Задание 3. Системы линейных уравнений
1) Решить систему линейных уравнений матричным способом.
2) Найти базисное решение системы уравнений методом Жордана – Гаусса.
Таблица 4 –Данные задания 3 « Системы линейных уравнений»
№ | Системы уравнений |
1 | 1) 2) |
2 | 1) 2) |
3 | 1) 2) |
4 | 1) 2) |
5 | 1) 2) |
6 | 1) 2) |
7 | 1) 2) |
8 | 1) 2) |
9 | 1) 2) |
10 | 1) 2) |
11 | 1) 2) |
12 | 1) 2) |
13 | 1) 2) |
14 | 1) 2) |
15 | 1) 2) |
16 | 1) 2) |
17 | 1) 2) |
18 | 1) 2) |
19 | 1) 2) |
20 | 1) 2) |
Пример 3
1) Решить систему уравнений матричным способом.
Решение. Обозначим X = − матрица-столбец неизвестных переменных;
− матрица коэффициентов при неизвестных или основная матрица;
− матрица свободных членов системы уравнений.
Систему уравнений можно представить в матричном виде А ∙ X = А0.
Тогда решение системы имеет вид:
Х = А-1 ∙ А0, (9)
|
|
где А-1 – обратная матрица к квадратной матрице А = .
Формула для вычисления обратной матрицы
А--1= . (10)
– определитель матрицы А, который вычисляется по формуле
Вычислим определитель матрицы системы:
Т.к. определитель матрицы А не равен 0, то матрица А невырожденная , для неё существует обратная матрица A-1.
Вычислим алгебраические дополнения для каждого элемента основной матрицы по формуле , где – минор того же элемента .
Минор элемента – это определитель, полученный из данного определителя вычеркиванием i-й строки и j-гo столбца.
Таким образом, по формуле (10) имеем следующую обратную матрицу:
Согласно формуле (9), получаем:
Проверка:
Подставим найденные числа вместо переменных в исходную систему уравнений:
|
|
Получили верные числовые равенства, следовательно, решение найдено верно.
Ответ: .
Приведение системы линейных уравнений к системе с базисом методом Жордана – Гаусса
Система уравнений называется системой с базисом, если каждое уравнение системы содержит переменную с коэффициентом 1, отсутствующую в других уравнениях.
Например, рассмотрим систему уравнений с базизом:
Переменные – базисные, – свободные. Базисное решение .
Алгоритм метода Жордана – Гаусса
1. Составляем таблицу Жордана – Гаусса.
2. Выбираем разрешающий элемент из коэффициентов при неизвестных, i-я строка и j-й столбец будут называться разрешающими.
3. Элементы i-й разрешающей строки делят на разрешающий элемент и полученные частные записывают в i-ю строку следующей таблицы.
4. Все элементы j-го столбца следующей таблицы обращаются в 0, кроме элемента, стоящего на месте разрешающего, он равен 1.
5. Все остальные элементы следующей таблицы вычисляются по “правилу прямоугольников”:
. (11)
|
|
2)Найти базисное решение системы уравнений:
Составим таблицу Жордана – Гаусса.
Столбец содержит свободные члены соответствующих уравнений, столбцы содержат коэффициенты при соответствующих переменных в уравнениях. В столбец “Б” будем записывать базисные переменные соответствующих уравнений.
Б | |||||||
1 2 0 | 2 -1 3 | -1 0 -2 | -1 1 -1 | -2 2 -2 | 2 -1 -1 | таблица 1 | |
3 2 2 | 1 -1 2 | -1 0 -2 | 0 1 0 | 0 2 0 | 1 -1 -2 | таблица 2 | |
3 5 8 | 1 0 4 | -1 -1 0 | 0 1 0 | 0 2 0 | 1 0 0 | таблица 3 | |
1 5 2 | 0 0 1 | -1 -1 0 | 0 1 0 | 0 2 0 | 1 0 0 | таблица 4 |
1. Выбираем в таблице 1 разрешающий элемент, любой из коэффициентов, не равный нулю, например .
2. Элементы разрешающей строки делим на 1 и записываем полученные значения во второй строке таблицы 2.
3. В разрешающем столбце таблицы 2 остальные элементы обращаются в ноль. Во втором уравнении неизвестная становится базисной.
4. Оставшиеся элементы таблицы 2 находим по правилу прямоугольника.
Приведем расчёты некоторых из них:
, , ,
, , .
5. Повторяя алгоритм метода Жордана – Гаусса, перейдем к таблице 4. Полученная система уравнений является системой с базисом. Базисные переменные – , , , свободные ─ , .
|
|
Чтобы записать базисное решение, базисные переменные приравниваем к соответствующим свободным членам, свободные переменные ─ к нулю. Полученное базисное решение имеет вид .
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 261; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!