Двухфакторный дисперсионный анализ
Рассматривается задача оценки действия двух одновременно действующих факторов. Допустим, что проводятся измерения различными измерительными средствами и различными операторами. Требуется оценить, обуславливается ли рассеяние полученных средних значений измерений в группах различием между измерительными средствами или различием между операторами, проводившими измерения.
Основная идея дисперсионного анализа в данном случае заключается в разложении суммы квадратов отклонений общего среднего на компоненты, отвечающие предполагаемым факторам изменчивости [5].
Предположим, что имеем два фактора А и В, по которым мы можем расклассифицировать данные наблюдения. Пусть по фактору А все наблюдения делятся на r групп А1, А2, ..А, по признаку В – В1, В2, В3,…Вυ. Весь материал разбивается на rυ групп. Ограничимся случаем, когда в каждой группе одно наблюдение, тогда всего наблюдений равно N= rυ. Через xij обозначим наблюдение, попавшее в группу Аi по фактору А и в группу Вj по фактору В. Вычислим среднее значение измерений в группах и общее среднее:
Результаты наблюдений над факторами А и В
| J |
| |||||||
| B1 | B2 | Bυ | |||||||
| A1 | X11 | X12 | X1υ | 
| |||||
| A2 | X21 | X22 | X2υ | 
| |||||
| Ar | Xr1 | Xr2 | Xrυ | 
| |||||
| 
| 
| 
| 
| |||||
Из основного тождества дисперсионного анализа можно записать:
|
|
|
Q=Q1+Q2 +Q3,
где Q1 - сумма квадратов разностей между строками; Q2 - сумма квадратов разностей между колонками таблицы; Q3 - остаточная сумма квадратов.
Предполагаем, что величины xij нормально распределены по закону N(x; υ; σ), где σ2 – общий неизвестный параметр дисперсии. Данные таблицы используем для проверки гипотезы о равенстве центров υij. При этой гипотезе отношения:
Q/ σ2, Q1/ σ2, Q2/ σ2, Q3/ σ2
распределены по закону χ2 с (rυ-1), (r-1), (υ-1), (r-1)(υ-1) степенями свободы соответственно, поэтому Q, Q1, Q2 ,Q3могут быть использованы для оценки σ2.
Эта оценка может быть проведена с помощью несмещенных характеристик:
s2=Q/(rυ-1),
s12=Q1/(r-1),
s22=Q2/(υ-1),
s32=Q3/{(r-1) (υ-1)}.
Оценка параметра σ2 с помощью указанных характеристик остается в силе и в том случае, когда гипотеза о равенстве центров не верна, лишь бы равенство параметра σ2 имело место во всех наблюдениях.
Для проверки степени значимости расхождений, обнаруженных в средних по строкам и по колонкам, вычисляются критерии:
FA= s12/s32,
FB= s22/s32.
Расчетные значения критериев сравниваются с табличными значениями. Для уровня значимости 0,05, числа степеней свободы (r-1), {(r-1) (υ-1)} для первого отношения и числа степеней свободы (υ-1), {(r-1) (υ-1)} для второго отношения определяются квантили распределения Фишера Fтаб.А, Fтаб.В.
|
|
|
Если выборочные значения статистики окажутся больше критического, нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная: влияние фактора А и (или) В на результативный признак существенно.
Общая схема двухфакторного дисперсионного анализа может быть представлена в виде следующей таблицы:
| Компоненте дисперсии | Сумма квадратов | Число степеней свободы | Оценка дисперсии |
| Между средними по строкам | Q1 | (r-1) | s12 |
| Между средними по столбцам | Q2 | (υ-1) | s22 |
| Остаточная | Q3 | {(r-1) (υ-1)}. | s32 |
| Полная (общая) | Q | (rυ-1), | s2 |
Контрольные вопросы
1. Назначение дисперсионного анализа.
2. Основная идея однофакторного дисперсионного анализа. Формулирование нулевой гипотезы.
3. Оценка факторной суммы квадратов, обусловленной влиянием фактора А.
4. Оценка остаточной суммы квадратов, характеризующая рассеяние внутри группы.
5. Основная идея двухфакторного дисперсионного анализа.
6. Основное тождество дисперсионного анализа для случая двухфакторного анализа.
7. Проверка степени значимости расхождений, обнаруженных в средних по строкам и колонкам таблицы результатов наблюдений.
|
|
|
8. Оценка влияния факторов А и В на результативный признак.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 321; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!