Кинетическая энергия твердого тела

Кинетическая энергия твердого тела равна сумме кинетических энергий материальных точек, составляющих это тело:

Вычислим выражения для кинетической энергии твердого тела для трех случаев движения.

1. Тело движется поступательно. Учитывая,что в случае поступательного движения все точки тела имеют одинаковые скорости, запишем

Следовательно, в случае поступательного движения твердого тела его кинетическая энергия вычисляется по той же формуле, что и кинетическая энергия материальной точки.

2. Тело вращается вокруг неподвижной оси.

Запишем

или

Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.

3. Тело движется плоскопараллельно. Как известно из кинематики, сложное плоскопараллельное движение твердого тела в каждый данный момент можно считать простейшим вращательным движением вокруг мгновенной оси (метод мгновенных центров скоростей). Допустим, что известна скорость v_c центра тяжести тела, тогда мгновенная угловая скорость

где ОС — расстояние центра тяжести С тела от мгновенной оси вращения О.Момент инерции J_О относительно мгновенной оси вращения вычисляют по формуле

где Jc — момент инерции относительно центральной оси, или центральный момент инерции.

162

Кинетическую энергию тела, движущегося плоскопараллельно, определяют следующим образом:

или

Кинетическая энергия твердого тела, движущегося плоскопа-раллелъно, равна сумме кинетических энергий в поступательном движении вместе с центром тяжести и вращательном движении вокруг центральной оси, перпендикулярной основной плоскости.

В заключение настоящего параграфа сформулируем теоремуоб изменении кинетической энергии системы тел:изменение кинетической энергии системы тел при некотором перемещении равно алгебраической сумме работ всех внешних (активных и реактивных) и внутренних сил, действовавших на систему при указанном перемещении:

Кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий каждого тела в отдельности. Если тело твердое, то сумма работ его внутренних сил равна нулю. При некоторых связях, называемых идеальными, работа реактивных сил равна нулю.

Сравнение формул динамики

Для поступательного и вращательного

Движений твердого тела

Сравнивая формулы динамики точки или поступательно движущегося тела с формулами вращательного движения тела, легко заметить, что эти формулы по структуре аналогичны. Чтобы из формул поступательного движения получить формулы вращательного движения, необходимо вместо силы подставить вращающий момент, вместо линейного перемещения — угловое перемещение, вместо линейной скорости — угловую скорость, вместо линейного ускорения — угловое ускорение, а вместо массы — момент инерции тела относительно оси вращения.

Сравнение формул поступательного и вращательного движений удобно провести с помощью табл. 17.1.

163

Таблица 17.1

Пример 17.3.Вычислить кинетическую энергию колеса радиусом r,массой т, катящегося по прямолинейному рельсу без скольжения, если скорость центра тяжести С колеса рана _С Колесо считать сплошным однородным цилиндром (рис. 17.6).

Решение. Решим данный пример двумя способами. Как известно из кинематики, сложное плоскопараллельное движение колеса можно рассматривать либо как простейшее вращательное движение вокруг мгновенной оси О с угловой скоростью со (метод мгновенных центров скоростей), либо как сложное движение, состоящее из поступательного движения со скоростью v_c и относительного вращательного движения вокруг оси С (метод разложения плоскопараллельного движения на поступательное и вращательное). Напомним, что абсолютная (мгновенная) и относительные угловые скорости колеса всегда равны между собой.

1. Метод мгновенных центров скоростей. В этом случае кинетическая энергия колеса вычисляется по формуле

где Jo — момент инерции колеса относительно мгновенной оси вращения О. Момент инерции относительно оси О равен

Момент инерции сплошного однородного цилиндра относительно его геометрической оси вычисляют по формуле

следовательно,

Теперь вычислим кинетическую энергию колеса:

2. Метод разложения плоскопараллельного движения на поступательное и вращательное.В этом

164

случае кинетическая энергия колеса равна сумме кинетических энергий в поступательном и вращательном движениях:

Пример 17.4. Груз Q,опускаясь, вращает однородный цилиндр, сила тяжести которого G,а радиус r (рис. 17.7). Пренебрегая трением на оси цилиндра, найти натяжение S нити, угловую скорость и ускорение цилиндра, когда груз Q опустится на расстояние h. Вначале система находилась в покое.

Решение. Для решения задачи расчленим систему на две части и рассмотрим отдельно поступательное движение груза и вращательное движение цилиндра. Так как на систему действуют постоянные силы, то груз и цилиндр будут двигаться с постоянными ускорениями а (груз) и (цилиндр).

Линейное ускорение а груза равно касательному ускорению точек, лежащих на поверхносги цилиндра:

где — угловое ускорение цилиндра.

По условию начальная скорость ₀ = 0, а конечную скорость груза, прошедшего путь h с постоянным ускорением а, определим из формулы кинематики:

откуда

Далее воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии материальной точки и применим ее к грузу, движущемуся поступательно:

Подставив выражения массы, скорости и работы, получим

Отсюда реакция S нити равна

Далее запишем уравнение вращательного движения цилиндра

Вращающий момент

а момент инерции цилиндра вычислим по формуле

165

Подставив эти выражения в уравнение вращательного движения, получим

Отсюда определим угловое ускорение цилиндра:

Теперь можно определить угловую скорость цилиндра:

Подставив значение углового ускорения, получим

откуда

В заключение определим угловую скорость цилиндра с помощью теоремы об изменении кинетической энергии системы тел. Учитывая, что вначале система находилась в покое, что работа силы тяжести цилиндра равна нулю (точка ее приложения не перемещается), и пренебрегая трением, будем иметь

где

Подставив значения, получим

Отсюда

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 2667; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 38 39 40 41 424344 45 46 47 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!