Схема и уравнение теплопроводности через цилиндрические стенки. Эквивалентный коэффициент теплопроводности многослойной цилиндрической стенки.

Теплопроводность цилиндрической стенки
6.1 Однородная стенка
Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку (трубу) длиной l, с внутренним радиусом r₁ и внешним r₂. Коэффициент теплопроводности материала λ постоянен. Внутренняя и внешняя поверхности поддерживаются при постоянных температурах t₁ и t₂, причем t₁>t₂ (рис. 1) и температура изменяется только в радиальном направлении r. Следовательно, температурное поле здесь будет одномерным, а изотермические поверхности цилиндрическими, имеющими с трубой общую ось. Выделим внутри стенки кольцевой слой радиусом r и толщиной dr, ограниченный изотермическими поверхностями.

Рисунок 1 – Теплопроводность через цилиндрическую однородную стенку
Согласно закону Фурье, количество теплоты, проходящее в единицу времени через этот слой, равно
, (1)
Разделив переменные, имеем
(2)
После интегрирования уравнения
 (3)
Подставляя значения переменных на границах стенки (при r = r₁t = t₁ и при r = r₂t = t₂) и исключая постоянную С, получаем следующую расчетную формулу

(4)

Следовательно, количество теплоты, переданное в единицу вре­мени через стенку трубы, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности λ, длине l и температурному напору Δt,_. и обратно пропорционально натуральному логарифму отношения внешнего диаметра трубы d₂ к внутреннему d₁. Формула (26) справедлива и для случая, когда t₁<t₂, т. е. когда тепловой поток направлен от наружной поверхности к внутренней.
Количество теплоты, проходящее через стенку трубы, может быть отнесено либо к единице длины 1, либо к единице внутренней F₁ или внешней F₂ поверхности трубы. При этом расчетные формулы соответственно принимают следующий вид

, (5)

, (6)

, (7)
Так как площади внутренней и внешней поверхностей трубы различны, то различными получаются и значения плотностей тепловых потоков q₁ и q₂. Взаимная связь между ними определяется соотношением
 (8)
или
 (9)
Уравнение температурной кривой внутри однородной цилиндрической стенки выводится из уравнения (25). Подставляя сюда значения Q и С, имеем
 (10)
Следовательно, в этом случае при постоянном значении коэффициента теплопроводности λ температура изменяется по логарифмической кривой (рис. 4). С учетом зависимости коэффициента теплопроводности от температуры уравнение температурной кривой принимает следующий вид
 (11)
6.2 Многослойная стенка
Пусть цилиндрическая стенка состоит из трех разнородных слоев. Диаметры и коэффициенты теплопроводности отдельных слоев известны, их обозначения смотрите на рис. 2.

 

Рисунок 2 – Теплопроводность через цилиндрическую многослойную стенку
Кроме того, известны температуры внутренней и внешней поверхностей многослойной стенки t₁ и t₄. в местах же соприкосновения слоев температуры неизвестны, обозначим их через t₂ и t₃.
При стационарном тепловом режиме через все слои проходит одно и то же количество теплоты. Поэтому на основании уравнения (26) можно написать

} (12)

Складывая отдельно, левые и правые части системы уравнений (35), имеем

} (13)

Сумма этих температурных напоров составляет полный температурный напор
(14)
из этого уравнения определяем значение линейной плотности теплового потока
(15)
По аналогии с этим сразу можно написать расчетную формулу для n- слойной стенки
 (16)
Значения неизвестных температур t₂ и t₃ поверхностей соприкосновения слоев определяются из системы уравнений (13)
 (17)

Согласно уравнению (17), внутри каждого слоя температура изменяется по логарифмическому закону, а для многослойной стенки в целом температурная кривая представляет собой ломаную кривую.
Приведенные расчетные формулы можно упростить.
Логарифмическую расчетную формулу для трубы (16) можно представить в следующем, более простом виде
 (18)
или
 (19)
здесь – средний диаметр , - толщина стенки трубы
- влияние кривизны стенки при этом учитывается коэффициентом кривизны. Его значение определяется отношением диаметров d₂/d₁.
Для различных отношений d₂/d₁ значения различно. При d₂/d₁ <2 значение близко к единице. Поэтому если толщина стенки трубы по сравнению с диаметром мала или, если отношение d₂/d₁ близко к единице, влиянием кривизны стенки можно пренебречь.
Для расчета теплопроводности многослойной стенки трубы такая упрощенная формула имеет следующий вид:

 (20)
где δ_i – толщина слоя стенки; d_mi - средний диаметр; λ_i коэффициент теплопроводности; _i– коэффициент кривизны отдельных слоев. Эквивалентный коэффициент теплопро-водности λ_эк зависит только от значений термических сопротивлений и толщины отдельных слоев и определяется также как и для плоской стенки.

 

Теплопроводность через цилиндрическую стенку при граничных условиях третьего рода (теплопередача). Линейный коэффициент теплопередаче. Линейное термическое сопротивление. Критический диаметр цилиндрической стенки.

Теплопроводность цилиндрической стенки
   Рассмотрим бесконечно длинную цилиндрическую стенку (трубу) с внутренним радиусом r₁ и внешним r₂, коэффицент теплопроводности λ которой постоянен. Внутри этой стенки имеются равномерно распределенные источники теплоты q_v. Выделившаяся в стенке теплота может отводиться в окружающую среду либо только через внешнюю, либо только через внутреннюю, либо одновременно через обе поверхности трубы.
а)Теплота отводится через внешнюю поверхность трубы. Выделим в толще стенки кольцевой слой с радиусами r₁ и r, ограниченный изотермическими поверхностями (рис. 1).

Рис.1 – Теплопроводность цилиндрической стенки с внутренними источниками теплоты
Согласно закону Фурье через поверхность радиуса r переносится тепловой поток, отнесенный к единице длины
, (1)
В рассматриваемом случае . Подставляя это значение в уравнение и производя преобразование, получаем
 (2)
Интегрируя уравнение (2), имеем
(3)
Постоянная интегрирования С определяется из граничных условий. При , и .
Подставляя значение С получаем уравнение температурной кривой
 (4)

 

Полагая, что значение , получаем перепад температуры в стенке
 (5)
Если учитывать зависимость коэффициента теплопроводности от температуры , то уравнение температурной кри­вой принимает следующий вид
(6)
б) Теплота отводится через внутреннюю поверхность трубы.
Схема процесса показана на рис.1. Вывод расчетных формул здесь совершенно такой же, как и в предыдущем случае. Поэтому и итоговые уравнения для поля температур и температурного перепада здесь ничем не будут отличаться, за исключением того, что в них везде индексы 1 и 2 меняются на противоположные (т. е. на 2 и 1). Эти уравнения в форме, удобной для практических расчетов, имеют вид:
уравнение температурной кривой

 (7)
перепад температур в стенке
, (8)

 (83)

Если учитывать зависимость коэффициента теплопроводности от температуры λ = λ₀(1 + bt), то уравнение температурной кри­вой принимает следующий вид
 (84)

в) Теплота отводится через обе поверхности трубы. В первом случае (а) наивысшую температуру имеет внутренняя поверхность трубы, во втором (б) - внешняя, а в третьем (в) такая поверхность находится где-то внутри стенки; для нее q = 0.

Рис.2 – Теплота отводится через обе поверхности трубы.
Положим, что радиус этой поверхности равен r_0,, а температура t₀ (рис. 9). Тогда, используя уравнения будем иметь

,             (10) ,(11)

Вычитая, левые и правые части этих уравнений, получаем

 (12)
Решая уравнение (87) относительно r₀, имеем

 (13)
Подставляя найденное значение r₀ в уравнения (86) и (87), определяем значение t₀. Если t₁=t₂, то уравнение (88) упрощается и принимает следующий вид
 (13)
Последнее означает, что в этом случае r₀ от тепловых условий не зависит и определяется лишь размерами трубы (например, при ' r₂= 2 и r₁ = 1 r₀ = 1,46).

---

Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 1412; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!