Примеры решения контрольных заданий

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 7Следующая ⇒

Задание 1. В урне находится белых и черных шаров. Из урны последовательно вынимают 2 шара. Найти вероятность, что оба разных цветов. Рассмотреть 2 ситуации:

а) первый шар возвращают в урну

б) первый шар не возвращают в урну.

Решение: Событие А – два шара разных цветов. Оно является суммой двух событий . Событие есть произведение двух событий , – вынут первый шар – белый; – второй шар – черный. Событие есть произведение двух событий , – вынут первый шар – черный; – второй шар – белый.

а) Первый шар после вынимания возвращают в урну. При этом события и , а также и являются независимыми (по 1.4). ; .

Найдем вероятность события . Для него опыт – вынимание одного шара из урны. Общее число исходов опыта равно общему числу шаров . Число исходов опыта, благоприятных для события равно числу белых шаров . (по 1.2). Так как вынутый шар возвращают в урну, то рассуждая аналогично, получим ; ; . По формуле (1.10) ; . События и , очевидно, несовместные (см. 1.3). По формуле (1.9) ; .

б) Первый шар после вынимания не возвращают в урну. При этом события и , а также и являются зависимыми (см. 1.4). По (1.12) ; . Вычислим условную вероятность события при условии, что произошло событие и шар не вернули в урну. Осталось в урне шаров, в том числе черных. . Аналогично рассуждая, получим . ; (по 1.12). События и – несовместные .

Задание 2. В двух ящиках находятся детали. В первом ящике стандартных и нестандартных деталей. Во втором ящике стандартных и нестандартных деталей. Из первого ящика случайно вынули деталь и перенесли во второй ящик. После этого для контроля из второго ящика вынули деталь. а) Найти вероятность, что эта деталь – стандартная; б) найти апостериорные вероятности гипотез при условии, что извлеченная для контроля из 2-ого ящика деталь оказалась стандартной.

Решение:

а) Надо найти вероятность события А – взятая из второго ящика деталь – стандартная. Опыт здесь производится при условии двух гипотез:

– из первого ящика сначала взяли и перенесли во второй стандартную деталь.

– из первого ящика взяли и перенесли во второй нестандартную деталь.

Будем пользоваться формулой полной вероятности . Найдем вероятности и . Общее количество элементарных исходов опыта для (а также для ) . Количество исходов опыта, благоприятных для равно числу стандартных деталей , а для равно числу нестандартных деталей . ; ; . При выполнении гипотезы , во втором ящике станет деталей, из них стандартных. . При выполнении гипотезы во втором ящике станет деталей, в том числе стандартных. . По (1.13) .

б) Найдём апостериорные вероятности гипотез и .

Из 1.14 , мы уже вычисляли . ; .

Итак, до опыта , после опыта , .

Задание 3. Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения.

	-2	-1	0	1
	0,15	0,2	0,4	0,25

Найти функцию распределения , построить её график. Вычислить , математическое ожидание , дисперсию , средне квадратическое отклонение .

Решение: Найдём функцию распределения . (по 2.3.2). Рассмотрим в интервалах между значениями .

по (2.2.1) = .

Математическое ожидание по (3.1) .

; .

Дисперсия по (3.2)

Среднее квадратическое отклонение (по 3.3)

Задание 4. Непрерывная случайная величина Х задана функцией плотности вероятностей. . Найти число k, функцию распределения случайной величины Х. Построить график и . Вычислить математическое ожидание и дисперсию .

Решение: Найдем число по (2.4.3) ; ; . Найдем по (2.4.2) . Рассмотрим при значениях х на данных интервалах

Графики

Математическое ожидание по (3.1)

. .

Дисперсия по (3.2) .

Задание 5. Дана нормальная случайная величина . Найти вероятность попадания этой случайной величины в заданный интервал . Построить схематический график плотности вероятности .

Решение: Вероятность попадания случайной величины по (4.5) . Значение и находится по таблице I функции Лапласа из приложения. Схематический график – колоколообразная кривая (по 4.1) . . Точка перегиба ; , . .