Магнитное взаимодействие электрических токов

1. Природный магнетизм(от греч. magnetis - магнит) известен людям с древности. Было давно замечено, что некоторые куски железных руд отталкиваются или притягиваются друг к другу в зависимости от взаимного положения. Подвешенные на нити или лежащие на поплавке на поверхности жидкости такие вытянутые куски самопроизвольно разворачивались в направлении север-юг. Это привело к изобретению компаса.

Научное изучение природного магнетизма началось в конце 16 века. Оказалось, что любой магнит имеет два разных полюса. Тот полюс, что указывал на север, назвали северным, а тот, что на юг – южным. Одноимённые полюса отталкиваются, а разноимённые притягиваются. Оказались безуспешными попытки разделением магнита получить одиночные магнитные полюса.

Стало ясно, что способность магнитных стрелок ориентироваться в направлении север-юг обусловлена тем, что Земля – большой магнит. В районе её северного географического полюса в точке с координатами 70°30¢ с.ш. и 97°41¢ в.д. находится южный магнитный и наоборот, в районе южного географического полюса в точке с координатами 73°39¢ ю.ш. и 146°15¢ з.д. находится северный магнитный полюс.

2.Закон Кулона для магнитных полюсов.В 1788 г. Шарль Кулон, экспериментируя с постоянными магнитами в виде длинных стержней, установил, что магнитные полюса взаимодействуют так же, как и электрические заряды.

. Закон Кулона для магнитных полюсов                                     (12.1)

Здесь  и  – количество магнетизма в полюсах (величины “магнитных зарядов”).

Однако вплоть до начала XIX в. не было опытных научных фактов, позволяющих говорить о существовании связи между электрическими и магнитными явлениями.

3.Открытие Эрстеда. В июле 1820 г. датский физик Ханс Эрстед открыл действие электрического тока на магнитную стрелку. “Гальваническое электричество, - писал он, - идущее с севера на юг над свободно подвешенной магнитной стрелкой, отклоняет её северный конец к востоку (рис.70-а), а проходя в том же направлении под стрелкой, отклоняет её к западу” (рис.70-б).

В опытах Эрстеда был открыт новый вид взаимодействия. До сих пор физика знала лишь центральные силы. Провод же с током не притягивал и не отталкивал магнитной стрелки. Он лишь поворачивал её вокруг оси.

Открытие Эрстеда побудило многих учёных к интенсивным исследованиям, в которых можно выделить два направления:

а. Изучение действия магнитного поля на проводник с током;

б. Изучение действия проводников с током на магнитную стрелку.

Опыты первой группы привели к открытию закона Ампера, опыты второй – к открытию закона Био-Савара-Лапласа.

4.Действие магнитного поля на ток. Поскольку проводник с током действует на магнитную стрелку, то это значит, что вокруг проводника с током возникает магнитное поле. Поэтому для изучения действия магнитного поля на ток можно использовать не только поля постоянных магнитов, но и создавать их с помощью электрических токов.

Ампер в своих опытах пошёл по второму пути. Он экспериментировал с прямоугольными рамками, по которым пропускались известной величины токи. Поскольку одна рамка (1 на рис.71) могла легко поворачиваться на оси, то можно было установить характер взаимодействия токов. Оказалось, что параллельные однонаправленные токи притягиваются, а противоположно направленные отталкиваются.

Для количественного описания взаимодействия тока с магнитным полем потребовалось ввести модель элемента тока (как материальная точка, точечный заряд и др.).

Элемент тока  есть произведение тока I на вектор , имеющий длину бесконечно малого отрезка проводника dl и направленный по току.

Результаты опытов Ампера и других исследователей позволили установить, что сила действия магнитного поля на элемент тока  определяется формулой.

. Формула Ампера, 1820                                                     (12.2)

Вектор Bназывается магнитной индукцией и является основной характеристикой магнитного поля.

Если поле B однородно в пределах прямого провода длины l, то формула (12.2) легко интегрируется и принимает вид:  или F = IlBsin( ).                 (12.3)

Определив величину и направление силы F, действующей на отрезок провода l c током I, можно найти величину и направление вектора индукции B.

Единица индукции в СИ – тесла (Тс). Если единице тесла приписать смысл в соответствии с формулой 12.3, то можно сказать, что 1 Тл – это индукция такого магнитного поля, в котором на проводник длиной 1 м с током 1 А, расположенный перпендикулярно вектору В, действует сила 1 Н.

5.Магнитное поле В, как и электрическое Е, можно графически изображать линиями. В каждой точке такой линии вектор В направлен по касательной. На практике направление линий В (силовых линий поля) определяются часто с помощью магнитной стрелки, которая располагается по касательной к линиям, или с помощью железных опилок. Оказалось, что система силовых линий поля постоянного магнита напоминает поле электрического диполя (рис.72), а магнитное поле прямого тока в любом нормальном к проводу сечении представляет собой систему концентрических окружностей (рис.73).

Магнитное поле, как и электрическое, подчиняется принципу суперпозиции. Если имеется несколько источников магнитного поля – электрических токов или постоянных магнитов, создающих по отдельности в некоторой точке индукции В₁, В₂, В₃ и т. д., то магнитная индукция суммарного поля в этой точке равна векторной сумме индукций отдельных полей.

. Закон сложения магнитных полей (12.4)

6.Магнитное поле элемента токаподробно изучали в 1920 г. французы Жан Био и Феликс Савар. Обработав их экспериментальный материал, Пьер Лаплас установил, что индукция dB магнитного поля элемента тока  в любой произвольной точке определяется формулой:

. Закон Био-Савара-Лапласа, 1820г                            (12.5)

Здесь r- радиус-вектор, проведённый от элемента тока в ту точку поля А (рис.74), где определяется индукция; m ₀- размерный коэффициент пропорциональности, его называют магнитной постоянной. В системе единиц в СИ m ₀ = 4p×10⁻⁷ Гн/м точно. Величина m -магнитная проницаемость среды. Это безразмерное число, которое показывает, во сколько раз сила действия магнитного поля на проводник с током в данной среде больше силы действия в вакууме. В вакууме m =1, в ферромагнитных средах m >>1, в остальных m @1.

Силовые линии поля элемента тока представляют собой окружности, центры которых лежат на прямой MN, проходящей вдоль элемента тока. Направление силовых линий задаётся направлением вектора индукции dB. На практике его можно определить по правилу правого винта: если поступательное движение винта совпадает с направлением элемента тока Idl, то вращение винта происходит вдоль по силовой линии.

С увеличением расстояния r от элемента тока до точки поля А индукция убывает пропорционально . Поэтому густота линий поля с увеличением  r  быстро падает.

Вдоль прямой MN, на которой находится элемент тока Idl, поле равно нулю. Угол a между векторами Idl и r в этом случае равен нулю, и .

7. Проблема магнитных зарядов.В электрическом поле покоящихся зарядов силовые линии разомкнуты. Они начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах.

Замкнутость линий магнитного поля можно толковать как результат того, что в природе нет магнитных зарядов. Но возникает вопрос: что же является источником магнитного поля постоянных магнитов?

Андре Ампер высказал гипотезу, что источником магнитного поля во всех случаях являются электрические токи. Он предложил разделить учение об электричестве на два раздела: электростатику – учение о покоящихся зарядах и электродинамику – учение о движущихся зарядах. Магнетизм в системе Ампера – раздел электродинамики. Внутри постоянных магнитов, по мнению Ампера, циркулируют замкнутые микроскопические токи, которые и создают магнитное поле.

Эта глубокая догадка о замкнутых микротоках оставалась гипотезой почти в течение столетия, прежде чем в начале ХХ в. она получила опытное и теоретическое обоснование. Оказалось, что основным источником магнитного поля намагниченных тел является внутриатомное движение электронов.

Но поскольку магнитных зарядов в природе нет, то закон Кулона, описывающий взаимодействие магнитных полюсов (магнитных зарядов, как мыслилось в начале) теряет свою значимость и сохранят лишь историческое значение.

8.Взаимодействие элементарных токов. Закон Ампера. Если в формулу силы Ампера (12.2) вместо B подставить выражение индукции dB из закона Био-Савара-Лапласа (12.5), то получим формулу, определяющую силу dF взаимодействия двух элементарных токов. Присвоим элементу тока, создающему поле dB₁ (формула 12.5) индекс “1” , а элементу тока, испытывающему действие поля dB₂, индекс “2”. Тогда сила действия поля элемента тока  I₁dl₁ на элемент тока I₂dl₂ определяется выражением.

. Закон Ампера для элементов тока             (12.6)

Это основной закон электромагнетизма.

Если сравнить закон Ампера с законом Кулона для электрических зарядов, то можно увидеть как сходство, так и различие.

В законе Кулона характеристикой вещества является диэлектрическая проницаемость среды e, в законе Ампера – магнитная проницаемость среды m. Величина силы взаимодействия между электрическими зарядами убывает с квадратом расстояния между ними. Так же убывает величина силы взаимодействия между элементами тока. В законе Кулона , в законе Ампера .

Принципиальным отличием является то, что кулоновская сила – это центральная сила. Она всегда направлена вдоль прямой линии, проходящей через взаимодействующие заряды. Сила Ампера в данном случае не является центральной.

Рассмотрим несколько случаев.

а.Взаимодействие параллельных элементов тока. Чтобы вычислить силу dF₁₂ , действующую на элемент тока I₂dl₂, со стороны элемента I₁dl₁, надо найти вначале векторное произведение во внутренних скобках формулы 12.6 (рис.75). Вектор  направлен вниз. Переносим его к элементу I₂dl₂ и находим произведение .

Чтобы найти силу dF₂₁, действующую на элемент тока I₁dl₁ со стороны элемента I₂dl₂, надо от вектора r₁₂ перейти к вектору r₂₁, то есть направить его от элемента I₂dl₂ к элементу I₁dl₁. Вычислив  и пристроив его к элементу I₁dl₁, находим произведение .

Параллельные токи притягиваются с одинаковыми по величине силами, dF₁₂ = - dF₂₁.

б.Взаимодействие антипараллельных элементов тока (рис.76). Параллельные противоположно направленные токи отталкиваются с одинаковыми по величине силами, dF₁₂ = - dF₂₁.

в.Взаимодействие перпендикулярных токов. В случае скрещенных токов, показанном на рис.77, силы, действующие на оба элемента тока, равны нулю, dF₁₂ = - dF₂₁ = 0.

Однако могут быть случаи, когда при взаимодействии элементов тока 3-й закон Ньютона не выполняется (рис.78). Сила dF₂₁, действующая на элемент I₁dl₁, не равна нулю, dF₂₁ ¹ 0. Тогда как сила dF₁₂, действующая на элемент I₂dl₂, равна нулю, dF₁₂ = 0. Третий закон Ньютона нарушается.

Однако это нарушение относится к моделям – элементам тока. На опыте нельзя реализовать ограниченные по длине отрезки провода с током. Для замкнутых же проводников 3-й закон Ньютона выполняется совершенно точно.

.                                            (12.7)

Здесь L₁ - контур первой замкнутой цепи с током I₁, L₂- контур второй замкнутой цепи с током I₂.

Пример 12.1 Магнитное поле конечного отрезка прямого тока.Вычислим индукцию поля B, создаваемого прямым отрезком провода с током I на некотором произвольном расстоянии R от провода в точке А (рис.79).

Поскольку магнитное поле подчиняется принципу суперпозиции, то индукцию поля в точке А можно найти как сумму индукций полей в точке А, создаваемых элементами токов Idl, уложенных вдоль всей длины провода.

По закону Био-Савара-Лапласа индукция поля элемента тока Idl в точке А, удалённой от элемента тока на расстояние r, есть .                                 (12.8)

Пусть О – точка на проводе или на его продолжении, из которой построен перпендикуляр R в точку поля А. Положение точки О относительно элемента тока, определяется вектором , где - единичный вектор вдоль тока.

Преобразуем выражение (12.8) к виду, удобному для интегрирования. Так как , , а , то . (12.9)

Коэффициент перед выражением  не зависит от положения точки на проводе и выносится из-под знака интеграла. Для интегрирования выражения (12.9) надо от двух переменных l и r перейти к одной. В качестве переменной интегрирования выберем угол b между направлениями из точки А в точку О и в точку элемента тока. Тогда  , , . Подставляем: .                    (12.10)

Проинтегрировав от угла b₁, под которым виден из точки А конец провода N, до угла b₂, под которым виден другой конец провода M, получаем: . (12.11)

Для модуля В формула упрощается: .                          (12.12)

Для бесконечно длинного провода ,   и .   (12.13)

9. Единица тока – ампер. Если поместить рядом два очень тонких параллельно расположенных провода бесконечной длины, расстояние между которыми R, токаждая точка одного провода будет находиться в постоянном магнитном поле другого. Силы, действующие на одинаковые отрезки l в любом месте любого провода одинаковы.

Допустим, для отрезка l₂ второго провода .      (12.14)

Данная ситуация используется для определения единицы тока в СИ – ампера. Если , а , то в вакууме .

Ампер – сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 м один от другого в вакууме, вызывает между ними силу, равную ньютонов на каждый метр длины.

Вычисление магнитных полей

1.Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) Ф вводится так же, как поток вектора напряжённости электрического поля.

Магнитный поток dФ через элементарную площадку dS равен скалярному произведению векторов Bи dS×n: ,                               (13.1)

где n-единичный вектор нормали к площадке, - проекция вектора B на нормаль к площадке (нормальная к площадке составляющая вектора B) (рис.80).

Магнитный поток через конечную площадку  находится интегрированием. .            (13.2)

Если поле в пределах площадки однородно, а угол между векторами Bи n равен , то поток через площадку

.                                       (13.3)

Единица магнитного потока в СИ – вебер (Вб), .

2.Теорема Гаусса для магнитных полей. Вычислим поток Ф вектора магнитной индукции B через замкнутую поверхность. Ограничимся простым случаем, когда поле создаётся бесконечным прямым током, а поверхностью является поверхность коаксиального с проводом цилиндра (рис.81).

Полный поток складывается из суммы потоков через боковую поверхность цилиндра и через его основания, Ф = Ф_бок + Ф_осн.

Магнитные силовые линии прямого тока есть окружности с центрами на проводе и лежащие в сечениях, нормальных проводу. Поэтому углы  между векторами B и нормалью к поверхности n во всех точках поверхности одинаковы и равны 90°.

Отсюда B_n = Bcosa = 0.

. Теорема Гаусса для магнитного поля        (13.4)

Поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю.

Результат не изменится, если поверхность имеет произвольную форму. Ведь её всегда можно охватить цилиндрической поверхностью. Поскольку линии  не имеют разрывов, они не могут начинаться или кончаться между поверхностями. Но это значит, что магнитные потоки через обе замкнутые поверхности одинаковы и равны нулю.

Теорема Гаусса для магнитного поля (формула 13.4) выражает закон природы: магнитных зарядов в природе нет.

3.Циркуляция вектора B.Вычислим циркуляцию вектора индукции B магнитного поля по контуру, охватывающему прямолинейный ток. Для простоты интегрирования возьмём в качестве контура окружность радиуса R с центром на бесконечном проводе (рис.82).

Проекция вектора B на касательную к окружности равна модулю , . Отсюда

.                (13.5)

Величина интеграла не изменяется, если контуром интегрирования будет любая замкнутая кривая какой угодно конфигурации.

Когда контур охватывает несколько потоков, то благодаря суперпозиции полей в правой части будет сумма токов. Причём, каждый ток считается столько раз, сколько раз он охватывается контуром (рис.83).

. Теорема о циркуляции или закон полного тока             (13.6)

Если направление тока совпадает с направлением обхода по правилу правого винта, ток берётся со знаком “плюс”, если не совпадает - со знаком “минус”. В примере рисунка 83 .

Теорема о циркуляции играет в электромагнетизме примерно такую же роль, как теорема Гаусса в электростатике. Она упрощает расчёт магнитных полей при наличии симметрии токов.

Исходным уравнением для вычисления магнитных полей постоянных токов является уравнение Био-Савара-Лапласа, имеющее элементарный характер. Задача в общем случае сводится к суммированию полей элементов тока, уложенных по всей длине данного проводника с током. Так вычислялось поле прямого тока в примере 12.1

 В некоторых случаях симметричных токов можно воспользоваться результатами интегрирования, полученными в законе полного тока. В результате задача решается методами алгебры.

Пример 13.1.Магнитное поле внутри прямолинейного цилиндрического провода радиусом , Пусть по прямому цилиндрическому проводу радиусом течёт постоянный ток . Плотность тока  полагаем во всех точках одинаковой и равной j = IçS, где S = pR²- площадь сечения провода. Вычислим индукцию магнитного поля внутри провода на расстоянии  от его оси (рис.84).

Воспользуемся законом полного тока. Вычислим циркуляцию вектора индукции B по окружности радиуса r. Из осевой симметрии тока следует, что индукция поля во всех точках окружности одинакова и равна B. Циркуляция вектора B по окружности радиуса r равна B×2pR.

По закону полного тока она пропорциональна току внутри этой окружности.

. (13.6)

Отсюда .                                          (13.7)

Здесь m₁- магнитная проницаемость вещества провода.

Индукция поля вне прямого бесконечного провода с током I определена в примере 12.1. Общее выражение для модуля индукции B поля прямого бесконечного тока запишется в виде:

                  (13.8)

Индукция магнитного поля максимальна на поверхности проводника. В центре проводника и на бесконечности от него индукция равна нулю (рис.85).

При использовании закона полного тока находится лишь модуль вектора B. Направление вектора B определяется из геометрии тока.

Пример 13.2. Магнитное поле внутри тороидальной катушки. Из соображений симметрии следует, что индукция B по величине одинакова во всех точках окружности радиуса R, центр которой лежит на оси AA тороида (рис.86). Поэтому циркуляция вектора индукции вдоль этой окружности равна B×2pR.. По закону полного тока она пропорциональна сумме токов, охватываемой этой окружностью. Очевидно , где N- полное число витков катушки. Отсюда  (13.9)

Здесь  - магнитодвижущая сила. Она равна произведению тока I на число витков катушки N, приходящееся на единицу длины тороида. Поле внутри тороида неоднородно. С увеличением радиуса окружности R оно убывает. Поле максимально вблизи внутренней поверхности тороида, радиус которой R₁, и минимально вблизи внешней поверхности тороида, радиус которой R₂.

Сравнив формулу (13.9) с формулой индукции поля прямого бесконечного тока (13.8), при r > R, можно сделать вывод, что поле внутри тороида такое же, как если бы оно создавалось прямым бесконечным током величиной NI, протекающим вдоль оси AA.  

Пример 13.3. Поле внутри прямого бесконечного соленоида. Соленоидом называют катушку в виде намотанного на цилиндрическую поверхность изолированного провода, по которому течёт ток I (рис.87).

Найдём индукцию поля внутри бесконечного соленоида. Для этого воспользуемся законом полного тока.

В качестве замкнутого контура для вычисления циркуляции B возьмём прямоугольник ABCD, сторона АВ которого длиной l находится внутри соленоида и параллельна его оси ОО, а сторона CD бесконечно удалена.

Из соображений симметрии следует, что вектор B внутри соленоида параллелен его оси. Поэтому вклад в циркуляцию участка АВ равен B×l.

Участки ВС и DA перпендикулярны вектору B. Их вклад в циркуляцию равен нулю.

Сторона CD бесконечно удалена от соленоида. Поскольку поле каждого отдельного тока убывает с расстоянием, то на бесконечности оно равно нулю.

Если - число витков соленоида, приходящееся на отрезок  его длины, то закон полного тока принимает вид:    , .                   (13.10)

Здесь N₀- число витков, приходящееся на единицу длины соленоида.

Формула справедлива не только для соленоидов круглого, но и любого другого поперечного сечения. Внутри бесконечного соленоида поле однородно и параллельно оси соленоида. Силовые линии внутри соленоида идут в одну сторону, снаружи – в другую, внутри они пронизывают конечную площадь сечения соленоида, снаружи - бесконечное пространство. Поэтому плотность силовых линий вне бесконечного соленоида равна нулю. Поля вне соленоида нет, индукция равна нулю на любом от бесконечного соленоида расстоянии.

Пример 13.4. Поле кругового тока. Пусть проводник имеет форму окружности радиуса R. По проводнику течёт постоянный ток I. Вычислим магнитное поле на оси данного кругового тока в некоторой точке А, которая находится на расстоянии x от его центра (рис.88).

Вычисление циркуляции B по любому контуру здесь представляет собой сложную задачу. Применение закона полного тока малоэффективно. Поэтому будем решать задачу интегрированием закона Био-Савара-Лапласа.

Выберем два диаметрально противо-положных элемента тока Idl₁ и Idl₂ и определим суммарную индукцию их полей в точке А.

Нормальные к оси ОХ составляющие индукции dB_1n и dB_2n для каждой пары элементов токов взаимно уничтожаются, а составляющие вдоль оси ОХ суммируются. Так что .  (13.11)

Здесь n- единичный правовращательный вектор площади контура, совпадающий здесь с положительным направлением оси ОХ.

Поскольку направление вектора dB определилось (вдоль оси ОХ), то в выражении закона Био-Савара-Лапласа для dB₁ (формула 12.5) оставляем только численную компоненту. Угол между любым элементом тока Idl и проведённым из него в точку А вектором r равен 90°.  Поэтому .                                          (13.12)

Индексы “1” и “2” у элементов тока и радиусов r были введены для упорядочения рисунка и рассуждений. Далее их опускаем. Приняв во внимание, что sinb = Rçr, интегрируем выражение (13.11) по половине длины окружности от 0 до pR (потому что два элемента тока). .                                    (13.13)

Здесь S = pR² - площадь контура. Выражение                                (13.14)

называют магнитным моментом тока. Поле на оси кругового тока изменяется так же, как поле на оси электрического диполя (формула 3.34).

На достаточно большом расстоянии, когда r >> R, магнитное поле кругового тока, выглядит так же, как поле магнитного диполя, то есть двух одинаковых по величине и разных по знаку магнитных зарядов, лежащих на оси кругового тока по разные стороны его центра точки О. Поэтому взаимодействие полюсов постоянных магнитов, чьи поля создаются круговыми атомными токами, подчиняются закону Кулона для магнитных зарядов (формула 12.1). Измерив силу взаимодействия двух контуров с током, можно ввести единицу измерения этих условных магнитных зарядов.

Пример 13.5. Поле короткого соленоида. Коротким называется соленоид, чья длина соизмерима с его диаметром. Вычисление циркуляции вектора В здесь так же представляет сложную задачу, поскольку индукция В изменяется не только в окрестности концов, но и вдоль оси соленоида.

Вычислим индукцию поля в произвольной точке О оси соленоида радиусом R (рис.89), воспользовавшись формулой осевого поля кругового тока (пример 13.4).

Участок соленоида длиной dl вдоль оси эквивалентен элементу кругового тока IN₀dl, где N₀- число витков, приходящееся на единицу длины соленоида. Индукция поля dB, создаваемого этим элементом тока на оси соленоида в произвольной точке О, выразится формулой (13.13), где вместо тока I нужно подставить выражение IN₀dl.

.             (13.15)

Здесь n - единичный вектор, направленный вдоль оси соленоида и согласованный с током.

Индукция в точке О, создаваемая всеми витками соленоида, найдётся интегрированием по всей его длине.

Выберем в качестве переменной интегрирования угол b между радиусом r и осью соленоида (рис.89). Тогда , . Отсюда . Подставляем в (13.15) и интегрируем вдоль оси x слева направо от точки A к точке C.

.                              (13.16)

Здесь b₁ - угол между осью соленоида и направлением из точки О в точку А, b₂- угол между осью и направлением в точку С. Если катушка очень длинная, то можно считать, что b₁ = 0, b₂ = p. Тогда формула (13.16) переходит в формулу индукции поля внутри бесконечно длинного соленоида (13.10). .                                                                   (13.17)

4. Магнитное поле одиночного движущегося заряда. Магнитное поле, создаваемое элементом тока Idl, логично рассматривать как сумму полей одиночных движущихся зарядов. Поэтому при малом отрезке dl можно записать: . (13.18)

Здесь B_e индукция магнитного поля, создаваемого одиночным движущимся зарядом, N - число этих зарядов в элементе тока Idl. Так как , где e- величина движущихся в токе зарядов, n- их концентрация, v- скорость дрейфа зарядов, S-площадь поперечного сечения проводника, и приняв во внимание, что nSdl = N - число зарядов в элементарном проводнике, получаем: .                                                 (13.19)

Знак вектора с элемента проводника dl перешёл на скорость дрейфа зарядов v. Это справедливо, поскольку направление вектора элемента тока Idl ещё в самом начале было определено через направление движения положительных зарядов.

Подставив выражение (13.19) в формулу (13.18) и разделив обе части равенства на число зарядов N, получаем полe одиночного движущегося заряда . (13.20)

Можно сказать, что поле равномерно движущегося заряда определяется формулой Био-Савара-Лапласа, в которой вместо элемента тока Idl стоит произведение заряда на скорость его движения ev.

 § 14. Действие магнитного поля на токи и движущиеся заряды

1.Прямолинейный ток в однородном магнитном поле. Как уже говорилось в §13, на элемент тока Idl, в однородном магнитном поле с индукцией B действует сил Ампера . Если элемент тока имеет постоянную величину Il, а магнитное поле в пределах его однородно, то сила Ампера принимает вид (рис.90): .                                       (14.1)

2.Замкнутый контур с током в однородном магнитном поле. Найдём силы, действующие на прямоугольную рамку с током (рис.91). Полагаем, что по рамке в направлении стрелок течёт постоянный ток I.

Силы F₂ и F₄, приложенные к элементам тока Il₂ и Il₄, действуют в плоскости рамки в разные стороны, то есть просто растягивают рамку. Силы F₁и F₃ образуют пару сил. Как известно из механики, крутящий момент пары равен векторному произведению отрезка l, проведённого из точки приложения одной силы F₂ в точку приложения к другой F₁, на силу F₁.

Если в нашем случае в качестве такого отрезка взять сторону рамки l₄, то момент пары .                                                                                                                   (14.2)

Но сила . Отсюда . В круглых скобках заключены скалярные произведения векторов. Так как рамка имеет по условию прямоугольную форму, то l₁^ l₄. Поэтому второе слагаемое равно нулю, . По определению скалярного произведения . .     (14.3)

Если ввести единичный вектор нормали n, ориентированный по току рамки правилом правого винта, то .

Вектор  представим как произведение его модуля l₁ на единичный вектор , . Приняв во внимание, что  - площадь рамки, получаем:

.                                                                 (14.4)

Здесь - магнитный момент рамки с током.

В полученной формуле нет геометрии рамки. Поэтому выражение (14.4) применимо к рамкам с током любой формы. Необходимым условием для определения момента M является значение магнитного момента p_m и его ориентации относительно поля B.

Рамка с током в магнитном поле испытывает действие вращающего момента подобно диполю в электрическом поле, для которого . Контур с током стремится повернуться во внешнем поле так, чтобы его магнитный момент совпадал по направлению с внешним полем B. Поэтому поле вблизи оси контура усиливается, .

Поле контура вне его на достаточно большом удалении от оси практически незаметно и потому не ослабляет внешнего поля (рис.92).

Если вносить в магнитное поле систему свободно ориентирующихся в пространстве контурных токов, то вследствие их единой ориентации по внешнему полю это поле усиливается.

Для сравнения: электрическое поле в диэлектриках ослабляется по сравнению с вакуумом.

По аналогии с электрическим диполем рамку с током называют часто магнитным диполем.

Если магнитный момент p_m рамки с током сонаправлен с внешним полем, p_m­­B, вращающий момент M равен нулю, а силы Ампера стремятся растянуть рамку. Если p_m­¯B, то силы Ампера стремятся сжать рамку.

3.Замкнутый контур с током в неоднородном магнитном поле. Рассмотрим круговой виток с током в неоднородном магнитном поле, когда p_m­­B, а поле B симметрично относительно оси витка.

Пусть ОХ - ось витка. Будем полагать, что внешнее магнитное поле усиливается вдоль оси ОХ, его линии B сближаются (рис.93).

На любой элемент тока Idl действует сила Ампера . Эта сила перпендикулярна вектору B и может быть разложена на две составляющие: dF_R, параллельную плоскости рамки и растягивающую её (или сжимающую, когда p_m­¯B,) и dF_n, нормальную плоскости рамки. Эта сила втягивает рамку в поле большей индукции (p_m­­B) или выталкивает её (p_m­¯B).

Угол между элементом тока Idl и вектором B во всех точках контура равен 90°. Поэтому dF = Idl×B, а dF_n = dFsinb×n = IBsinb×n×dl.

Здесь n- единичный вектор нормали площадки контура, он совпадает по направлению с вектором магнитного момента, n­­ p_m.

Сила F_n, действующая вдоль оси OX на весь контур, найдётся интегрированием.

.                           (14.5)

Здесь p_m = IpR²×n - магнитный момент контура.

Угол b - промежуточный параметр. Он определятся скоростью изменения индукции B вдоль оси ОХ. Исключим его. Из условия неразрывности линий магнитной индукции B, когда , для двух сечений, расположенных на расстоянии dx друг от друга (рис.94), получаем: .                                       (14.6)

Раскрываем скобки: .

Пренебрегаем величинами 2 и 3 порядков малости. Тогда       (14.7)

Подставляем в формулу (14.5) вместо 2BçR выражение (14.7), приняв во внимание, что dRçdx = tgb. .                               (14.8)

Здесь B_n = Bcosb - проекция вектора индукции на ось контура ОХ, иначе, нормальная к контуру составляющая вектора B.

Итак, на рамку с током в однородном магнитном поле действует только вращающий момент M, стремящийся развернуть рамку в устойчивое положение, когда p_m­­B.

На рамку с током в неоднородном магнитном поле кроме вращающего момента M действует ещё сила вдоль линий поля. Направление силы зависит от взаимной ориентации векторов B и p_m. Если p_m­­B или, по крайней мере, угол p_mB <pç2, рамка втягивается в поле более высокой напряжённости. Если угол p_mB >pç2, рамка выталкивается из поля.

Когда речь идёт об атомных токах, то в статистике, если бы атомные токи были жёстко ориентированы в пространстве, втягивающие силы уравновешивались бы выталкивающими. Но поскольку каждый атомный ток испытывает ещё действие вращающего момента M, стремящегося развернуть атом в положение, когда p_m­­B, то втягивающая сила преобладает над выталкивающей. Поэтому тела, у которых магнитные моменты атомов не равны нулю, p_m ¹ 0(парамагнетики), всегда втягиваются в область поля с более высокой индукцией.

Чем быстрее изменяется поле, тем больше величина dBçdx, тем больше втягивающая или выталкивающая сила.

4.Действие магнитного поля на движущийся электрический заряд. Поскольку магнитное поле действует только на проводник с током, логично заключить, что действие магнитного поля на проводник обусловлено действием поля на движущиеся заряды. Найдём силу действия магнитного поля на движущийся заряд.

Ток в проводнике I = jS = envS, где e - величина движущегося заряда, n - концентрация зарядов, v - средняя скорость их дрейфа.

Сила Ампера действия магнитного поля на ток . (14.9)

Здесь l - вектор длины отрезка проводника, направленный по току, S - сечение проводника (рис.95). Вектор l совпадает по направлению с вектором скорости и дрейфа положительных зарядов. Поэтому в формуле (14.9) величины l и v можно поменять местами. .                                   (14.10)

Произведение nlS = N представляет собой число зарядов в объёме проводника. Разделив силу Ампера на число N движущихся в проводнике зарядов, получаем силу действия магнитного поля на отдельный движущийся заряд. .  Сила Лоренца    (14.11)

Формулу (14.11) получил в 90-х годах XIX в. Хендрик Лоренц в рамках классической электронной теории проводимости металлов.

Если в пространстве кроме магнитного поля есть ещё и электрическое, то на движущийся заряд e действуют две силы. .                                  (14.12)

Сила Лоренца (14.11) всегда направлена по нормали к скорости v. Поэтому она изменяет скорость движения частицы только по направлению, но не по величине. Поэтому и кинетическая энергия заряженной частицы, движущейся со скоростью v << c в магнитном поле постоянной индукции B, остаётся практически неизменной.

Сила Лоренца не совершает работы, поэтому её относят к группе гироскопических сил.

5.Движение заряженной частицы в магнитном поле, когда v^ B.Пусть положительно заряженная частица с зарядом e влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно его силовым линиям, т.е. v^ B. Из формулы (14.11) следует, что f^ B. Ускорение частицы, вызываемое силой Лоренца, также перпендикулярно B. Поэтому движение частицы происходит по окружности в плоскости, перпендикулярной B (рис.96).

Радиус окружности R найдётся из условия: , .  (14.13)

Величина радиуса тем больше, чем больше импульс частицы mv и чем меньше индукция поля B.

Движение заряженных частиц в магнитных полях теоретически исследовал в 1895 г. Джозеф Лармор. Поэтому окружность, по которой движется заряженная частица в магнитном поле, называют часто ларморовской окружностью.

Зная радиус ларморовской окружности, описываемой частицей, можно найти период обращения частицы.

.                                (14.14)

Период T ларморовского вращения заряженных частиц в магнитном поле не зависит от скорости их движения (иначе, от кинетической энергии), а определяется лишь индукцией магнитного поля B и удельным зарядом частиц eçm. Это обстоятельство играет важную роль в практике создания ускорителей заряженных частиц. Частота      называется циклотронной частотой вращения.         (14.15)

6.Движение заряженной частицы в магнитном поле, когда скорость v не перпендикулярна B. Если частица влетает в магнитное поле так, что её скорость v образует с вектором Bугол, не равный 90°, то траекторией движения частицы является винтовая линия (рис.97).

Составляющая скорости v_n, перпендикулярная линиям B, закручивает частицу по окружности радиуса R = mv_nçeB. Касательная составляющая v_B, параллельная линиям B,смещает частицу вдоль поля. Поэтому траектория частицы как бы навивается на линии магнитного поля.  Шаг винтовой линии .                             (14.16)

Если угол между векторами v и B равен a, то v_B = v×cosa ,  v_n = v×sina.

В 1950 г. Игорь Тамм и Андрей Сахаров предложили использовать кольцевое поле в тороиде для удержания плазмы от размывания.

Плазмой называют газ из электрически заряженных частиц. В холодной плазме (температура не более 2×10⁴ K) такими частицами являются электроны, ядра атомов и ионизированные атомы. В горячей плазме (T ³ 2×10⁴ K) присутствуют только электроны и ядра. Необходимость сохранять в течение какого-то времени в замкнутом пространстве столь горячее вещество появилась при решении проблемы управляемого термоядерного синтеза.

Запускаемые под углом к оси тороида с магнитным полем заряженные частицы движутся по траекториям, которые навиваются на замкнутые силовые линии поля в тороиде (рис.98). В результате плазма в течение какого-то времени удерживается от размывания и от охлаждения.

7.Зеркальные магнитные ловушки. В 1952 г. Герш Будкер и Ричард Пост предложили для удержания плазмы зеркальную магнитную ловушку. Она представляет собой осесимметричное магнитное поле, образованное двумя однонаправленными кольцевыми токами 1 и 2 с общей осью (рис.99). Области максимальной индукции магнитного поля, находящиеся в плоскостях этих кольцевых токов, называются магнитными пробками.

При движении частицы в область более сильного поля скорость движения её по окружности v_n увеличивается, а скорость смещения её вдоль линий поля v_B уменьшается. В какой-то точке поля составляющая v_B обращается в нуль. Здесь происходит отражение частицы от магнитного зеркала. В результате частица дрейфует от одной пробки к другой.

8.Радиационные пояса Земли. Примером ловушки зеркального типа является магнитное поле Земли с магнитными пробками на полюсах (рис.100).

Частицы солнечного ветра – протоны и электроны – попадая в магнитное поле Земли, удерживаются им и образуют радиационные пояса. Большая доля частиц движутся как бы навиваясь под действием силы Лоренца на магнитные силовые линии Земли, дрейфуя от одного полюса до другого. В близи полюсов происходит их отражение (5 на рис.100).

Расстояние от полюса до полюса частица проходит за время примерно 0,3 c. Протон в такой геомагнитной ловушке может удерживаться до 100 лет.

В поясах существует динамическое равновесие. Внутри поясов частицы уходят из-за торможения, а их убыль компенсируется частицами, приходящими из космоса.

Радиационные пояса Земли были открыты в 1958 г. с помощью искусственных спутников Земли. Оказалось, что существуют два электронных пояса и одни протонный, в значительной степени перекрывающиеся между собой. Внутренний электронный 1 и протонный 2 начинаются примерно на одной высоте 1000 км над поверхностью Земли. Максимум концентрации протонного пояса 2 удалён от центра Земли примерно на три земных радиуса 3R. Энергия протонов меняется от 40 МэВна внутренней границе пояса до 0,5 МэВна внешней.

Максимум концентрации внутреннего электронного пояса 1 удалён от центра Земли на 1,5 МэВ, а максимум концентрации внешнего электронного пояса 3 – на 5R (рис.100).

---

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 769; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!