Методы анализа больших систем. Компонентный и факторный анализы
Теория систем большей частью основывает свои практические методы на платформе математической статистики. Можно выделить три подхода к решению задач, в которых используются статистические данные [6].
· Алгоритмический подход, при котором мы имеем статистические данные о некотором процессе и по причине слабой изученности процесса его основная характеристика (например, эффективность экономической системы) мы вынуждены сами строить “разумные” правила обработки данных, базируясь на своих собственных представлениях об интересующем нас показателе.
· Аппроксимационный подход, когда у нас есть полное представление о связи данного показателя с имеющимися у нас данными, но неясна природа возникающих ошибок — отклонений от этих представлений.
· Теоретико-вероятностный подход, когда требуется глубокое проникновение в суть процесса для выяснения связи показателя со статистическими данными.
В настоящее время все эти подходы достаточно строго обоснованы научно и “снабжены” апробированными методами практических действий.
Но существуют ситуации, когда нас интересует не один, а несколько показателей процесса и, кроме того, мы подозреваем наличие нескольких, влияющих на процесс, воздействий — факторов, которые являются не наблюдаемыми, скрытыми или латентными.
Наиболее интересным и полезным в плане понимания сущности факторного анализа — метода решения задач в этих ситуациях, является пример использования наблюдений при эксперименте, который ведет природа, Ни о каком планировании здесь не может идти речи — нам приходится довольствоваться пассивным экспериментом.
|
|
|
Удивительно, но и в этих “тяжелых” условиях ТССА предлагает методы выявления таких факторов, отсеивания слабо проявляющих себя, оценки значимости полученных зависимостей показателей работы системы от этих факторов.
Пусть мы провели по n наблюдений за каждым из kизмеряемых показателей эффективности некоторой экономической системы и данные этих наблюдений представили в виде матрицы (таблицы).
Матрица исходных данных E[n·k]
| E 11 | E12 | … | E1i | … | E1k |
| E 21 | E22 | … | E2i | … | E2k |
| … | … | … | … | … | … |
| E j1 | Ej2 | … | Eji | … | Ejk |
| … | … | … | … | … | … |
| E n1 | En2 | … | Eni | … | Enk |
Пусть мы предполагаем, что на эффективность системы влияют и другие — ненаблюдаемые, но легко интерпретируемые (объяснимые по смыслу, причине и механизму влияния) величины — факторы.
Сразу же сообразим, что чем больше n и чем меньше таких число факторов m(а может их и нет вообще!),тем больше надежда оценить их влияние на интересующий нас показательE.
|
|
|
Столь же легко понять необходимость условия m < k, объяснимогона простом примере аналогии — если мы исследуем некоторые предметы с использованием всех 5 человеческих чувств, то наивно надеяться на обнаружение более пяти “новых”, легко объяснимых, но неизмеряемых признаков у таких предметов, даже если мы “испытаем” очень большое их количество.
Вернемся к исходной матрице наблюдений E[n·k] и отметим, что перед нами, по сути дела, совокупности по n наблюдений над каждой из k случайными величинами E1, E2, … E k. Именно эти величины “подозреваются” в связях друг с другом — или во взаимной коррелированности.
Из рассмотренного ранее метода оценок таких связей следует, что мерой разброса случайной величины Ei служит ее дисперсия, определяемая суммой квадратов всех зарегистрированных значений этой величины S(Eij)2 и ее средним значением (суммирование ведется по столбцу).
Если мы применим замену переменных в исходной матрице наблюдений, т.е. вместо Ei j будем использовать случайные величины
Xij = 
, {1}
|
|
|
то мы преобразуем исходную матрицу в новую
X[n·k] {2}
| X 11 | X12 | … | X1i | … | X1k |
| X 21 | X22 | … | X2i | … | X2k |
| … | … | … | … | … | … |
| X j1 | Xj2 | … | Xji | … | Xjk |
| … | … | … | … | … | … |
| X n1 | Xn2 | … | Xni | … | Xnk |
Отметим, что все элементы новой матрицы X[n·k] окажутся безразмерными, нормированными величинами и, если некоторое значение Xijсоставит, к примеру,+2, то это будет означать только одно - в строке j наблюдается отклонение от среднего по столбцу i на два среднеквадратичных отклонения (в большую сторону).
Выполнимтеперь следующие операции.
· Просуммируем квадраты всех значений столбца 1 и разделим результат на (n - 1) — мы получим дисперсию (меру разброса) случайной величины X1, т.е. D1.Повторяя эту операцию, мы найдем таким же образом дисперсии всех наблюдаемых (но уже нормированных) величин.
· Просуммируем произведения соответствующих строк (от j =1 до j = n) для столбцов 1,2 и также разделим на (n -1). То, что мы теперь получим, называется ковариацией C12случайных величин X1 , X2 и служит мерой их статистической связи.
· Если мы повторим предыдущую процедуру для всех пар столбцов, то в результате получим еще одну, квадратную матрицу C[k·k], которую принято называть ковариационной.
|
|
|
Эта матрица имеет на главной диагонали дисперсии случайных величин Xi, а в качестве остальных элементов — ковариации этих величин ( i =1…k).
Ковариационная матрица C[k·k] {3}
| D1 | C12 | C13 | … | … | C1k |
| C21 | D2 | C23 | … | … | C2k |
| … | … | … | … | … | … |
| Cj1 | Cj2 | … | Cji | … | Cjk |
| … | … | … | … | … | … |
| Cn1 | Cn2 | … | Cni | … | Dk |
Если вспомнить, что связи случайных величин можно описывать не только ковариациями, но и коэффициентами корреляции, то в соответствие матрице {3} можно поставить матрицу парных коэффициентов корреляции или корреляционную матрицу
R [k·k] {4}
| 1 | R12 | R13 | … | … | R1k |
| R21 | 1 | R23 | … | … | R2k |
| … | … | … | … | … | … |
| Rj1 | Rj2 | … | Rji | … | Rjk |
| … | … | … | … | … | … |
| Rn1 | Rn2 | … | Rni | … | 1 |
в которой на диагонали находятся 1, а внедиагональные элементы являются обычными коэффициентами парной корреляции.
Так вот, пусть мы полагали наблюдаемые переменные Ei независящими друг от друга, т.е. ожидалиувидеть матрицуR[k·k]диагональной, с единицамив главной диагонали и нулями в остальных местах. Если теперь это не так, то наши догадки о наличии латентных факторов в какой-то мере получили подтверждение.
Но как убедиться в своей правоте, оценить достоверность нашей гипотезы — о наличии хотя бы одного латентного фактора, как оценить степень его влияния на основные (наблюдаемые) переменные? А если, тем более, таких факторов несколько — то как их проранжировать по степени влияния?
Ответы на такие практические вопросы призван давать факторный анализ. В его основе лежит все тот же “вездесущий” метод статистического моделирования (по образному выражению В.В.Налимова — модель вместо теории).
Дальнейший ход анализа при выяснении таких вопросов зависит от того, какой из матриц мы будем пользоваться. Если матрицей ковариаций C[k·k], то мы имеем дело с методом главных компонент, если же мы пользуемся только матрицей R[k·k],то мы используем метод факторного анализа в его “чистом” виде.
Остается разобраться в главном — что позволяют оба эти метода, в чем их различие и как ими пользоваться. Назначение обоих методов одно и то же — установить сам факт наличия латентных переменных (факторов), и если они обнаружены, то получить количественное описание их влияния на основные переменные Ei.
Компонентный анализ является методом определения структурной зависимости между случайными переменными. Идея метода заключается в замене сильно коррелированных переменных новыми переменными (главными компонентами), между которыми корреляция отсутствует. В результате его использования получается сжатое описание малого объема, несущее почти всю информацию, содержащуюся в исходных данных. Главные компоненты получаются из исходных переменных путем целенаправленного вращения, т.е. как линейные комбинации исходных переменных. Вращение производится таким образом, чтобы главные компоненты были ортогональны и имели максимальную дисперсию среди возможных линейных комбинаций исходных переменных. При этом переменные не коррелированы между собой и упорядочены по убыванию дисперсии (первая компонента имеет наибольшую дисперсию). Кроме того, общая дисперсия после преобразования остается без изменений.
Ход рассуждений при выполнении поиска главных компонент заключается в следующем. Мы предполагаем наличие некоррелированных переменных Zj ( j=1…k), каждая из которых представляется нам комбинацией основных переменных (суммирование по i =1…k):
Zj = S Aj i ·X i {5}
и, кроме того, обладает дисперсией, такой что
D(Z1) ³ D(Z2) ³ … ³ D(Zk).
Поиск коэффициентов Aj i(их называют весом j-й компонеты в содержании i-й переменной) сводится к решению матричных уравнений и не представляет особой сложности при использовании компьютерных программ. Но суть метода весьма интересна и на ней стоит задержаться.
Как известно из векторной алгебры, диагональная матрица [2·2] может рассматриваться как описание 2-х точек (точнее — вектора) в двумерном пространстве, а такая же матрица размером [k·k]— как описание k точек k-мерного пространства.
Так вот, замена реальных, хотя и нормированных переменных Xi на точно такое же количество переменных Z jозначает не что иное, как поворот kосей многомерного пространства.
“Перебирая” поочередно оси, мы находим вначале ту из них, где дисперсия вдоль оси наибольшая. Затемделаем пересчет дисперсий для оставшихся k-1осей и снова находим “ось-чемпион” по дисперсии и т.д.
Образно говоря, мы заглядываем в куб (3-х мерное пространство) по очереди по трем осям и вначале ищем то направление, где видим наибольший “туман” (наибольшая дисперсия говорит о наибольшем влиянии чего-то постороннего); затем “усредняем” картинку по оставшимся двум осям и сравниваем разброс данных по каждой из них — находим “середнячка” и “аутсайдера”. Теперь остается решить систему уравнений — в нашем примере для 9 переменных, чтобы отыскать матрицу коэффициентов (весов) A[k·k].
Если коэффициенты Aj i найдены, то можно вернуться к основным переменным, поскольку доказано, что они однозначно выражаются в виде (суммирование по j=1…k)
X i = S Aji·Z j . {6}
Отыскание матрицы весов A[k·k]требует использования ковариационной матрицы и корреляционной матрицы.
Таким образом, метод главных компонент отличается прежде все тем, что дает всегда единственное решение задачи. Правда, трактовка этого решения своеобразна.
· Мы решаем задачу о наличии ровно стольких факторов, сколько у нас наблюдаемых переменных, т.е. вопрос о нашем согласии на меньшее число латентных факторов невозможно поставить;
· В результате решения, теоретически всегда единственного, а практически связанного с громадными вычислительными трудностями при разных физических размерностях основных величин, мы получим ответ примерно такого вида — фактор такой-то (например, привлекательность продавцов при анализе дневной выручки магазинов) занимает третье место по степени влияния на основные переменные.
Этот ответ обоснован — дисперсия этого фактора оказалась третьей по крупности среди всех прочих. Всё… Больше ничего получить в этом случае нельзя. Другое дело, что этот вывод оказался нам полезным или мы его игнорируем — это наше право решать, как использовать системный подход!
Пример. Имеются данные, описывающие зависимость результирующей переменной «y» от факторных переменных x1 – x3 (таблица 1).
Требуется выделить главные компоненты и построить уравнение регрессии на главных компонентах.
Перед тем как проводить компонентный анализ, проводится анализ независимости исходных признаков. Проверяется значимость матрицы парных корреляций с помощью критерия Уилкса.
Выдвигается гипотеза: Н0: 
незначима и альтернативная Н1: значима.
Рассчитывается статистика , которая распределена по закону 
с 
- степенями свободы. Сравнивается расчетное значение с табличным значением 
для уровня значимости α = 0,05.
Таблица 1
| х1 | х2 | х3 | у |
| 1,1 | 1,1 | 1,2 | 26,2 |
| 1,4 | 1,5 | 1,1 | 25,9 |
| 1,7 | 1,8 | 2 | 32,5 |
| 1,7 | 1,7 | 1,8 | 31,7 |
| 1,8 | 1,9 | 1,8 | 31,7 |
| 1,8 | 1,8 | 1,9 | 33,6 |
| 1,9 | 1,8 | 2 | 34,2 |
| 2 | 2,1 | 2,1 | 34,4 |
| 2,3 | 2,4 | 2,5 | 35,5 |
| 2,5 | 2,5 | 2,4 | 36,5 |
Если расчетное значения критерия будет больше табличного значения
> 
, то гипотеза Н0 отвергается и принимается альтернативная Н1: 
значима, следовательно, имеет смысл проводить компонентный анализ.
Затем поверяется гипотеза о диагональности ковариационной матрицы.
Выдвигается нулевая гипотеза:
Н0: соv 
=0, 
и альтернативная Н1: соv 
.
Рассчитывается статистика 
, которая распределяется по закону с 
степенями свободы.
Если расчетное значения критерия будет больше табличного значения
> 
, то гипотеза Н0 отвергается и принимается альтернативная Н1: значима, что подтверждает мультиколлениарность данных, следовательно имеет смысл проводить компонентный анализ.
Анализ данных (табл.1) выявил значимую коррелированность переменных x1 – x3, что подтверждает целесообразность проведения компонентного анализа.
Компонентный анализ проводим с использованием ППП Statgraphics Plus. Для получения данных компонентного анализа вызываем подменю Tabular optionsипомечаем окно Analysis Summaru. Результаты анализа приведены в таблице 2.
|
На уровне информативности 95% и выше выделяется одна главная компонента. Она имеет наибольшую дисперсию, равную 96,26%. Использование второй главной компоненты не приводит к существенному увеличению дисперсии (всего на 3,28%).
Программа рассчитывает значения главных компонент для всех опытных данных. Используя значения главных компонент строим регрессионное уравнение:
|
Первая главная компонента z1 адекватно описывает зависимую переменную y. Коэффициент детерминации равен R2 = 89,34%, статистически значим при уровне значимости 0,05. Стандартная ошибка модели равна 1,25.
Факторный анализ служит для выявления и обоснованиядействия различных признаков и их комбинаций на исследуемый процесс путем снижения их размерности. Такая задача решается, как правило, путем "сжатия" исходной информации и выделения из нее наиболее "существенной" информации, т.е. описание объектов меньшим числом обобщенных признаков, называемых факторами.
При использовании методов факторного анализа решаются следующие задачи:
- отыскание скрытых, но объективно существующих закономерностей исследуемого процесса, определяемых воздействием внутренних и внешних причин;
- описание изучаемого процесса значительно меньшим числом факторов по сравнению с первоначально взятым количеством признаков;
- выявление первоначальных признаков, наиболее тесно связанных с основными факторами;
- прогнозирование процесса на основе уравнения регрессии, построенного по полученным факторам.
Несколько иначе осуществляется исследование латентных переменных в случае применения факторного анализа. Здесь каждая реальная переменная рассматривается также как линейная комбинация ряда факторов Fj , но в несколько необычной форме
X i = S B ji · Fj + D i. {7}
причем суммирование ведется по j=1…m , т.е. по каждому фактору.
Здесь коэффициент Bji принято называть нагрузкой на j-й фактор со стороны i-й переменной, а последнее слагаемое в {7} рассматривать как помеху, случайное отклонение для Xi.Число факторов m вполне может быть меньше числа реальных переменных n и ситуации, когда мы хотим оценить влияние всего одного фактора (ту же вежливость продавцов), здесь вполне допустимы.
Обратим внимание на само понятие “латентный”, скрытый, непосредственно не измеримый фактор. Конечно же, нет прибора и нет эталона вежливости, образованности, выносливости и т.п. Но это не мешает нам самим “измерить” их — применив соответствующую шкалу для таких признаков, разработав тесты для оценки таких свойств по этой шкале и применив эти тесты к тем же продавцам.
Так в чем же тогда “ненаблюдаемость”? А в том, что в процессе эксперимента (обязательно) массового мы не можем непрерывно сравнивать все эти признаки с эталонами и нам приходится брать предварительные, усредненные, полученные совсем не в “рабочих” условиях данные.
Можно отойти от экономики и обратиться к спорту. Кто будет спорить, что результат спортсмена при прыжках в высоту зависит от фактора — “сила толчковой ноги”. Да, это фактор можно измерить и в обычных физических единицах (ньютонах или бытовых килограммах), но когда?! Не во время же прыжка на соревнованиях!
А ведь именно в это, рабочее время фиксируются статистические данные, накапливается материал для исходной матрицы.
Несколько более сложно объяснить сущность самих процедур факторного анализа простыми, элементарными понятиями (по мнению некоторых специалистов в области факторного анализа — вообще невозможно). Поэтому постараемся разобраться в этом, используя достаточно сложный, но, к счастью, доведенный в практическом смысле до полного совершенства, аппарат векторной или матричной алгебры.
До того как станет понятной необходимость в таком аппарате, рассмотрим так называемую основную теорему факторного анализа. Суть ее основана на представлении модели факторного анализа {7} в матричном виде
X [k·1] = B [k·m] · F [m·1] + D [k·1] {8}
и на последующем доказательстве истинности выражения
R [k·k] = B [k·m] · B*[m·k], {9}
для “идеального” случая, когда невязки Dпренебрежимо малы.
Здесь B*[m·k] это та же матрица B [k·m], но преобразованная особым образом (транспонированная).
Трудность задачи отыскания матрицы нагрузок на факторы очевидна — еще в школьной алгебре указывается на бесчисленное множество решений системы уравнений, если число уравнений больше числа неизвестных. Грубый подсчет говорит нам, что нам понадобится найти k·m неизвестных элементов матрицы нагрузок, в то время как только около k2 / 2 известных коэффициентов корреляции. Некоторую “помощь” оказывает доказанное в теории факторного анализа соотношение между данным коэффициентом парной корреляции (например R12) и набором соответствующих нагрузок факторов:
R12 = B11 · B21 + B12 · B22 + … + B1m · B2m . {10}
Таким образом, нет ничего удивительного в том утверждении, что факторный анализ (а, значит, и системный анализ в современных условиях) — больше искусство, чем наука. Здесь менее важно владеть “навыками” и крайне важно понимать как мощность, так и ограниченные возможности этого метода.
Есть и еще одно обстоятельство, затрудняющее профессиональную подготовку в области факторного анализа — необходимость быть профессионалом в “технологическом” плане, в нашем случае это, конечно же, экономика.
Но, с другой стороны, стать экономистом высокого уровня вряд ли возможно, не имея хотя бы представлений о возможностях анализировать и эффективно управлять экономическими системами на базе решений, найденных с помощью факторного анализа.
Не следует обольщаться вульгарными обещаниями популяризаторов факторного анализа, не следует верить мифам о его всемогущности и универсальности. Этот метод “на вершине” только по одному показателю — своей сложности, как по сущности, так и по сложности практической реализации даже при “повальном” использовании компьютерных программ.
К примеру, есть утверждения о преимуществах метода главных компонент — дескать, этот метод точнее расчета нагрузок на факторы. По этому поводу имеется одна острота известного итальянского статистика Карло Джинни, она в вольном пересказе звучит примерно так: “ Мне надо ехать в Милан, и я куплю билет на миланский поезд, хотя поезда на Неаполь ходят точнее и это подтверждено надежными статистическими данными. Почему? Да потому, что мне надо в Милан…”.
Контрольные вопросы
1. Какие подходы Вы знаете к решению задач, в которых используются статистические данные?
2. Что показывает матрица ковариации и в каком анализе она используется?
3. Что показывает матрица корреляции и в каком анализе она используется?
4. В чем заключается идея метода компонентного анализа?
5. Когда имеет смысл проводить компонентный анализ?
6. Для чего служит факторный анализ?
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 522; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!