Интерполяционная формула Лагранжа
Пусть функция f(x) задана в (n + 1) узлах, произвольно расположенных на отрезке [a;b]: y0 = f(x0), y1 = f(x1), … yn = f(xn).
Требуется найти интерполирующий алгебраический многочлен Ln(x), степени не выше n, удовлетворяющий условию (6.3.1-2), такой, что:
L0 = y0, L1 = y1, …, Ln = yn. (6.3.2-1)
Будем искать Ln(x) вида:
Ln = Q0(x)y0 + Q1(x)y1 + … + Q n(x) yn, (6.3.2-2)
где Qi(x) – коэффициенты, зависящие только от узлов 
, i=0,1, …,n и текущего х.
Для того чтобы выполнялись условия интерполяции (6.3.2-1), требуется, чтобы коэффициенты Qi(x) удовлетворяли условию:
Действительно, чтобы L(х0)=y0, необходимо, чтобы в (6.3.2-2)
Q0(x0) = 1, Q1(x0) = 0, …, Qn(x0)= 0.
В то же время в других узлах интерполяции первое слагаемое формулы 6.3.2-2, связанное с yi, должно быть равно нулю, то есть: Q0(xi) = 0, i = 1, 2, … , n.
Этим требованиям отвечает коэффициент вида:
(6.3.2-3)
Поскольку в числителе Q0(x) записано произведение разностей со всеми узлами кроме х0, то Q0(x) обращается в ноль при х = хi ; i = 1, 2, … , n. В то же время при х = х0числитель и знаменатель дроби взаимно сокращаются и Q0(x0)=1.
Для того чтобы Ln(x1) = y1, коэффициенты в (6.3.2-2) должны принять значения:
Q1(x1) = 1; Q0(x1) = 0… Qn(x1) = 0.
Чтобы в других узлах коэффициент Q1(x), связанный с yi, принял значение ноль, нужно, чтобы Q1(xi) = 0, i = 0, 2, 3, …, n. Тогда произведение разностей в числителе обращается в ноль во всех узлах, кроме х1, а при х = х1 коэффициент равен 1.
|
|
|
Обобщая сказанное выше, получим выражение для Qi(x):
(6.3.2-4)
Для интерполяционного многочлена Лагранжа это выражение будет следующее:
. (6.3.2-5)
Несмотря на громоздкость (6.3.2-5), одним из преимуществ формулы Лагранжа является возможность ее записи непосредственно по заданной таблице значений функции. Для этого следует учесть следующее правило: формула содержит столько слагаемых, сколько узлов в таблице; каждое слагаемое – это произведение дробного коэффициента на соответствующее значение yi; числитель коэффициента при yi содержит произведение разностей х со всеми узлами кроме 
а знаменатель повторяет числитель при х = 
.
Используя приведенные правила, получим формулы Лагранжа для двух узлов (n=1) - линейная интерполяция:
для трех узлов (n=2) - квадратичная интерполяция:
(6.3.2-6)
Оценку погрешности формулы Лагранжа определяют исходя из приближенного равенства
где m– число узлов, используемое в формуле.
Для того, чтобы уменьшить погрешность интерполяции, используется прием перенумерации узлов исходной таблицы, последовательно выбирая в качестве х0, , х2 и т.д. узлы, наиболее близко расположенные к искомой точке х, по возможности симметрично относительно точки х0. Такой прием позволяет уменьшить степень интерполяционного полинома для достижения требуемой точности (не использовать все заданные узлы).
|
|
|
Пример 6.3.2-1. Пусть функция y = f(x) задана таблично:
| xi | 1 | 1.2 | 1.4 | 1.6 | 1.8 |
| y i | 0 | -0.16 | -0.24 | -0.24 | -0.16 |
Требуется с использованием формулы Лагранжа вычислить значение f(x) в точке x = 1.45.
Перенумеруем узлы:
x0 = 1.4 y0 =-0.24
x1 = 1.6 y1 = -0.24
x2 = 1.2 y2 = -0.16
х3 = 1.8 y3 = -0.16
x4 = 1.0 y4 = 0.0 .
Для приближенного вычисления значения функции воспользуемся формулами линейной и квадратичной интерполяции:
При n + 1 = 2 используем узлы x0 и x1
.
При n +1 = 3 используем узлы x0 , x1 и x2
Для оценки погрешности используем соотношение
Если полученная величина соответствует заданной погрешности (например, e=0.1), то вычисления прекращают. Если e<Rn, то количество узлов увеличивают. Вычисления повторяют до тех пор, пока не выполнится условие Rn ≤ e.
Если, в соответствии с условиями поставленной задачи, требуется найти значения функции не в одной, а в нескольких точках, то рекомендуется провести преобразования формулы и получить многочлен в явном виде (Пример 6.3.1-1).
|
|
|
Если в формуле были использованы все точки, заданные таблицей, то оценить погрешность не представляется возможным.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 231; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!