Описание сигналов и помех во временной и частотной областях
Пара преобразований Фурье
Если 
— сигнал во временной области, то его спектр 
— прямое преобразование Фурье (ППФ)
. (4.1)
Обозначения:
;
;
Обратное преобразование Фурье (ОПФ)
. (4.2)
Специальныефункции
4.2.1. Дельта-функция
-функцияесть бесконечный скачок с ограниченной площадью:
.
Фильтрующее свойство -функции: для произвольной функции 
.
Спектр
. (4.3)
Важное свойство ППФ:
При запаздывании временной функции на величину  к аргументу спектра добавляется линейная функция  . Модуль спектра не изменяется.
|
Графически (рис. 4.1)
Рис. 4.1 — Графики -функции (а), модуля (б) и аргумента (в) её спектра
При 
— чисто действительный спектр.
Найдем ОПФ от частотной -функции 
.
Комплексно-значная функция. Действительная часть — синусоида (рис. 4.2).
Рис. 4.2 — Графики частотной -функции (а), соответствующей ей функции
времени при нулевой (б) и ненулевой (в) частоте
Важное свойство ОПФ:
При смещении частотной функции на величину  действительная часть временной функции умножается на синусоиду  .
|
|
|
|
4.2.2. Функция Хевисайда
Результат интегрирования -функции
Найдём спектр функции Хевисайда (рис. 4.3)
. (4.4)
Рис. 4.3 — Графики функции Хевисайда (а), модуля (б) и аргумента (в) её спектра
Результат отображает свойство ППФ об интегрировании функции времени (Приложение А):
Спектр результата интегрирования функции времени получается умножением спектра этой функции на  .
|
4.2.3. Функция «прямоугольник»
Весьма полезно определить специальную функцию «прямоугольник» —с именем rect(angle). Для временной области это будет модель прямоугольного импульса длительностью τ
.
Найдем спектр этой функции, используя суперпозицию спектров функций Хевисайда (3.4) и формулы Эйлера (рис. 4.4)
. (4.5)
Рис. 4.4 — Графики функции «прямоугольник» (а) и её спектра (б)
| Лк 14 |
Для удобства вводят функцию «синус икс на икс» sinx(x) — в MathCAD пименено обозначение sinc(x)
.
|
|
|
Тогда спектр можно выразить компактно
. (4.6)
Важные моменты:
Полуширина спектра по «главному лепестку» 
(термин взят из теории антенн), которая определяется первым максимумом синусоиды, равна
;
Видно, что при полосе пропускания ПФ, равной 
прямоугольный импульс будет сильно искажён.
Ширина спектра по первым нулям составляет 
Зададимся вопросом: какую форму будет иметь спектр прямоугольного радиоимпульса, т. е. синусоидального сигнала с ограниченной длительностью 
? Аналитическое выражение для радиоимпульса имеет вид
.
Согласно свойству ОПФ спектр прямоугольного видеоимпульса будет просто смещён по частоте (рис. 4.5)
. (4.7)
Рис. 4.5 — Функция «прямоугольный радиоимпульс» (а) и её спектр (б)
Используя симметрию преобразований Фурье, можем записать временную функцию «частотного прямоугольника»
(4.8)
Для 
это видеоимпульс, длительность которого между первыми нулями 
равна
.
|
|
|
Часто используют длительность по «главному лепестку» импульса 
.
При смещении по частотена 
получим синусоиду с огибающей в виде такого же импульса (рис. 4.6).
Рис. 4.6 — Графики функции «частотный прямоугольник» (а) и соответствующей ей временной функции без смещения (б) и при смещении (в) по частоте
4.2.4. Применение специальных функций для оценки диаграмм
направленности апертурных антенн
Идеализированное распределение токов вдоль осей апертуры имеет вид прямоугольных функций (рис. 4.7).
Рис. 4.7 — Геометрия апертуры антенны (а),распределения токов (б, в) и
определение разности хода лучей (г)
Все диполи Герца, которыми заменяем распределения токов, имеют одинаковые моменты тока. Фазу поля диполя Герца, расположенного в начале координат, в точке наблюдения 
принимаем за нуль. Если второй диполь сдвинуть вдоль поперечной оси (у нас это 
или 
), то между его полем и полем первого диполя образуется сдвиг фаз 
, обусловленный разность хода лучей 
(см. рис. 4.7 г). Для плоскостей 
и 
получим, соответственно
;
.
|
|
|
Здесь 
— постоянная распространения (волновое число), а обозначения 
введены для нормированных на длину волны линейных размеров.
Суммирование полей от всех диполей Герца по апертуре для получения диаграмм направленности приводит к интегрированию
. (4.9)
Сравнив (4.9) и (4.1), видим, что мы имеем ППФ, в котором вместо частотного аргумента 
фигурирует пространственный аргумент 
. Следовательно, нормированные ДН апертуры в соответствующих плоскостях будут иметь следующие выражения
; (4.10)
. (4.11)
Заметим, что полученные выражения справедливы для «больших» апертур, размеры которых значительно превышают длину волны (рис. 4.8).
Рис. 4.8 — ДН в децибелах (а) и в линейном масштабе (б) в пл , угол 
и в пл ,угол 
Полуширина гл леп по ур половинной мощности (по ур 0,707) в каждой пл-ти опр-ся выражениями
;
.
Для выбранных данных 
и 
, что соответствует графикам на рис. 4.8.
Для равномерного возб ширина ДН получается минимальной, но УБЛ — довольно высокий: –13,6 дБ. Для уменьшения УБЛ применяют спадающее к краям распределение «косинус на пьедестале». Стандартные уровни на краях берутся либо –10 дБ, либо –20 дБ. Данные о ширине ДН и КНД (КУ) можно получить аналитическиили численно. Для круглой апертуры это данные имеются в лит-ре [Шпиндлер] рис. (4.9).
Рис. 4.9 — Зависимости, описывающие влияние диаметра (а) и уровня облучения (б) краёв круглой апертуры на характеристики антенны
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 444; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!