Системы линейных одновременных уравнений.
Экономические показатели, часто оказываются взаимозависимы. Структура связей между такими показателями (переменными) может быть описана с помощью системы одновременных (структурных) уравнений [2, 3]. В этих уравнениях присутствуют переменных следующих типов:
-эндогенные, зависимые переменные y, определяемые внутри системы;
-экзогенные, независимые переменные x, значения которых задаются извне, они являются управляемыми, планируемыми;
-предопределенные переменные, включающие в себя как экзогенные переменные за текущий период времени, так и лаговые переменные (т.е. экзогенные и эндогенные переменные за предыдущие периоды времени).
Выделяют следующие виды эконометрических систем.
Системы независимых уравнений, в которых каждая зависимая переменная yi (i=1,…,n) представлена как функция одного и того же набора независимых переменных xj (j=1,…,m):
y1 = a11 x1 + a12 x2 + …+a1m xm + e1
y2 = a21 x1 + a22 x2 + …+a2m xm + e2 (1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
yn = an1 x1 + an2 x2 + …+anm xm + en
Каждое уравнение этой системы можно рассматривать самостоятельно как уравнение регрессии. В него может быть введен свободный член и коэффициенты регрессии могут быть найдены методом наименьших квадратов (МНК).
Системы рекурсивных уравнений, в которых зависимые переменные yi (i=1,…,n) представлены как функции независимых переменных xj (j=1,…,m) и определенных ранее зависимых переменных y1 , y2 ,…, yi-1:
|
|
|
y1 = a11 x1 + a12 x2 + …+a1m xm + e1
y2 = b21 y1 + a21 x1 + a22 x2 + …+a2m xm + e2 (2)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
yn = bn1 y1 + bn2 y2 +,…,+bnn-1 yn-1 +an1 x1 + an2 x2 + …+anm xm + en
Параметры каждого уравнения системы определяются отдельно, в последовательном порядке, начиная с первого уравнения, методом наименьших квадратов.
Системы взаимозависимых уравнений, в которых каждая зависимая переменная yi (i=2,…,n) представлена как функция остальных зависимых переменных yk (k ¹ i) и независимых (предопределенных) переменных xj (j=1,…,m):
y1= b12 y2 + b13 y3 + … + b1n yn +a11 x1 + a12 x2 + …+a1m xm + e1
y2= b21 y1 + b23 y3 + … + b2n yn +a21 x1 + a22 x2 + …+a2m xm + e2 (3)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
yn= bn1 y1 + bn2 y2 + … + bnn-1 yn-1 +an1 x1 + an2 x2 + …+anm xm + en
Эта система наиболее распространенная, она получила также название системы совместных, одновременных уравнений. Ее так же называют структурной формой модели (СФМ).
Отдельные коэффициенты при переменных СФМ могут быть равны нулю, что означает отсутствие в уравнении этих переменных. Например, модель динамики цены и заработной платы может быть описана СФМ вида
y1= b12 y2 +a11 x1 + e1
|
|
|
y2= b21 y1 + a22 x2 +a23 x3 + e2 (4)
где y1 – темп изменения заработной платы;
y2 – темп изменения цен;
x1 – процент безработных;
x2 – темп изменения постоянного капитала;
x3 – темп изменения цен на импорт сырья.
Данная система из двух уравнений содержит две зависимые, эндогенные (y1 , y2) и три независимые, экзогенные (x1,x2,x3) переменные. В первом уравнении отсутствуют переменные x2 и x3 . Это значит, что коэффициенты a12 = 0 и a13= 0.
В СФМ для нахождения параметров модели bij и aij (называемых также структурными коэффициентами модели), простой МНК неприменим.
Обычно для определения структурных коэффициентов модели СФМ преобразуется в приведенную форму модели (ПФМ).
y1 = d11 x1 + d12 x2 + …+d1m xm
y2 = d21 x1 + d22 x2 + …+d2m xm (5)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
yn = dn1 x1 + dn2 x2 + …+dnm xm
Параметры приведенной формой модели dij могут быть оценены по методу наименьших квадратов. По этим параметрам затем можно рассчитать структурные коэффициенты модели bij и aij. Для существования однозначного соответствия между параметрами структурной и приведенной формами необходимо выполнение условия идентификации.
|
|
|
Структурные формы модели могут быть
идентифицируемые;
неидентифицируемые;
сверхидентифицируемые.
Для того, чтобы СФМ была идентифицируема, необходимо чтобы каждое уравнение системы было идентифицируемо. В этом случае число параметров СФМ равно числу параметров приведенной формы.
Если хотя бы одно уравнение СФМ неидентифицируемо, то вся модель считается неидентифицируемой. В этом случае число коэффициентов приведенной формы модели меньше, чем число коэффициентов СФМ.
Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае можно получить два и более значений одного структурного коэффициента на основе коэффициентов приведенной формы модели. В сверхидентифицируемой модели хотя бы одно уравнение сверхидентифицируемо, а остальные уравнения идентифицируемы.
Если обозначить число эндогенных переменных в i-том уравнении СФМ через Н, а число предопределенных переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение, через D, то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде следующего счетного правила:
|
|
|
если D+1 < H уравнение неидентифицируемо;
если D+1 = H уравнение идентифицируемо;
если D+1 > H уравнение сверхидентифицируемо;
Счетное правило является необходимым, но не достаточным условием идентификации. Кроме этого правила для идентифицируемости уравнения должно выполняться дополнительное условие.
Отметим в системе эндогенные и экзогенные переменные, отсутствующие в рассматриваемом уравнении, но присутствующие в системе. Из коэффициентов при этих переменных в других уравнениях составим матрицу. При этом если переменная стоит в левой части уравнения, то коэффициент надо брать с обратным знаком. Если определитель полученной матрицы не равен нулю, а ранг не меньше, чем количество эндогенных переменных в системе без одного, то достаточное условие индетификации для данного уравнения выполнено.
Поясним это на примере следующей структурной модели.
y1= b12 y2 + b13 y3 + a11 x1 + a12 x2
y2= b21 y1 + a22 x2 + a23 x3 + a24 x4 (6)
y3= b31 y1 + b32 y2 +a31 x1 + a32 x2
Проверим каждое уравнение системы на выполнение неоходимого и достаточного условия идентификации.
В первом уравнении три эндогенных переменных: y1 ,y2 и y3 (H=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные x3 и x4 (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=Hвыполнено.
Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных x3 и x4 (см. таблицу 1). В первом столбце таблицы показано, что коэффициенты при экзогенных переменных x3 и x4 взяты из уравнений 2 и 3 системы. Во втором уравнении эти переменные присутствуют и коэффициенты при них равны a23 и a24 соответственно. В третьем уравнении эти переменные отсутствуют, т.е. коэффициенты при них равны нулю. Так как вторая строка матрицы состоит из нулей, определитель матрицы равен нулю. Значит, достаточное условие не выполнено, и первое уравнение нельзя считать идентифицируемым.
Таблица 1 - Матрица, составленная из коэффициентов при х x3 и x4.
| Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных | Переменные | |
| x3 | x4 | |
| 2 | a23 | a24 |
| 3 | 0 | 0 |
Во втором уравнении две эндогенные переменные: y1 и y2 (H=2). В нем отсутствует экзогенная переменная x1 (D=1). Необходимое условие идентификации D+1=Hвыполнено.
Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных y3 и x1 , которые отсутствуют во втором уравнении (см. таблицу 2).
Таблица 2 - Матрица, составленная из коэффициентов при переменных y3 и x1.
| Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных | Переменные | |
| y3 | x1 | |
| 1 | b13 | a11 |
| 3 | -1 | a31 |
В третьем уравнении при переменной y3 коэффициент равен –1, так как эта переменная стоит в левой части уравнения. Действительно, третье уравнение можно записать в виде 0= b31 y1 + b32 y2 -1 y3 +a31 x1 + a32 x2 и тогда равенство b33 = –1 становится очевидным.
В общем случае СФМ может быть представлена в виде матрицы коэффициентов при переменных. В этом случае третье уравнение может быть задано вектором (b31 , b32 , -1, a31 , a32 , 0 , 0) , а вся система одновременных уравнений (5.6) будет представлена матрицей
|
В примерах и задачах для контрольных работ мы будем представлять СФМ в виде такой матрицы коэффициентов при переменных модели.
Определитель представленной в таблице 2 матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, и второе уравнение идентифицируемо.
В третьем уравнении три эндогенные переменные: y1 ,y2 и y3 (H=3). В нем отсутствует экзогенные переменные x3 и x4 (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=Hвыполнено.
Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных х3 и x4 , которые отсутствуют в третьем уравнении (см. таблицу 3). Согласно таблице, определитель матрицы равен нулю (первая строка состоит из нулей). Значит, достаточное условие не выполнено, и третье уравнение нельзя считать идентифицируемым.
Таблица 3 - Матрица, составленная из коэффициентов при переменных x3 и x4.
| Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных | Переменные | |
| x3 | x4 | |
| 1 | 0 | 0 |
| 2 | a23 | a24 |
В эконометрических моделях иногда используются балансовые тождества переменных (например, вида y3= y1 + y2 + x1 ). Коэффициенты при переменных при этом не требуют оценок и уравнение не надо исследовать на идентификацию, но в проверке на идентификацию всей системы эти уравнения участвуют. Присутствующие иногда в моделях свободные и остаточные члены (а01 , а02 , а03 ,…e1 , e2 , e3 ,…) не влияют на решение вопроса об идентификации.
При оценивании коэффициентов структурной модели используется ряд методов. С этими методами можно ознакомиться в рекомендованной литературе [2, 3]. Рассмотрим косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) , который применяется в случае точно идентифицируемой структурной модели. Рассмотрим этот метод на примере следующей идентифицируемой модели, содержащей две эндогенные и две экзогенные переменные:
y1= b12 y2 + a11 x1 + e1 (8)
y2= b21 y1 + a22 x2 + e2
Для построения модели мы располагаем информацией, представленной в таблице 4
Таблица 4 - Фактические данные для построения модели
| n | у1 | у2 | х1 | х2 |
| 1 | 33,0 | 37,1 | 3 | 11 |
| 2 | 45,9 | 49,3 | 7 | 16 |
| 3 | 42,2 | 41,6 | 7 | 9 |
| 4 | 51,4 | 45,9 | 10 | 9 |
| 5 | 49,0 | 37,4 | 10 | 1 |
| 6 | 49,3 | 52,3 | 8 | 16 |
| Сумма | 270,8 | 263,6 | 45 | 62 |
| Средн.знач. | 45,133 | 43,930 | 7,500 | 10,333 |
Структурную модель преобразуем в приведенную форму модели.
y1= d11 x1 + d12 x2 + u1
y2= d21 x1 + d22 x2 + u2
u1 и u2 – случайные ошибки.
Для каждого уравнения приведенной формы при расчете коэффициентов d можно применить МНК.
Для упрощения расчетов можно работать с отклонениями от средних уровней y=y-ycp и x=x-xcp (ycp и xcp –средние значения). Преобразованные таким образом данные таблицы 5.4 сведены в таблицу 5.5. Здесь же показаны промежуточные расчеты, необходимые для определения коэффициентов dik. Переменные, означающие отклонение от средних значений изображаются далее жирным шрифтом и курсивом.
Для нахождения коэффициентов d1k первого приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:
Σ y1 x1= d11 Σ x12 + d12 Σ x1 x2
Σ y1 x2= d11 Σ x1 x2 + d12 Σ x22
Таблица 5 - Преобразованные данные для построения приведенной формы модели
| n | у1 | у2 | х1 | х2 | у1*х1 | х12 | х1*х2 | у1*х2 | у2*х1 | у2*х2 | х22 |
| 1 | -12,133 | -6,784 | -4,500 | 0,667 | 54,599 | 20,250 | -3,002 | -8,093 | 30,528 | -4,525 | 0,445 |
| 2 | 0,767 | 5,329 | -0,500 | 5,667 | -0,383 | 0,250 | -2,834 | 4,347 | -2,664 | 30,198 | 32,115 |
| 3 | -2,933 | -2,308 | -0,500 | -1,333 | 1,467 | 0,250 | 0,667 | 3,910 | 1,154 | 3,077 | 1,777 |
| 4 | 6,267 | 1,969 | 2,500 | -1,333 | 15,668 | 6,250 | -3,333 | -8,354 | 4,922 | -2,625 | 1,777 |
| 5 | 3,867 | -6,541 | 2,500 | -9,333 | 9,667 | 6,250 | -23,333 | -36,091 | -16,353 | 61,048 | 87,105 |
| 6 | 4,167 | 8,337 | 0,500 | 5,667 | 2,084 | 0,250 | 2,834 | 23,614 | 4,168 | 47,244 | 32,115 |
| Сумма | 0,002 | 0,001 | 0,000 | 0,002 | 83,102 | 33,500 | -29,001 | -20,667 | 21,755 | 134,417 | 155,334 |
Подставляя рассчитанные в таблице 5.5 значения сумм, получим
83,102= 33,5 d11 - 29,001d12
-20,667= -29,001d11 + 155,334d12
Решение этих уравнений дает значения d11 = 2,822 и d12 = 0,394. Первое уравнение приведенной формы модели примет вид
y1= 2,822 x1 + 0,394 x2 + u1
Для нахождения коэффициентов d2k второго приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:
Σ y2 x1= d21 Σ x12 + d22 Σ x1 x2
Σ y2 x2= d21 Σ x1 x2 + d22 Σ x22
Подставляя рассчитанные в таблице 5.5 значения сумм, получим
21,755 = 33,5 d21 - 29,001d22
134,417= -29,001d21 + 155,334d22
Решение этих уравнений дает значения d21 =1,668 и d22 =1,177. Второе уравнение приведенной формы модели примет вид
y2= 1,668 x1 + 1,177 x2 + u2
Для перехода от приведенной формы к структурной форме модели найдем x2 из второго уравнения приведенной формы модели
x2 = (y2 - 1,668 x1 ) / 1,177
Подставим это выражение в первое уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение
y1= 2,822 x1 + 0,394 (y2 - 1,668 x1 ) / 1,177 =
= 2,822 x1 + 0,335 y2 - 0,558 x1 = 0,335 y2 + 2,264 x1
Таким образом, b12 = 0,335; a11 = 2,264.
Найдем x1 из первого уравнения приведенной формы модели
x1 = (y1 - 0,394 x2 ) / 2,822
Подставим это выражение во второе уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение
y2= 1,177 x2 + 1,668 (y1 - 0,394 x2 ) / 2,822 =
= 1,177 x2 + 0,591 y1 - 0,233 x2 = 0,591 y1 + 0,944 x2
Таким образом, b21 = 0,591; a22 = 0,944.
Свободные члены структурной формы находим из уравнений
А01= y1,cp - b12 y2,cp - a11 x1,cp =
45,133 – 0,335 * 43,93 –2,264* 7,5 = 13,436
А02= y2,cp - b21 y1,cp - a22 x2,cp =
43,93 – 0,591* 45,133 - 0,944 * 10,333= 7,502
Окончательный вид структурной модели
y1= a01+ b12 y2 + a11 x1 + e1= 13,436 + 0,335 y2 + 2,264 x1 + e1
y2= a02+ b21 y1 + a22 x2 + e2= 7,502 + 0,591 y1 + 0,944 x2 + e2
Контрольные вопросы
1. Что представляет собой система одновременных линейных уравнений?
2. Особенности системы независимых уравнений. Методы решения.
3. Особенности системы рекурсивных уравнений. Методы решения.
4. Особенности системы взаимозависимых уравнений. Методы решения.
5. Структурные формы модели системы взаимозависимых уравнений.
6. Косвенный метод наименьших квадратов.
Литература
1. В.В. Налимов, Н.А. Чернова. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов. М.: Наука, 1965. -340с.
2. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. - 2-е изд.; перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2005. - 576с.
3. Елисеева И.И. Практикум по эконометрике: Учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, 2001.
4. Клячкин В.Н. Статистические методы в управлении качеством: компьютерные технологии: учеб. пособие / В.Н. Клячкин. – М.: Финансы ип статистика, 2007. – 304 с.
5. Н.В. Смирнов, И.В. Дунин-Барковский. Краткий курс математической статистики для технических приложений. М.: Физматгиз, 1958. - 436с.
6. Основы теории систем и системного анализа/ конспект лекций для специальности учет и аудит 95, Кривой рог. Частное Учебное Заведение. –77с.
7. Анализ и планирование налоговых поступлений: теория и практика / А.Б. Паскачев, Ф.К. Садыгов, В.И. Мишин, Р.А. Саакян и др.; Под ред. Ф.К. Садыгова. – М.: Издательство экономико-правовой литературы, 2004. – 232 с.
8. Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 241 с.
9. Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде ЕХСЕL/Практикум: Учебное пособие для вузов. - М.:ЗАО Финстатинформ, 2000.
10.Экономико–математические методы и прикладные модели: Учебн. пособие для вузов / В.В.Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайтбегов, И.В. Орлова, .А.Половников.- М.:ЮНИТИ, 2004.
11. Методология проектирования информационных систем: учеб. пособие/Р.И. Макаров, Е.Р. Хорошева; Владимирский гос. университет, Владимир, 2008.-334с.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 501; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!