Несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

P = .

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Произведением событий называется событие, состоящее в появлении всех из рассматриваемых событий.

Вероятность события В, вычисленная при условии, что произошло событие А, называется условной вероятностью события В относительно события А. Эта вероятность обозначается P(B/A).

Пример 1. Имеются две урны. В первой находится 5 белых и 5 черных шаров, во второй 1 белый и 9 черных. Наугад выбирается урна и наугад вынимается из нее шар. Пусть В есть событие «вынутый шар белый», событие A_i = «шар вынимается из i-й урны» (i = 1, 2).

Тогда Р(В/ A₁) = = , Р(В/ A₂) = .

Условная вероятность удовлетворяет следующим соотношениям, которые

можно считать определениями:

Р(А/B) = , Р(B) ≠ 0; Р(В/А) = , Р(А) ≠ 0.

Пример 2. Из колоды в 32 листа наугад вынута карта. Какова вероятность того, что это туз, если известно, что вынутая карта черной масти?

Р(Т / Ч) = = = .

Пример 3. В ящике 12 красных, 8 зеленых и 10 синих шаров. Наудачу вынимают один шар. Какова вероятность того, что он красный, если известно, что вынутый шар не синий?

Р(К / ) = = = = .

Теорема умножения вероятностей двух событий. Вероятность произведения двух

Событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность

второго относительно первого:

P(АВ) = P(A) P(B/A) = P(В) P(А/В).

Эта теорема обобщается на любое конечное число событий:

P(АВC…LM) = P(A) P(B/A) P(C/AB) … P(M/AB…L).

Два случайных события называются независимыми, если осуществление одного

из них не влияет на вероятность осуществления другого, т.е. если

Р(А/B) = Р(А).

Формула умножения вероятностей в случае независимых событий

Р(АB) = Р(А) × Р(В).

Часто приведенная формула служит определением независимости случайных событий: два случайных события называются независимыми, если вероятность их

произведения равна произведению их вероятностей, т.е. Р(АB) = Р(А) × Р(В).

  Пример 4. В составе из 30 вагонов 8 пустых. Найти вероятность того, что последние 3 вагона пустые.

              А = «последние три вагона пустые».

А₁ = «последний вагон пустой», А₂ = «предпоследний вагон пустой» , А₃ = «3-й от конца вагон пустой» .

P(А) = P(А₁) × P(А₂/ А₁) × P(А₃/ А₁ А₂) .

P(А₁) = , P(А₂/ А₁) =   (осталось всего 29 вагонов, из которых 7 пустые),

P(А₃/ А₁ А₂) =   (осталось всего 28 вагонов, из которых 6 пустые).

  P(А) = P(А₁) × P(А₂/ А₁) × P(А₃/ А₁ А₂) = . . = ≈ 0,014.

Пример 5. Студент знает ответы на 30 вопросов из 40. Найти вероятность того, что он знает ответ на 2 предложенных ему вопроса.

              А = «студент ответит на два предложенных ему вопроса».

А₁ = «студент ответит на 1-й вопрос», А₂ = «студент ответит на 2-й вопрос» .

P(А) = P(А₁) × P(А₂/ А₁).

P(А₁) = , P(А₂/ А₁) =   (осталось всего 39 вопросов, из которых 29 «отвечаемы»)

            P(А) = P(А₁) × P(А₂/ А₁) = . = = = 0,56.

Замечание. Примеры 4 и 5 приведены для демонстрации условной вероятности. Их проще решать с помощью классической вероятности:

Пр 4. P(А) = = = = ≈ 0,014. Пр 5.   P(А) = = ≈ 0,014.

       Теорема сложения вероятностей двух совместных событий. Вероятность суммы

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 410; Мы поможем в написании вашей работы!
Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!