Тема2:Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Определение. Производной функции  в точке  называется предел отношения ее приращения в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

 или

Отсюда  – угловой коэффициент касательной к графику функции  в точке

Геометрический смысл производной: производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Физический смысл производной: производная функции в точке характеризует скорость ее изменения в окрестности этой точки. Отсюда следует, что если  то

Основные правила дифференцирования.

1. Производная постоянной равна нулю, т. е. c^/=0

2. Производная аргумента равна единицы, т. е. x^/=1

3. Производная алгебраической суммы конечного числа функций равна сумме производных этих функций, (u+v)^/=u^/+v^/

4. Производная от произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производно первой функции на вторую плюс произведение первой функции на производную второй функции, т. е. (uv)^/=u^/v+uv^/

5. Производная частного двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

6. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т. е. (cu)^/=cu^/

7. Производная нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, т.е. (uvw)^/=u^/vw+uv^/w+uvw^/

Таблица производных

	Функция	Производная
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
14

Производная сложной функции.

       Теорема (о производной сложной функции).

Пусть функция  дифференцируема в некоторой точке , а функция  дифференцируема в соответствующей точке , тогда сложная функция  дифференцируема в точке  и .

       Пример. Найти производную функции .

Это сложная функция:

Поэтому

Тема 3:Интегрирование функции одной переменной

Лекция № 7.Неопределённое интегрирование.

План:

1. Понятие неопределенного интеграла.

2. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.

3. Замена переменной в неопределенном интеграле.

4. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

5. Определенный интеграл и его свойства.

6. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Мы поможем в написании ваших работ!