Векторное произведение векторов

Обозначение: х или [ , ]

Выражение векторного произведения через координаты

Для определения векторного произведения через координаты будем использовать таблицу векторного произведения векторов , и :

*
			-
	-
		-

Теорема: Если векторы и заданы своими координатами: = {x₁, y_1,z₁}, ={x₂, y_2,z₂}, то векторное произведение вектора на вектор определяется формулой:

= = – разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки.

5. Смешанное произведение векторов

Определение: Смешанным произведением трех векторов , , называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов х , т.е. ( х ).

ТЕМА 3. Элементы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве

Лекция № 4.

Тема:Прямая линия на плоскости

1. Виды уравнений прямой на плоскости.

Общее уравнение прямой

Имеет вид Ax+By+C=0, где А и В – одновременно не равны 0

Определение.Уравнением линии называется такое уравнение, которому удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на этой линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии

Обозначение: В общем виде F(x, y)=0 или y=f(x) (если возможно),

где F(x, y), f(x) – некоторые функции

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

имеет вид y=kx+b,где k-угловой коэффициент прямой, равный k=tgα

Тема:Плоскость и прямая в пространстве

1. Виды уравнений плоскости в пространстве.

Пусть точка Mo(x₀,y₀,z₀) лежит на плоскости и вектор (A,B,C) перпендикулярен к плоскости (рис.1)

Возьмём на плоскости p любую точку M(x,y,z), образуем вектор и используем условие перпендикулярности двух векторов и .

^ Þ ( , ) = 0

Запишем уравнение данное уравнение в координатной форме.

(x₀-x, y₀-y, z-z₀), (A, B, C)

( , ) = A(x-x₀) + B(y₀-y) + C(z-z₀)

Преобразуя последнее выражение, получим Ax+By+Cz+D=0, где

D=-Ax₀-By₀-Cz₀

Уравнение Ax+By+Cz+D=0 называется общим уравнением плоскости в пространстве.

ТЕМА 4. Введение в математический анализ.

Тема 1:Теория пределов

Лекция № 5.Функции и их свойства. Предел последовательности и функции.

План:

1. Функции и их свойства.

2. Числовая последовательность.

3. Предел функции в точке.

4. Предел функции на бесконечности.

5. Основные теоремы о пределах.

6. Замечательные пределы.

Функции и их свойства.

Определение: Пусть заданы некоторые числовые множества X, Y.

Если каждому элементу x множества X ставиться в соответствие определенный элемент y множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция y=f(x).

Переменная x называется независимой переменной или аргументом, y – зависимой или функцией

Множество X – область допустимых значений независимой переменной x, множество Y- множество значений функции.

Определение: Графиком функции y=f(x) называется множество всех точек плоскости Oxy, для каждой из которых x является значением аргумента, а y соответствующим значением функции.

Способы задания функции:

1. Аналитический способ. При этом способе указывается формула, связывающая зависимую переменную величину с независимой переменной величиной.

2. Табличный способ. При этом способе выписываются в определенном порядке значения аргумента x₁, x₂, x₃…x_n и соответствующие значения функции y₁, y₂, y₃…y_n

x	x₁	x₂	…	x_n
y	y₁	y₂	…	y_n

3. Графический способ. Этот способ удобен, когда задать функцию аналитически довольно трудно. Этот способ состоит в изображении графика функции – т. е. множества точек (x, y) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента x, ординаты – соответствующие им значения функции y=f(x).

4. Словесный способ. Функция описывается правилом составления.

Основные свойства функции:

1. Четность и нечетность функции.

Определение: Функция y=f(x) называется четной, если при всех значениях x из области определения этой функции выполняется условие f(-x)=f(x).

Определение: Функция y=f(x) называется нечетной, если при всех значениях x из области определения этой функции выполняется условие f(-x)=-f(x).

Замечание: Если функция не является не четной и не нечетной, то функция является функцией общего вида.

2. Монотонность функции.

Определение: Функция y=f(x) называется монотонно возрастающей (возрастающей) на множестве X, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т. е. для x₁, x₂ϵX и x₂>x₁_,следовательно, f(x₂)>f(x₁)

Определение: Функция y=f(x) называется монотонно убывающей (убывающей) на множестве X, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции, т. е. для x₁, x₂ϵX и x₂>x₁_,следовательно, f(x₂)<f(x₁)

Функции возрастающие и убывающие называются монотонными функциями.

3. Ограниченность функции.

Определение: Функция y=f(x) называется ограниченной на промежутке X, если существует такое положительное число М>0, что |f(x)|≤M для любого xϵM. В противном случае, функция называется неограниченной.

4. Периодичностьфункции.

Определение: Функция y=f(x) называется периодической, если существует число Т≠0, такое, что при любых x из области определения функции выполняется условие f(x+T)=f(x). Число Т называется периодом функции.

Числовая последовательность.

Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что задана последовательность

x_1,х₂, …, х_n= {x_n}

Общий элемент последовательности является функцией от n, т.е.x_n = f(n)

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

Пример. {x_n} = {(-1)ⁿ} или {x_n} = -1; 1; -1; 1; …

Определение. Последовательность {x_n} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

Определение. Последовательность {x_n}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что x_n£M.

Определение. Последовательность {x_n}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что x_n³M

Определение.Числоа называется пределом последовательности {x_n}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n>N выполняется условие:

Обозначение:limx_n = a.

В этом случае говорят, что последовательность {x_n}сходится к а при n®¥.

Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

Определение.

1) Если x_n₊₁>x_n для всех n, то последовательность возрастающая

2) Если x_n₊₁³x_n для всех n, то последовательность неубывающая.

3) Если x_n₊₁<x_n для всех n, то последовательность убывающая.

4)Если x_n₊₁£x_n для всех n, то последовательность невозрастающая

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Пример. {x_n} = 1/n – убывающая и ограниченная, {x_n} = n – возрастающая и неограниченная.

Предел функции в точке.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

     Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число d>0, что для всех х таких, что

0 <ïx - aï<d верно неравенствоïf(x) - Aï<e.

       Обозначение:

       Определение.Если f(x) ®A₁ при х ® а только при x<a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ®A₂ при х ® а только при x>a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа.

       Данное определение справедливо для функции f(x), которая не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

       Пределы А₁ и А₂ называются односторонними пределами функции f(x) в точке х = а.

Дата добавления: 2018-05-01; просмотров: 267; Мы поможем в написании вашей работы!
Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!