Повторение испытаний (опытов)
Формула Бернулли и формула Пуассона
Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в
каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.
Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события А равна р (0 < p < 1), это событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), равна (формула Бернулли)
Pn(k) = 
pk qn – k или Pn(k) = 
pk qn – k , где q = 1 – p.
Вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит
менее k раз: Pn(<k) = Pn(0) + Pn(1) + … + Pn(k – 1);
более k раз: Pn(>k) = Pn(k + 1) + Pn(k + 2) + … + Pn(n);
не менее k раз: Pn(≥k) = Pn(k) + Pn(k + 1) + … + Pn(n);
не более k раз: Pn(≤k) = Pn(0) + Pn(1) + … + Pn(k).
При больших n и малых р вычисления по формуле Бернулли затруднены. В этих случаях можно использовать приближенную формулу Пуассона
Pn(k) = 
е–λ λ = np.
Для применения формулы Пуассона обычно достаточно выполнения условий
p < 0,1, npq < 10.
1.6.1. В результате обследования были выделены семьи, имеющие по четыре ребенка. Считая вероятности появления мальчика и девочки в семье равными, определить вероятность наличия в ней:
а) одного мальчика; б) двух мальчиков.
Решение. Вероятность появления мальчика или девочки равна р = 
. Вероятность наличия ровно одного мальчика в семье, имеющей четырех детей, находится по формуле Бернулли:
|
|
|
P4(1) = 
p1 q 3= 
× · 
= 
.
Вероятность наличия в семье двух мальчиков равна
P4(2) = 
p2 q 2= 
× 
× = 
.
1.6.2. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть
2 партии из 4-х или 3 из 6-ти (ничья во внимание не принимается)?
Решение. р = , q = 1 – p = .
P4(2) = p2 q 2= × 
= 
. P6(3) = 
p3 q 3= 
× 
= 
.
Т.о., P4(2) > P6(3): вероятнее выиграть 2 партии из 4-х, чем 3 из 6-ти.
1.6.3.Четыре покупателя приехали на оптовый склад. Вероятность того, что
каждому из этих покупателей потребуется холодильник марки «А», равна 0,4. Найти вероятность того, что холодильник потребуется:
а) не менее чем двум покупателям;
б) не более чем трем покупателям;
в) всем четырем покупателям. (а) 0,5248; б) 0,9744; в) 0,0256)
1.6.4.Работают четыре магазин по продаже стиральных машин. Вероятность
отказа покупателю в магазинах равна 0,1. Считая, что ассортимент товара в каждом магазине формируется независимо от других, определить вероятность того, что покупатель получит отказ в двух, в трех и в четырех магазинах. (0,0486; 0,0036; 0,0001)
1.6.5.Всхожесть семян огурцов равна 0,8. Какова вероятность того, что из пяти
|
|
|
посеянных семян взойдут не менее четырех? (0,7373)
1.6.6.В новом микрорайоне поставлено 10 000 кодовых замков на входных дверях
домов. Вероятность выхода из строя одного замка в течение месяца равна а) 0,0002; б) 0,001. Найти вероятность того, что за месяц откажут два, три или пять замков.
Решение. Используем формулу Пуассона Pn (k) = 
е–λ , λ = np.
В нашем случае а) λ = np = 10000 · 0,0002 = 2; б) λ = np = 10000 · 0,001 = 10.
Тогда: P10000(2) = 
е–2 = 0,27; P10000(2) = 
е–10 = 0,00225;
P10000(3) = 
е–2 = 0,18; P10000(3) = 
е–10 = 0,00757;
P10000(5) = 
е–2 = 0,036; P10000(5) = 
е–10 = 0,03783.
1.6.7.Завод отправил в торговую сеть 500 изделий. Вероятность повреждения
изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что при транспортировке будет повреждено
а) ровно три изделия; (0,0613)
б) более трех изделий. (0,02)
1.6.8.На станциях отправления поездов находится 1000 автоматов для продажи
билетов. Вероятность выхода из строя одного автомата в течение часа равна 0,004. Какова вероятность того, что в течение часа из строя выйдут два, три или пять автоматов? (0,1464; 0,1952; 0,1562)
|
|
|
1.6.9.Вероятность сбоя в работе телефонной станции при каждом вызове равна
0,007. Поступило 1000 вызовов. Определить вероятность 9 сбоев. (0, 1014)
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 991; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!