Контрольной работы № 11 для ЗРФ

Краткие теоретические сведения.

1. Уравнения математической физики – это дифференциальные уравнения относительно функции двух или трех переменных и частных производных от нее второго и первого порядка, линейные относительно функции и ее частных производных.

1.1. Для однородных уравнений в частных производных (в которых отсутствует посторонняя функция в правой части уравнения) справедливо утверждение, что общее решение есть функциональный ряд, составленный из частных решений.

2. Решение уравнения теплопроводности в конечном стержне длиной .

2.1.   или   .

Искомая функция  – температура в точке с координатой  бесконечно тонкого стержня в момент времени .  – постоянный коэффициент. Функция  удовлетворяет условиям:

2.2. Начальным  – т.е. значение температуры в начальный момент времени в точках стержня равно .

2.3. Граничным условиям

2.3.1.

2.3.2.  , т.е. температура на концах стержня равна нулю.

3. Решение уравнения теплопроводности будем искать методом Фурье разделения переменных.

 Пусть частные решения представлены в виде произведения двух функций, каждая их которых зависит только от одной независимой переменной.

3.1.

Тогда а .

Подставим в (2.1) .                                 

Разделим обе части уравнения на ; .

Обе части этого уравнения должны быть постоянными, т.к. левая часть не зависит от , а правая – не зависит от , т.е. они не зависят ни от , ни от . Обозначим эту величину через . Получим два обыкновенных дифференциальных уравнения.

3.2.1. .

3.2.2. .

Решим 3.2.1.  или

 Поскольку температура  не может ни при каком  неограниченно возрастать при , то  – отрицательное число. Обозначим ; .

Решим уравнение 3.2.2.    или  Это линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение

Решение 3.2.2. . Из первого граничного условия 2.3.1.   следует, что  т.е.  а , т.е. .

Из второго граничного условия 2.3.2.   следует, что  т.к. , то , где

Числа , зависящие от натурального числа , называются собственными числами задачи.

3.2.3. .

3.2.4. Частное решение Обозначим произведение произвольных постоянных

4. Общее решение уравнения теплопроводности (по 1.1.)

.

5. Необходимо определить коэффициенты , пользуясь начальным условием 2.2.

 Учтя, что , получим

5.1.)  5.1. – это разложение функции , заданной на интервале , в ряд Фурье по синусам. Коэффициенты  вычисляются по формулам:

5.1.1. . Подставив вычисленные  в формулу 4. , получим искомое решение задачи.

Решение примера задания

контрольной работы № 11 для ЗРФ

  Найти решение уравнения теплопроводности.

(I)   , 0< <3, .

  Начальные условия:

(II)  .   .   

         Граничные условия:

(III) ,

   Решение:

    Пусть ; , .

     Подставим в уравнение (I)

             ; .

     Получим два обыкновенных дифференциальных уравнения

     а) ; б) .

     Решим уравнение а) , , .

      Решим уравнение б) .

Характеристическое уравнение ,  ; , .

      Воспользуемся граничными условиями (III)

                 ;

       По 3.2.3     и .

       По 3.2.4  .

       Общее решение по 4) .

       Найдем , воспользовавшись начальными условиями (II)

                  .

       По 5.1.1 .  

       Для получения  надо вычислить интегралы двух видов:

       А) ,       В) .

       Напомним, а) они вычисляются методом интегрирования по частям:

            если , то       ;

       б) ;  ;

        в) , где   ( .

         Вычислим А)

          .

В)

              .

         При вычислении : , ; ; ; ; ; ;

                .

         Итак, решение

                 .

Варианты заданий

Мы поможем в написании ваших работ!