Контрольной работы № 12 для ЗРФ

Пример к заданию № 1:

а) Представить функцию , где в виде ;

б) Проверить, является ли она аналитической;

в) Если – аналитическая, то найти производную в точке .

а)

Следовательно, ; .

б) Проверяем аналитичность по формулам Коши-Римана (по 4.3) и . Напомним, что беря частную производную по одной переменной, считаем другую переменную – постоянной.

(х – постоянная, тогда - тоже постоянная)

Очевидно, .

(у – постоянная).

Как видно . Следовательно, функция аналитическая всей комплексной плоскости z.

в) Находим производную в точке . .

Пусть , тогда .

По (3.3) ;

К заданию № 2 дадим 3 примера:

Пример 1 к заданию № 2:

Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности точки .

Надо получить разложение по степеням .

. По правилу 5.2.5. ;

; или ;

; .

Разложим в ряд функцию по 5.2.2

1) Внутри круга с центром в точке радиуса .

при можно воспользоваться формулой (6) рядов Маклорена для .

Тогда при .

2) Вне круга с центром в точке радиуса .

при по формуле (6) для рядов Маклорена для .

, при .

Пример 2 к заданию № 2:

Разложить функцию в окрестности точки . Воспользуемся формулой (3) таблицы рядов Маклорена для .

Пример 3 к заданию № 2:

Разложить функцию в окрестности точки .

Преобразуем .

Воспользуемся формулами (2) и (3) таблицы рядов Маклорена для .

Приложения к контрольной работе № 12

I Таблица основных производных

, – функции от х , с, а, const – постоянные числа,

1–1) ; 1–2) ; 1–3) ; 1–4) ;

1–5) .

Основные правила дифференцирования

2–1) ; 2–2) ; 2–3) (с – число); 2–4)

II Таблица рядов Маклорена в окрестности , – функция от z,

№	Ряд	Интервал сходимости
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Варианты заданий контрольной работы № 12 для ЗРФ

Тема: «Элементы теории функций комплексного переменного»

Задание 1:

а) Представить заданную функцию , где в виде ;

б) Проверить является ли аналитической;

в) Если – аналитическая, то найти значение её производной в точке .

Задание 2: Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности точки .

№ вар-та

1

2 1

3 1 0

4

5 2

6 1

7 0

8 1

9

10 1

Контрольная работа № 13 (I)

Тема: «Теория вероятностей»

Краткая теория и методические указания.

1. Случайные события

Вероятность события А – это число, характеризующее возможность наступления этого события при некоторых испытаниях (опытах).

Классическое определение вероятности. Вероятность события , где m – число благоприятных для этого события исходов опыта, n – общее число всех элементарных исходов .

События А и В называются несовместными, если в результате опыта появление одного события исключает появление другого.

События А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого.

Суммойсобытий А + В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В (или А или В или обоих вместе).

Произведением (пересечением) событий называется событие D, которое состоит в том, что произошли одновременно оба события А и В (и А и В).

Событие называется противоположным событию А, если в результате опыта может произойти только одно из событий А или . .

Вероятность суммы событий А и В .

Для несовместных событий А и В : .

1.10 Теорема умножения вероятностей независимых событий .

1.11 Условной вероятностью называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило.

1.12 Теорема умножения вероятностей зависимых событий .

1.13 Формула полной вероятности. Пусть событие А может произойти с одной из гипотез . События – несовместные и . Тогда .

1.14 Формула Байеса или апостериорные вероятности гипотез.

Пусть событие А, которое могло произойти с одной из гипотез , произошло в результате опыта. Априорные (до опыта) вероятности гипотез были равны . Апостериорные (после опыта) вероятности гипотез при том, что событие А произошло, вычисляются по формулам , где – вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности 1.13 . Апостериорные вероятности гипотез не равны априорным вероятностям .

2. Случайные величины (СВ)

Случайной величиной Х называется величина, которая случайно принимает какое-то значение из совокупности своих значений.

Функция распределения . Функция распределения – неубывающая, непрерывная слева функция, определённая на всей числовой оси, при этом .

2.2.1 Вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале равна .

Дискретные случайные величины (ДСВ). Значениями их являются только отдельные точки числовой оси.

2.3.1 Закон распределения ДСВ Х можно задать в виде ряда распределений

…

…

В первой строке таблицы указаны все значения х ДСВ Х, а во второй строке – вероятности принятия значения . .

2.3.2 Функция распределения ДСВ Х выражается формулой . .

График представляет собой ступенчатую линию.

Непрерывные случайные величины (НСВ). НСВ принимает свои значения непрерывно на некотором интервале числовой оси.

2.4.1 Закон распределения НСВ задаётся функцией плотности распределения , .

2.4.2 Функция распределения НСВ вычисляется по формуле . График НСВ представляет собой непрерывную неубывающую кривую. .

2.4.3 Площадь под графиком равна 1, так как .

2.4.4 Вероятность того, что НСВ Х примет значения в интервале равна . При . Вероятность отдельного значения равна нулю.

3. Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание – это среднее значение совокупности значений СВ.

Для ДСВ , для НСВ

Дисперсия характеризует степень разброса значений СВ от своего среднего значения . Пусть .

Для ДСВ: , для НСВ: .

Среднее квадратическое отклонение . – это абсолютное отклонение СВ от своего среднего значения.

4. Нормальное распределение

Оно самое распространенное распределение в природе, экономике и т.д. Обозначается , где и – параметры нормального распределения, .

Функция плотности вероятностей . определена на всей числовой оси, ; . Функция достигает при максимума, равного и имеет точки перегиба в точках и . При изменении значения график целиком перемещается вдоль оси х. При изменении значения график изменяется так: при увеличении значения в k раз максимальное значение уменьшается в k раз и график выполаживается.

Математическое ожидание , дисперсия .

Функция распределения .

Нормированное нормальное распределение . – функция Гаусса,

– функция Лапласа. . Составлены таблицы этих функций. Они используются для вычисления задач для . При этом , .

Вероятность того, что примет значения в интервале .

Дата добавления: 2018-05-09; просмотров: 347; Мы поможем в написании вашей работы!
Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!