Интерполяционные формулы Ньютона

Рассмотрим случаи, когда интерполируемая функция y=f(x) задается в равноотстоящих узлах так, что  = x₀ + ih, где  h – шаг интерполяции, а  i = 0, 1, …, n.
В этом случае для нахождения интерполяционного многочлена могут применяться формулы Ньютона, которые используют конечные разности.

 

Конечные разности

Конечной разностью первого порядка называется разность Dy_i = y_i+1-y_i,где                   y_i+1= f(x_i+h) и y_i = f(x_i). Для функции, заданной таблично в (n+1) узлах, i = 0, 1, 2, …, n, конечные разности первого порядка могут быть вычислены в точках 0, 1, 2,…, n-1:

Используя конечные разности первого порядка, можно получить конечные разности второго порядка:

Отметим, что любые конечные разности можно вычислить через значения функции в узлах интерполяции, например:

                                 (6.3.3-1)

Для конечной разности k-го порядка в узле с номером i справедлива формула, позволяющая вычислять конечные разности с помощью таблицы конечных разностей:

.

Следует отметить, что по величине конечных разностей можно сделать вывод о степени интерполяционного полинома, описывающего таблично заданную функцию. Если для таблицы с равноотстоящими узлами конечные разностиk-го порядка постоянны или соизмеримы с заданной погрешностью, то функцию можно представить k-й многочленом.

       Рассмотрим, например, таблицу конечных разностей для многочлена y=x²- 3x+2.

                             Таблица 6.3.3-1

x	y	Dy	D2y	D3y
1.0	0	-0.16	0.08	0
1.2	-0.16	-0.08	0.08	0
1.4	-0.24	0	0.08
1.6	-0.24	0.08
1.8	-0.16

В данном примере конечные разности третьего порядка равны нулю, а все конечные разности второго порядка равны 0.08. Это говорит о том, что функцию, заданную таблично, можно представить многочленом второй степени.

Введя понятие конечных разностей, рассмотрим еще две формы записей интерполяционных полиномов.

Первая интерполяционная формула Ньютона

 Пусть функция y = f(x) задана в n+1 равноотстоящих узлах , i = 0, 1, 2, …, n,с шагомh. Требуется найти интерполяционный многочлен P_n(x) степени не выше n, удовлетворяющий условию:

P_n(x_i) = y_i, i =0, 1, 2, …, n .                                                                  (6.3.3-2)

Будем искать интерполяционный многочлен вида:

          P_n(x) =a₀ + a₁(x-x₀) + a₂(x-x₀)(x-x₁) + …+ a_n(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n-1),       (6.3.3-3)

где а_i, i =0,1,2,…,n–неизвестные коэффициенты, не зависящие от узлов интерполяции.

Для нахождения коэффициентов формулы Ньютона а_i будем подставлять в
(6.3.3-3) значения х, совпадающие с узлами интерполяции, требуя выполнения условия (6.3.3-2).

Пусть х = x₀, тогда, согласно (6.3.3-2), P_n(x₀) = y₀ = a₀. Следовательно, a₀ = y₀.

Пусть х = x_1, тогда

P_n(x₁) = y₁ = a₀ + a₁(x₁-x₀) = y₀ + a₁(x₁-x₀).                                        (6.3.3-4)

Из равенства (6.3.3-4) следует, что

Теперь пусть х = х₂ , тогда:

Выражая неизвестный коэффициент, получим:

 Продолжая подстановку, можно получить выражение для любого коэффициента с номером i:

Подставив найденные значения коэффициентов в (6.3.3-4), получим первую интерполяционную формулу Ньютона:

       (6.3.3-5)

Воспользуемся этой формулой, как одной из возможных форм записи интерполяционного многочлена второй степени.

                                         (6.3.3-6)

Тогда для вычисления значения функции, заданной табл. 6.3.3-1, при х = 1.45:

Отметим, что при использовании первой интерполяционной формулы Ньютона целесообразно выбирать х₀близко к точке интерполяции (интерполяция вперед). Это обеспечивает более высокую точность при фиксированном числе узлов. Запись интерполяционного многочлена в виде первой формулы Ньютона позволяет учитывать дополнительные узлы в правой части таблицы, уточняя ранее полученный результат, без пересчета остальных слагаемых.

Введя обозначение:    и проведя несложные преобразования вида: приведем (6.3.3-5) к виду:

        (6.3. 3-7)

       Это второй вид записи формулы Ньютона для интерполирования вперед. Она применяется для интерполяции f(x) в окрестностях начального значения х₀, где q – достаточно мало по абсолютной величине.

Если n=1, то из (6.3.3-6) получаем формулу линейной интерполяции

Если n=2, то получаем формулу квадратичной (или параболической) интерполяции

---

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 442; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!