Тема 4:ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Лекция № 8.
Тема: Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.
План:
1. Понятие функции нескольких переменных.
2. Частные производные функции нескольких переменных.
Понятие функции нескольких переменных.
Определение.Если каждой паре
значений двух не зависящих друг от друга переменных 
и 
из некоторой области их изменения 
по некоторому правилу ставится в соответствие единственное значение переменной 
, то говорят, что на области задана функция двух переменных 
.
Область называется областью определения функции двух переменных, а множество значений, принимаемых переменной , – ее областью значений.
Самый распространенный способ задания функции двух переменных – аналитический, то есть с помощью формул.
Пример. а) 
. Эта функция определена на всей плоскости. Из аналитической геометрии известно, что – уравнение эллиптического параболоида, поэтому можно сказать, что эллиптический параболоид является графиком этой функции (рис. 1).
б) 
. Эта функция определена, если 
, то есть внутри единичного круга. После возведения в квадрат обеих частей равенства получим уравнение сферы 
, но так как 
, то график этой функции – верхняя полусфера (рис. 2).
|
|
Таким образом, графиком функции двух переменных является поверхность.
Рассматривая функции двух переменных, мы будем иметь дело с множествами точек, которые представляют собой часть плоскости.
|
|
|
Определение. Окрестностью (или 
-окрестностью) точки 
называется множество точек плоскости, координаты которых связаны неравенством 
.
Другими словами, окрестностью точки на плоскости будем называть круг с центром в этой точке радиуса , не включающий окружность.
Определение. Точка 
называется внутренней точкой множества , если существует окрестность этой точки, целиком лежащая в .
То есть внутренние точки области принадлежат ей вместе с некоторой достаточно малой своей окрестностью.
Определение. Если любая окрестность точки содержит как точки области , так и точки, не принадлежащие , то называется граничной точкой области . Множество всех граничных точек области называется ее границей.
Или, по-другому, граница плоской области – это линия, которая ее ограничивает, а точки области, не лежащие на ее границе, – внутренние точки.
Определение. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой, или незамкнутой. Если к области относятся и все точки границы, то она называется замкнутой.
Вся плоскость по определению считается и открытой, и замкнутой.
Определение. Плоская область называется ограниченной, если существует круг, целиком содержащий эту область.
|
|
|
Дата добавления: 2018-05-01; просмотров: 221; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!