Основные предпосылки управления проектами 11 страница

5.5. Спектральный анализ

Общепринятый способ анализа структуры стационарных временных рядов — это использование дискретного преобразования Фурье для оценки спектральной плотности или спектра ряда. Этот метод может применяться:

· для получения описательных статистик одного временного ряда или описательных статистик зависимостей между двумя временными рядами;

· для выявления периодических и квазипериодических свойств рядов;

· для проверки адекватности моделей, построенных другими методами;

· для сжатого представления данных;

· для интерполяции динамики временных рядов.

Точность оценок спектрального анализа можно повысить за счет использования сглаживающих окон и методов усреднения.

Для анализа необходимо выбрать одну или две переменные и задать следующие параметры:

· размерность временного шага анализируемого ряда, необходимую для согласования результатов с реальной временной и частотной шкалами;

· длину k анализируемого отрезка временного ряда в виде числа включаемых в него измерений;

· сдвиг очередного отрезка ряда k₀ относительно предыдущего;

· тип временного окна сглаживания для подавления в спектре так называемого эффекта вытекания мощности;

· тип усреднения частотных характеристик, вычисленных на последовательных отрезках временного ряда.

Результаты анализа включают спектрограммы — значения характеристик амплитудно-частотного спектра и значения фазочастотных характеристик. В случае кросс-спектрального анализа результаты — это также значения передаточной функции и функции когерентности спектра. Результаты анализа могут включать и данные периодограмм.

Полезны графики амплитудного спектра и фазы, а в случае кросс-спектрального анализа — также и графики когерентности и передаточной функции.

Спектральный анализ может быть проведен повторно с преобразованием исходного временного ряда. Так, если в процессе выявлены сильные сезонные колебания и требуется провести более детальное исследование несезонных закономерностей, то перед повторным анализом необходимо подавить сезонные изменения трансформацией временного ряда посредством фильтрации, сезонного центрирования, нормирования или дифференцирования.

Комплексная функция дискретного преобразования Фурье, используемая для спектрального анализа, позволяет представить непрерывный спектр f_х процесса (или кросс-спектр двух процессов f_xy ), представленного временным рядом X в виде конечного набора синусоидальных и косинусоидальных гармоник в диапазоне частот i от 0 до n/2, где n — длина временного ряда.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), называемая также спектральной плотностью, представляет зависимость амплитуды спектра разложения Фурье от частоты. АЧХ наглядно показывает, на каких частотах сосредоточена максимальная сумма амплитуд и где находятся области совпадений и несовпадений значений ряда.

Наряду с АЧХ часто строят также и график мощности сигнала от частоты колебаний. На таком графике более выделены основные пики, а малые колебания более приглушены. Значения, считанные с АЧХ, выражаются в натуральных единицах временного ряда и поэтому более естественны для восприятия.

Амплитудно-частотная характеристика кросс-спектра, называемая также кросс-спектральной плотностью, представляет собой зависимость амплитуды взаимного спектра двух взаимосвязанных процессов от частоты. Такая характеристика наглядно показывает, на каких частотах наблюдаются синхронные и соответствующие по величине изменения мощности в двух анализируемых временных рядах или где находятся области их максимальных совпадений и максимальных несовпадений.

Фаза представляет собой угловой сдвиг между синусоидальной и косинусоидальной составляющими разложения Фурье. График фазочастотной характеристики позволяет оценить, насколько синхронно или асинхронно происходят колебания в исходном временном ряде на различных частотах.

Фазочастотная характеристика кросс-спектра представляет собой сдвиг взаимной мощности двух процессов на заданной частоте или степень опережения, запаздывания во времени одного процесса относительно другого.

Когерентность отражает линейную связь двух процессов дифференцированно по частотам аналогично тому, как обычный коэффициент корреляции отражает степень линейной взаимосвязи двух процессов во временной области. Значения когерентности лежат в интервале от нуля до единицы.

Уменьшение значения когерентности может быть вызвано следующими четырьмя основными причинами:

· присутствие некоррелированных случайных составляющих, определяющих нестабильность во времени;

· наличие нелинейной связи между процессами;

· утечка мощности, обусловленная недостаточным разрешением по частоте, то есть слишком большими интервалами времени между наблюдениями или измерениями показателей, образующих ряды;

· наличие временной задержки при передаче взаимодействия между двумя процессами, соизмеримой с интервалом наблюдения; эту задержку можно выявить по корреляционной функции и ликвидировать путем предварительного усечения сигналов для ликвидации их взаимного сдвига.

Функция когерентности используется для оценки значимости других кросс-спектральных характеристик и для определения меры влияния случайных колебаний или нелинейности функции ряда. Малые значения когерентности могут указывать на незначимость на данной частоте других кросс-спектральных характеристик, или являться признаком необходимости увеличения числа усреднений для ликвидации влияния случайных колебаний.

Передаточная функция,часто называемая частотной характеристикой, отражает отношение величин на входе к величинам на выходе различных систем и характеризует стабильные, линейные и инвариантные во времени системы. Эта функция вычисляется как отношение амплитуды спектра первого процесса к амплитуде спектра второго процесса и тем самым представляет коэффициент усиления или коэффициент передачи амплитуды по частоте.

Иногда используют и обратную передаточную функцию, которая вычисляется как отношение амплитуды спектра второго процесса к амплитуде спектра первого процесса.

Существуют вспомогательные методики, применяемые при анализе временных рядов. Важными предварительными характеристиками выполняемого анализа являются разрешение по частоте и ширина полосы спектра.Последний параметр определяет, насколько близко расположенные спектральные составляющие могут быть выделены из временного ряда. Поскольку частотный шаг спектральных характеристик равен 1/Т, где Т— временная длительность ряда, то разрешение по частоте может быть увеличено за счет увеличения длительности временного ряда. Верхняя граница полосы анализируемого спектра определяется частотой измерения значений временного ряда, а нижняя граница равна разрешению по частоте.

В качестве средств улучшения спектральных характеристик часто используют корректирующие временные или частотные окна, а также различные виды усреднения.

Временной ряд — это по существу некоторый сегмент данных, выделенный из длительного или потенциально бесконечного процесса.

При преобразовании такого сегмента в частотную область возникают наведенные колебания вида sin(х)/х, называемые явлением Гиббса. Например, в случае синусоидального вида временного ряда это приводит к расширению острых спектральных пиков и появлению в их окрестности множества зон с уменьшающимися искажениями амплитуды. Этот эффект называется вытеканием мощности.

Наложение зон искажений от соседних спектральных пиков может привести к их дополнительному смещению по частоте, к изменению амплитуды основных пиков, а также к полному исчезновению спектральных составляющих с малыми амплитудами. Средством ослабления этого эффекта может служить увеличение частоты измерения значений временного ряда. Однако на практике это не всегда достижимо.

Наиболее часто для устранения этих искажений применяют сглаживающие окна.

Выбор вида окна из числа используемых в статистических пакетах связан с компромиссом между величинами искажений мощных пиков и величинами искажений в окрестностях этих пиков.

Для устранения случайных искажений в спектре ряда применяют различные методы усреднения, которые позволяют получить гладкую оценку спектра во всей анализируемой полосе частот. Однако в результате их применения могут нивелироваться, вплоть до полного исчезновения, отдельные острые спектральные пики, соответствующие реальным составляющим исходного ряда. Если важно обнаружить слабый сигнал, усреднением пользоваться не стоит.

5.6. Анализ закономерной и случайной составляющей временного ряда

В основе данного анализа лежит представление о существовании тренда, которому подчинено изменение показателя. При этом определенный уровень случайной составляющей во временном ряде остается. Тот уровень разброса, который определяется по формуле 10, через показатель среднеквадратического отклонения. Данный показатель является общим, как для случайного разброса, так и закономерной составляющей или линии тренда. Эту зависимость можно описать формулой 19.

σ_общ² = σ_зак² + σ_сл² (19)

Чаще всего исследователи пытаются выявить либо закономерную, либо случайную составляющую. В прогнозировании необходимо знать оба параметра, закономерную составляющую для определения тренда, а случайную для определения среднеквадратического разброса показателя относительно тренда. Методов определения может быть несколько:

· на основе стандарта вторых разностей;

· сглаживание скользящим окном;

· регрессионный анализ (линейный полином);

· полиномиальные функции;

· гармонический анализ;

· нелинейные функции;

· и др.

На основе стандарта вторых разностей был разработан математический аппарат для оценки случайной составляющей, который позволяет на основе формулы 19 определить закономерную составляющую. В основе данного метода лежит определение значений первых и вторых разностей по ниже приведенным формулам:

Δ'_i = x_i - x_i+1 ;

Δ"_i = Δ'_i - Δ'_i+1 .

Далее рассчитывается стандарт вторых разностей на основе суммы квадрата вторых разностей по формуле 20:

(20).

На основании формулы 19 вычисляем стандарт закономерной составляющей:

σ_зак²= σ_общ² - σ_сл² (21).

Далее возможно произвести оценку закономерной составляющей и сделать дальнейшие выводы. Для этого воспользуемся показателем закономерной составляющей.

(22),

используя формулу 22 можно написать уравнение для случайной составляющей:

Существует общая закономерность соотношения случайной и закономерной составляющей:

Считается, что изменение закономерной составляющей от 0,75 до 0,999 позволяет оценивать данные без предварительной обработки, т.е. фильтрации. Проводить внутреннее (между известными данными) сгущение значений за счет интерполяции и прогнозировать методом экстраполяции, тренд будет наиболее надежным. При изменении данного показателя от 0,5 до 0,75 необходимо применять сглаживание и определять повышение закономерности при сглаживании. Если закономерность повысится, то тоже можно использовать данные для прогнозирования. Изменение значений от 0,3 до 0,5 чаще всего указывает на значительный уровень случайной составляющей в данных, поэтому чаще всего применяют методы прогнозирования на основе только отфильтрованных данных. Может использоваться внутренний или внешний контур.

Пример 37. На основании данных примера 35 произведем анализ закономерной составляющей ряда. Расчеты приведены в таблице 5.4.

Таблица 5.4 – Расчет суммы квадратов вторых разностей

Год	Доля в общероссийском потенциале, %	Первые разности	Вторые разности	Квадраты вторых разностей
2006	1.561
2005	1.365	0.196
2004	1.55	-0.185	0.381	0.145161
2003	1.59	-0.04	-0.145	0.021025
2002	1.62	-0.03	-0.01	0.0001
2001	1.72	-0.1	0.07	0.0049
2000	1.86	-0.14	0.04	0.0016
1999	1.74	0.12	-0.26	0.0676
1998	1.802	-0.062	0.182	0.033124
Сумма	14.808	-0.241	0.258	0.27351

Далее по формулам 20, 21 и 22 вычисляем закономерную составляющую через стандарт случайной составляющей (0.13977) и среднеквадратическое отклонение ряда. Для данного примера показатель закономерной составляющей составляет 0.38599. Следовательно, можно сделать вывод о присутствии высокой доли случайной составляющей и необходимости проведения фильтрации данных для прогнозирования. Для повышения закономерной составляющей можно произвести сглаживание скользящим окном.

Сглаживание скользящим окном наиболее простой способ повышения закономерной составляющей, при этом необходимо помнить, что при слишком большом окне может нивелироваться (сгладиться) искомая зависимость. При слишком малом значении окна может остаться достаточно большой уровень шума и эффекта не будет. А также нужно помнить, что число данных в сглаженном ряду сокращается на k-1, где k – размер окна. Для получения более надежных результатов, вычисление значений внутри окна производят как с помощью среднеарифметического значения (формула 1), так и используя полиноминальные функции.

Пример 38. На основании данных примера 35 произвести сглаживание с помощь окна размером 3. В нутрии окна вычисляется среднее. Пример вычисления приведен в таблице 5.5.

На основании данных вычислений можно оценить закономерную составляющую (0.882). В данном случае уровень случайной составляющей является незначительным, поэтому можно использовать для прогнозирования значения, полученные с помощью сглаживания скользящим окном равным трем. Но недостатком данного метода будет отсутствие значений для 2006 года, что не позволяет использовать данные для прогноза в чистом виде. Необходимо использовать какую–то функцию (полиноминальные уравнения или регрессионную функцию). Некоторые программные продукты (например, MS Excel) интерпретируют полученные данные не как середину окна, а как его окончание, что в данном случае позволяет считать данные на 2006 год существующими, но это не правильная интерпретация, т.к. значение было рассчитано из нескольких значений, поэтому должно быть присвоено центральному значению.

Таблица 5.5 – Расчет значений для скользящего окна размером три.

Год	Доля в общероссийском потенциале, %	Скользящее окно размером 3	Отклонение от исходных данных	Квадраты отклонений
2006	1.561
2005	1.365	1.492	-0.127	0.016129
2004	1.55	1.501667	0.048333	0.002336
2003	1.59	1.586667	0.003333	0.0000111
2002	1.62	1.643333	-0.02333	0.000544
2001	1.72	1.733333	-0.01333	0.000178
2000	1.86	1.773333	0.086667	0.007511
1999	1.74	1.800667	-0.06067	0.00368
1998	1.802
Сумма	14.808			0.03039

Использование регрессионного анализа позволяет дать статистическую оценку связи двух рядов. На основании формулы 14 можно оценить изменение двух показателей, при этом один из показателей может быть временным. Особенность такого ряда связана с возможность с помощью уравнения регрессии (формула 17) производить прогнозирование на основании увеличение значения ряда. Необходимо помнить, что данный анализ выявляет линейную зависимость.

Пример 39. На основании данных примера 35 проведем регрессионный анализ между долей в общероссийском потенциале и временным параметром, в данном случае это год для которого рассчитан показатель. Для этого вычислим значение коэффициента корреляции по формуле 15 (-0.855). Данное значение свидетельствует о высокой обратной связи. Рассчитаем надежность коэффициента корреляции (формула 16) равное 9.55, т.к. оно выше трех можем утверждать, что коэффициент вычислен надежно. Зная значения необходимые для составления уравнения регрессии, получим искомые коэффициенты a
(-0.04732) и b (96.3733). Следовательно, уравнение регрессии будет иметь вид
y = -0.04732x + 96.3733. Далее можем нанести на график уравнение регрессии, как показано на рисунке 5.6. На рисунке произведен прогноз графическим способом. Такой же прогноз можно сделать с помощью уравнения регрессии, подставив в переменную х значение 2007 и получим прогнозное значение равное 1.4.

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 221; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 6 7 8 9 101112 13 14 15 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!