На основании первых m точек провести экстраполяцию (предсказание) значений n точек.
MathCad имеется три сплайн-функции:
· cspline( )
· pspline( )
· lspline( )
Эти функции возвращают вектор коэффициентов вторых производных, который мы будем называть S. Этот вектор обычно используется в функции interp( ), описанной ниже. Аргументы должны быть вещественными векторами одинаковой длины. Значения вектора должны быть расположены в порядке возрастания.
Эти три функции отличаются только граничными условиями:
· функция lspline( ) генерирует кривую сплайна, которая приближается к прямой линии в граничных точках;
· функция pspline( ) генерирует кривую сплайна, которая приближается к параболе в граничных точках.
· функция cspline( ) генерирует кривую сплайна, которая может быть кубическим полиномом в граничных точках.
· interpвозвращает интерполируемое значение, соответствующее аргументу .
Вектор вычисляется на основе векторов данных и одной из функций pspline( ), lspline( ) илиcspline( ).
Пример 6.3.6-4. Пусть значения функции, полученные в ходе эксперимента, представлены в виде таблицы:
X | 1.2 | 1.4 | 1.6 | 1.8 | 2.0 |
y(x) | -0.085 | -0.462 | 0.128 | 3.546 | 2.654 |
Применить кубическую сплайн-интерполяцию, при которой экспериментальные точки соединяются отрезками кубических полиномов.
Для этого одновременно используются две функции: interp(s,x,y,t) и cspline(x,y), где x – вектор значений аргументов, y – вектор значений функции, s – вектор вторых производных, создаваемый функцией cspline, t – значение аргумента, при котором вычисляется функция.
|
|
Тема 6.4. Численное интегрирование
6.4.1. Постановка задачи
6.4.2. Метод прямоугольников
6.4.3. Формула трапеций
6.4.4. Формула Симпсона
6.4.5. Оценка погрешности численного интегрирования
6.4.6. Технология вычисления интегралов в среде математических пакетов
Постановка задачи
Из курса математического анализа известно, что, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема, то определенный интеграл от этой функции в пределах от a до b существует и может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:
Если первообразную функцию F(x) не удается выразить аналитически через элементарные функции или если при проведении практических расчетов подынтегральная функция f(x) задается в виде таблицы, то это приводит к необходимости замены аналитического интегрирования численными методами.
Для функции f(x), заданной в прямоугольной системе координат на интервале [a;b], этот интеграл численно равен площади, ограниченной кривой f(x), осью Ox и двумя ординатами ac и bd.
Рис. 6.4.1-1
Задача численного интегрирования заключается в нахождении значения определенного интеграла через ряд значений подынтегральной функции yi=f(xi), заданной в точках xi (i=0,1,…,n). Причем, x0 = a, xn = b. Чаще всего интервал разбивают на подынтервалы длиной h = xi+1 - xi.
|
|
Применительно к однократному интегралу, формулы численного интегрирования представляют собой квадратурные формулы вида:
гдеAi – числовые коэффициенты, называемые весами квадратурной формулы, аxi – точки из отрезка - узлами квадратурной формулы, n > 0 – целое число.
Искомый определенный интеграл можно представить в виде суммы интегралов:
На каждом i-м отрезке функция аппроксимируется (заменяется) некоторой другой легко интегрируемой функцией gi(x). В результате получаем следующую квадратурную формулу:
.
Для решения поставленной задачи подынтегральную функцию f(x) необходимо заменить приближенной функцией, которая может быть проинтегрирована в аналитическим виде. В качестве такой функции обычно используют полином Р(х) с узлами интерполяции в точках х0, х1, х2, …,хn. В этих точках значения функции и интерполяционного полинома полностью совпадают f(xi) = Р(xi).
Для получения простых формул интегрирования используют полиномы нулевой, первой и второй степени и соответственно получают формулы численного интегрирования: прямоугольников, трапецийиСимпсона.
|
|
Очевидно, что замена функции f(x) интерполирующим полиномом приводит к образованию погрешности вычисления значения интеграла
где I1 – точное значение интеграла, I – значение интеграла, вычисленного численным методом, а – погрешность метода.
Отметим, что увеличение числа подынтервалов n (или уменьшение длины шага интегрирования h) ведет к уменьшению погрешности.
Метод прямоугольников
Заменим подынтегральную функцию f(x) в пределах элементарного отрезка [xi;xi+1] интерполяционным многочленом нулевой степени (рис.6.4.2-1), то есть постоянной величиной, равной либо f(xi), либо f(xi+1).
Рис. 6.4.2-1
Значение элементарного интеграла равно площади прямоугольника, в первом случае
I = h∙f(xi), а во втором I = h∙f(xi+1), где h = xi+1 - xi. Для определения значения интеграла на отрезке [a;b] найдем суммы элементарных интегралов, взяв в первом случае в качестве
f(x) – значение подынтегральной функции в левом конце i-го отрезка, а во втором – в правом конце отрезка:
(6.4.2-1)
(6.4.2-2)
|
|
Формула (6.4.2-1) называется формулой левых прямоугольников, а формула
(6.4.-2.2) – формулой правых прямоугольников.
Для вычисления определенного интеграла может быть использована и формула средних прямоугольников (6.4.2-3), в которой на элементарном отрезке интегрирования функция f(x)тоже заменяется интерполяционным многочленом нулевой степени, но равным значению функции в середине отрезка:
(6.4.2-3)
Формула трапеций
Разобьем интервал интегрирования [a;b] на n равных отрезков (рис. 6.4.3-1) и восстановим из полученных точек a, х1, x2, …, b перпендикуляры до пересечения с графиком функции. Соединив последовательно точки пересечения, представим площадь полученной криволинейной трапеции как сумму прямолинейных трапеций, площади которых легко подсчитать. Заменив подынтегральную функцию f(x) в пределах элементарного отрезка [xi;xi+1] интерполяционным многочленом первой степени, получим следующие формулы для элементарных площадей:
Рис. 6.4.3-1
Тогда общая площадь равна:
Отсюда получаем формулу трапеций:
(6.4.3-1)
Формула Симпсона
Для получения формулы Симпсона применяется квадратичный интерполирующий полином, следовательно, за элементарный интервал интегрирования принимается отрезок [xi;xi+2]. Поэтому разобьем интервал интегрирования [a;b] наn отрезков, где n=2m – четное число (рис. 6.4.4-1).
Рис. 6.4.4-1
Для получения интерполирующей функции на интервале [xi;xi+2] воспользуемся первой интерполяционной формулой Ньютона, используя в качестве узлов интерполяции точки xi, хi+1 и xi+2.
(6.4.4-1)
В пределах отрезка [xi;xi+2], на котором подынтегральная функция аппроксимирована многочленом (6.4.4-1), получим приближенную формулу Симпсона:
(6.4.4-2)
Для отрезка [x0;x2]
Для отрезка [x2;x4]
Тогда для всего интервала интегрирования [a;b] формула Симпсона выглядит:
или
при (6.4.4-3)
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 246; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!