрицы Гессе):

Согласно критерию Сильвестра, для того чтобы матрица была положительно определена, необходимо, чтобы все угловые миноры были положительны:

Для функции двух переменных Q(x, y) матрица Гессе имеет вид:

а достаточное условие существования минимума:

Алгоритм решения задачи оптимизации функции двух переменных Q(x,y) аналитическим (классическим) методом следующий:

1.Составляется и решается система уравнений

из которой находятся (x*, y*).

2.Проверяются достаточные условия существования минимума

Если (x*, y*) – единственное решение и в этой точке выполняются достаточные условия, то это точка минимума. Если хотя бы в одном из неравенств получается знак “<”, то минимума не существует. В случае появления знака “=” необходимо исследовать производные высших порядков.

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 269; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 7 8 9 10 11 121314 15 16 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!