Вероятность появления хотя бы одного события
В некоторых случаях вероятность события удобно подсчитывать как вероятность
противоположного ему событию.
Пусть события А1, А2, … , Аn независимы и известны вероятности этих событий
P (А1) = p1, P (А2) = p2, … , P (Аn) = pn .
Обозначим вероятность противоположных событий
P ( 
) = q1, P ( 
) = q2, … , P ( 
) = qn ,
и найдем вероятность того, что ни одно из событий А1, А2, … , Аn в опыте не наступит:
P (B) = P ( … ) = P ( ) · P ( ) · … · P ( ) = q1 · q2 · … · qn .
В этом случае искомая вероятность, т.е. вероятность появления хотя бы одного события, определяется как вероятность противоположного события
P ( 
) = 1 – P (B) = 1 – q1 q2 … qn .
1.4.1. Предприятие обеспечивает регулярный выпуск продукции при безотказной поставке комплектующих от двух смежников. Вероятность отказа в поставке продукции от первого из смежников равна 0,05, от второго – 0,08. Найти вероятность сбоя в работе предприятия. ( 0,126)
1.4.2.Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо
работающими предприятиями соответственно равны 0,5; 0,6; 0,7. Найти вероятность своевременного выполнения задания хотя бы одним предприятием. ( 0,94)
Формула полной вероятности и формула Байеса
Если некоторое событие В может совершаться с одним или несколькими из n
|
|
|
несовместных событий А1, А2, … , Аn , образующих полную группу событий, то для определения вероятности этого события используется формула полной вероятности
P (B) = 
,
где P (Аi) – вероятность события Аi ;
P (B/Аi) – условная вероятность события В при условии, что произошло событие Аi .
Для определения вероятности события Аi при условии, что произошло событие В, используется формула Байеса
P (Аi /В) = 
= 
.
1.5.1. На автозавод поступили двигатели от трех моторных заводов. От первого
завода поступило 10 двигателей, от второго – 6 и от третьего – 4 двигателя. Вероятности безотказной работы этих двигателей в течение гарантийного срока соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7.
Какова вероятность того, что
а) установленный на машине двигатель будет работать нормально (без отказов) в течение гарантийного срока;
б) проработавший нормально двигатель изготовлен на первом заводе, на втором заводе?
Решение. Обозначим через А1, А2 А3 события, состоящее в установке на автомобиль двигателей, изготовленных соответственно на первом, втором или третьем моторных заводах. Вероятности этих событий таковы:
Р (А1) = 
= 0,5; Р (А2) = 
= 0,3; Р (А3) = 
= 0,2.
а) вероятность того, что наугад взятый двигатель проработает нормально находим по формуле полной вероятности:
|
|
|
P (B) = Р (B/А1) Р (А1) + Р (B/А2) Р (А2) + Р (B/А3) Р (А3) = 0,5 · 0,9 + 0,3 · 0,8 + 0,2 · 0,7 = 0,83.
б) если двигатель проработал нормально в течение гарантийного срока, то вероятности того,что он изготовлен на первом, втором заводах, находим по формуле Байеса:
P (А1/В) = 
= 
= 
= 0,54; P (А2/В) = 
= 
= 
= 0,29.
1.5.2.На предприятии, изготавливающем замки, первый цех производит 25, второй
35, третий 40% всех замков. Брак составляет соответственно 5, 4, 2% .
а) Найти вероятность того, что случайно выбранный замок является дефектным.
б) Случайно выбранный замок оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был изготовлен в первом, втором, третьем цехе?
(а) Р = 0,034594; б) Р (А1) = 0,362, Р (А2) = 0,408, Р (А3) = 0,232)
1.5.3.Трое рабочих изготавливают однотипные изделия. Первый рабочий
изготовил 40 изделий, второй – 35, третий – 25. Вероятность брака у первого рабочего 0,03, у второго – 0,02, у третьего – 0,01. Взятое наугад изделие оказалось бракованным. Определить вероятность того, что это изделие сделал второй рабочий. (0,326)
1.5.4.Трое рабочих изготавливают однотипные изделия. Первый рабочий изготовил
40 изделий, второй – 35, третий – 25. Вероятность брака у первого рабочего 0,03, у второго – 0,02, у третьего – 0,01. Взятое наугад изделие оказалось бракованным. Определить вероятность того, что это изделие сделал второй рабочий. (0,326)
|
|
|
1.5.5.На предприятии работают две бригады рабочих: первая производит в среднем
0,75% продукции с процентом брака 4%, вторая – 0,25% продукции с процентом брака 6%. Найти вероятность того, что взятое наугад изделие:
а) окажется бракованным;
б) изготовлено второй бригадой при условии, что изделие оказалось бракованным. (а) 0,045; б) 0,33)
1.5.6.В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги и туфли в соотношении
2:3. Вероятность качественного ремонта для сапог равна 0,9, а для туфель – 0,85. Проведена проверка качества одной пары обуви. Оказалось, что эта пара обуви отремонтирована качественно. Какова вероятность того, что это
а) сапоги, б) туфли? (а) 0,41; б) 0,59)
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 3704; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!