Модели временных рядов и статистической оценки взаимосвязи

Временных рядов

Модели временных рядов

Модели, построенные по данным, характеризующим экономическую систему или процесс за ряд последовательных равноотстоящих моментов времени, называются моделями временных рядов, в дальнейшем-временными рядами. Простенйшей является модель аддитивного случайного процесса, имеющая вид:

                                      Yt = Ut + Vt + et ,                                   (1)

где Ut - трендовая компонента;

Vt – сезонная компонента;

et – случайная компонента.

t – уровни наблюдения, t=1, 2, 3,….

 

Для построения модели (1) необходимо получить оценки каждой компоненты. Для выделения составляющих компонент пользуются процедурами фильтрации, регрессионного и корреляционного анализов.

Относительно трендовой составляющей Ut предполагают, что она должна представлять некоторую гладкую функцию, описываемую полиномом небольшой степени. Для этого чаще всего используются следующие функции времени:

· линейная Ut = a+b t;

· парабола второго и, реже, более высокого порядков

              Ut = a+b1 t +b2 t 2 +b3 t 3 +…+bn t n;

· экспонента Ut = e a+bt и др.

Параметры тренда определяются методом наименьших квадратов, в качестве независимой переменной выступает время t=1, 2, 3, .. , а в качестве зависимой переменной – уровни временного ряда Yt. Критерием отбора наилучшей формы тренда является значение скорректированного коэффициента детерминайии R².

Пример 1

Имеются данные о выработке продукции за 18 месяцев работы производственного участка (табл. 1)

Таблица 1

Месяцы	1	2	3	4	5	6
Выработка продукции	596488	615925	612846	634217	659835	615392
Месяцы	7	8	9	10	11	12
Выработка продукции	708291	580846	509008	ё	568649	420148
Месяцы	13	14	15	16	17	18
Выработка продукции	452529	447319	456579	505584	484261	453356

Требуется :

1. Построить график динамики выработки продукции.

2. Отобрать наилучшую форму тренда.

3. Выделить сезонную компоненту.

4. Построить аддитивную модель.

Решение:

Решение проводим с использованием ППП MS EXCEL. С использованием Мастера диаграмм строим график динамики выработки продукции (рис.1).

Рис 1. График выработки продукции по месяцам

 

График (рис.1) характеризует убывающую тенденцию выработки продукции с периодическими колебаниями. Проведем подбор тренда путем добавления линий тренда. Одновременно установим режим отображения уравнения регрессии, описывающего тренд и коэффициента детерминации. В таблице 2 приведены характеристики подбираемых линий тренда.

Таблица 2

Вид тренда	Коэффициент детерминации	Уравнение тренда
Линейный	61%	Ut = 665390 -12707 t
Парабола	61,5%	Ut = -50,31t 2 – 11751 t + 662203
Экспонента	62,4%	Ut = 672830e - 0,0235 t

 

Все три вида тренда адекватно описывают характер изменения выработки продукции во времени. Коэффициенты детерминации статистически значимы при уровне значимости 0,05, расчетные значения критерия Фишера превышают табличные данные. Для математического описания тренда выбираем более простое линейное уравнение.

Для выделения сезонной компоненты совместно со случайной

(Vt +et), из исходного ряда Yt  вычитаем трендовую компоненту Ut. При этом получаем центрированный временной ряд:

                            (Vt +et) = Yt - Ut                                                    (2)

График центрированного временного ряда отображен на рис.2.

Рис.2. График компонент (Vt +et) в динамическом ряду выработки продукции

 

Для определения периода циклической компоненты Vt вычисляем автокорреляционную функцию центрированного временного ряда (рис.3). На графике просматривается периодическая составляющая с периодом

(13-1)=12 месяцев и временным сдвигом (12-3)=9 месяцев. Амплитуда гармоники может быть приближенно оценена через дисперсию центроированного временного ряда, т.к. из условия аддитивности модели вытекает баланс дисперсий центрированного ряда:

                                          S² (V_t +e_t) = S² (V_t) + S²(e_t) ,                      (3)

где S² (V_t +e_t) – оценка дисперсии центрированного временного ряда;

S²(_Vt) - оценка дисперсии сезонной (гармонической) компоненты, равная квадрату амплитуды гармоники;

 S²(e_t) – оценка дисперсии случайной компоненты.

Рис.3. Автокорреляционная функция центрированного временного ряда

Если пренебречь дисперсией случайной компоненты, то за амплитуды гармонической составляющей можно принять (оценка сверху) стандартное отклонение центрированного ряда. В рассматриваемом примере это будет:

                                     AV_t = S(V_t) = 53660.

Амплитуда гармоники может быть уточнена по критерию минимума случайной компоненты временного ряда. На графике (рис.4) приведены совмещенные компоненты (V_t+e_t) и гармоническая компонента V_t с уточненной амплитудой, равной 50000:

                     V_t = 50000*Sin((2π/12)*t + 2π*2,85/4).                     (4)

Для выделения случайной компоненты et из центрированного временного ряда (V_t+e_t) вычитаем гармоническую компоненту V_t .

Рис.4. График центрированного ряда (V_t +e_t) с наложением гармонической компоненты V_t = 50000*Sin((2π/12)*t + 2π*2,85/4)

График случайной компоненты приведен на рис. 5.

Рис.5. График случайной компоненты временного ряда выработки продукции

 

Случайная компонента et имеет следующие параметры:

- среднее значение равно -226,3 (шт/месяц), что статистически незначимо при уровне значимости 0,05;

- оценка дисперсии равна 13,7 108 (шт/месяц)².

После подстановки в исходное уравнение (1) всех компонент, временной ряд выработки продукции, уровни которых представлены в табл.1, описывается следующей аддитивной моделью:

Y_t = --12707*t + 665390 + 50000*Sin((2π/12)*t + 2π*2,85/4) + e_t . (5)

Адекватность модели (5) оцениваем по результатам анализа случайной компоненты et,. Проверяем выполнение предпосылок м.н.к.

- Случайность остатков модели определяем по числу точек перегиба:

                                     p = 11 > pк =9,                                     (6)

где p_к = [2(n-2)/3-2√(16n-29)/90].

- Для определения независимости значений уровней случайной компоненты можно воспользоваться первым коэффициентом автокорреляции

 .                            (7)    

 Для принятия решения о наличии или отсутствии автокорреляции в исследуемом ряду фактическое значение коэффициента автокорреляции r(1) сопоставляется с табличным (критическим) значением для 5%-ного уровня значимости (вероятности допустить ошибку при принятии нулевой гипотезы о независимости уровней ряда). Если фактическое значение коэффициента автокорреляции меньше табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряду может быть принята, а если фактическое значение больше табличного – делают вывод о наличии автокорреляции в ряду динамики.

- Для обнаружения гетероскедастич­ности обычно используют три теста, в которых делаются различные предположения о зависимости между дисперсией случайного члена и объясняющей переменной: тест ранговой корреляции Спирмена, тест Голдфельда - Квандта и тест Глейзера [Доугерти].

При малом объеме выборки для оценки гетероскедастич­ности может использоваться метод Голдфельда — Квандта.

Данный тест используется для проверки такого типа гетероскедастичности, когда дисперсия остатков воз­растает пропорционально квадрату фактора. При этом делается предположение, что, случайная составляющая  распределена нормально.

Чтобы оценить на­рушение гомоскедастичности по тесту Голдфельда - Квандта необходимо выполнить следующие шаги.

1. Упорядочение п наблюдений по мере возрастания перемен­ной х.

2. Разделение совокупности на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора х) и определение по каждой из групп уравнений регрессии.

3. Определение остаточной суммы квадратов для первой регрессии и второй регрессии .        (8)

4. Вычисление отношений (или ). В числителе должна быть большая сумма квадратов.

 

Полученное от­ношение имеет F распределение со степенями свободы k1=n1-m и k2=n-n1-m, (m– число оцениваемых параметров в уравнении регрессии).

Если , то гетероскедастичность имеет место.

 Чем больше величина F превышает табличное значение F -критерия, тем более нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточ­ных величин.

 

В рассматриваемом примере все предпосылки м.н.к. выполняются, что подтверждает адекватность разработанной модели (5).

Оценим точность разработанной модели. Для этого вычисляем среднюю абсолютную и среднюю относительную ошибку. Расчеты показали следующие результаты:

· средняя абсолютная ошибка разработанной модели равна 25877,8 шт;

· средняя относительная ошибка равна 4,7%.

Приводим интерпретацию результатов исследований с учетом особенностей анализируемого производственного процесса. В рассматриваемом временном интервале работа участка характеризуется некоторой нестабильностью. Среднее абсолютное уменьшение выработки изделий в течение месяца составляет:

∆yср = 12707 шт.

Темп уменьшения выработки изделий в последнем месяце 2007 г. составила величину 12707/449371*100=2,83%.

Сезонная компонента Vt отражает увеличение выработки изделий в зимние месяцы года (декабрь-январь) и уменьшение в летние месяцы (июнь-июль) на величину, примерно равную, 50000 шт/месяц. Одной из причин может быть колебания спроса, а также влияние климатических условий на технологический процесс изготовления изделий.

 

---

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 287; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!