Контрольной работы №11 для ЗРФ

Краткие теоретические сведения.

1. Комплексное число . i – мнимая единица, , т.е. . х, у – любые действительные числа; х – действительная часть, а у – мнимая часть комплексного числа.

Запись: .

1.1. Комплексное число  представляется точкой  плоскости хоу (комплексной плоскости z).

1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа , где  – модуль, .  – аргумент комплексного числа z. . .

1.3. Показательная форма комплексного числа .

1.4.  и т.д. .

1.5. Пусть .

1.5.1 .

1.5.2 .

1.5.3 .

1.5.4 .

2. Функция комплексного переменного.

Пусть , функция  может быть представлена в виде двух действительных функций u и v от действительных переменных х и у. , .

Примеры: 1) , тогда ;

2) .

3. Элементарные функции комплексного переменного.

3.1. Степенная функция , n – целое, положительное число.

Пусть , тогда .

3.2.  – корень целой положительной степени, если , то  – n-значная функция при .

3.3. Показательная функция.

Пусть , .

3.4. Логарифмическая функция.

.  – бесконечнозначная функция.

3.5. Тригонометрические функции.

Пусть . .

4. Производная функция комплексного переменного.

4.1. Пусть  определена и однозначна в некоторой окрестности точки .

, где  – приращения.

4.2. Если  имеет производную во всех точках области D, то  называется аналитической в области D. Точки плоскости z, в которых  не определена или не является аналитической, называются особыми.

4.3. Необходимые и достаточные условия аналитичности функции  (условие Коши-Римана или Эйлера-Даламбера). Однозначная функция , где  аналитична в точке z и её окрестностях, тогда и только тогда, когда  и .

4.4. Для нахождения производной  применяются обычные правила дифференцирования.

5. Ряд Лорана для функции  с центром в точке  имеет вид.

5.1.

или

5.2. Приёмы разложения функции в ряд Лорана в окрестности точки .

5.2.1. Используют разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций, беря

5.2.2. Если надо получить разложение функции  в окрестности , то надо представить функцию  в двух областях аналитичности:

1) внутри круга с центром в точке b, радиуса .

, можно воспользоваться табличным рядом Маклорена (6) для  при .

2) вне круга с центром в точке b, радиуса .

, можно воспользоваться табличным рядом Маклорена (6) для  при , т.е. .

5.2.3. Разложения для  можно получить продифференцировав ряд для , т.к. .

5.2.4. Часто надо предварительно преобразовать разлагаемую в ряд функцию, применив формулы: ; ; . Например, если надо разложить  в окрестности .

5.2.5. Рациональную дробь надо представить в виде суммы простейших дробей

. А₁ и А₂ получим, приведя правую часть тождества к общему знаменателю и приравняв числители дробей слева и справа.

. Получим систему уравнений относительно А₁ и А₂ .

Примеры выполнения заданий

Мы поможем в написании ваших работ!