Энергия электрического поля. Конденсаторы.

1.Энергия системы точечных зарядов. Энергия системы из двух неподвижных точечных зарядов в вакууме определяется формулой (3.20). В диэлектрической среде с проницаемостью e она принимает вид:                                                    (7.1)

Если в поле зарядов q₁ и q₂ внести третий точечный заряд q₃, то энергия системы увеличится на величину работы внесения третьего заряда A(q₃) = q₃[j(q₁) + j(q₂)],                          (7.2)

где j(q₁) и j(q₂) потенциалы полей зарядов q₁ и q₂ в точке А, куда вносится третий заряд (рис.40). Отсюда

                            (7.3)

Полная энергия системы из трёх зарядов равна сумме                   (7.4)

Количество зарядов в системе можно увеличивать таким образом неограниченно. Энергия системы каждый раз будет прирастать на величину работы внесения очередного заряда в поле имеющихся зарядов. В общем случае при n зарядах энергия системы определяется формулой          (7.5)

Коэффициент ½ позволяет учитывать энергию каждой пары зарядов 1 раз.

2.Электрическая ёмкость проводников это мера способности проводников собирать на себе свободные заряды и аккумулировать вокруг себя энергию электрического поля. Если постепенно увеличивать заряд на проводнике, то, как показывает опыт, для проводника любой конфигурации и при любом распределении вокруг него других проводников и диэлектриков всякое изменение заряда q неизбежно вызывает пропорциональное изменение потенциала проводника j, так что q = Сj (7.6)

Здесь j - это потенциал проводника относительно тех тел, на которых замыкаются силовые линии поля проводника. Коэффициент пропорциональности С называют электрической ёмкостью проводника. Из выражения  следует, что чем больше ёмкость проводника С, тем медленнее увеличивается потенциал проводника j с ростом заряда q.

Ёмкость проводника не зависит от его электрических свойств, а определяется его размерами, геометрической конфигурацией и диэлектрическими свойствами среды, в которой находится электрическое поле.

Единица ёмкости в СИ фарад (Ф). Один фарад это ёмкость такого проводника, изменение заряда на котором в 1 Кл приводит к изменению потенциала в 1 В.

Пример 7.1 Электрическая ёмкость уединённого шара.

Выразив заряд q из формулы потенциала поверхности заряжённой сферы (4.10) и подставив его в формулу (7.6) получаем:                                             (7.7)

Вычислим в качестве примера электрическую ёмкость земного шара в вакууме, где e = 1. Так как радиус земного шара R = 6,4·10⁶ м, то C=4pe₀R=4·3,14·8,85·10^-12·6,4·10⁶= =7,1·10^-4 Ф.

Как видно из этого примера единица ёмкости фарад очень большая величина. На практике чаще используются производные единицы микрофарад(10^-6 Ф), нанофарад(10^-9 Ф), и пикофарад(10^-12Ф).

3.Конденсаторы - технические устройства, позволяющие накапливать заряд и аккумулировать электрическое поле в сравнительно небольших замкнутых объемах. Первый конденсатор изобрёл Питер Мушенбрук в г. Лейдене в 1745 г. (лейденская банка).

Как следует из примера 7.1, электрическая ёмкость уединённых проводников очень мала. Даже у столь грандиозного тела как Земля она не превышает одного миллифарада. Поэтому электрические конденсаторы - устройства для накапливания электрического заряда - конструируются в виде системы из двух проводников, имеющих, как правило, одинаковую геометрическую конфигурацию и разделённых прослойкой диэлектрика.

В зависимости от формы этих двух проводников - их называют обкладками конденсатора, различают плоские, сферические и цилиндрические конденсаторы.

4.Плоский конденсатор. Представляет собой два плоских параллельных друг другу проводника, разделённых тонким слоем диэлектрика (рис.41). Расстояние между обкладками d обычно много меньше их площади S. В электрических устройствах обкладки конденсатора всегда заряжаются одинаковыми по величине, но противоположными по знаку зарядами.

Найдём поле в плоском конденсаторе и вычислим его электрическую ёмкость.

а. Поле в конденсатореПусть на обкладках конденсатора одинаковые по величине, но разные по знаку заряды с поверхностной плотностью σ, так что |σ₊| = |σ_-|. Левая обкладка на рис.41 заряжена положительно, правая - отрицательно.

При малом расстоянии d между обкладками их можно считать бесконечно протяжёнными заряженными плоскос-тями. Поля обкладок внутри конденсатора складываются, вне - взаимно уничтожаются. Из формулы поля бесконечной заряжённой плоскости (4.18), учитывая, что между обкладками находится диэлектрик с проницаемостью ε, получаем:                       (7.8)

Для вычисления потенциала точек поля внутри конденсатора полагаем потенциал отрицательной пластины равным 0. Ориентируем ось х по направлению силовых линий, начало совместим с положительной пластиной, тогда положение отрицательной пластины соответствует x = d.

Проинтегрируем выражение -dj =Edx от произвольной точки 0 < x < d до точки d.

(7.9)

Напряжение U между обкладками       (7.10)

На рисунке 42 показано поле Е внутри и вне плоского конденсатора (вверху) и потенциал поля j (внизу). На рис.43 показаны силовые линии и сечения плоскостью рисунка эквипотенциальных поверхностей (штриховые линии). Поле в плоском конденсаторе однородно. Лишь на краях обкладок наблюдается нарушение однородности из-за провисания поля наружу.

б. Электрическая ёмкость плоского конденсатора найдётся из формулы (7.6), где j = U напряжение между обкладками, определяемое формулой (7.10) . (7.11)

Для увеличения ёмкости конденсатора надо увеличивать площадь обкладок S, уменьшать расстояние d между ними и выбирать диэлектрик с максимально большой проницаемостью ε.

5.Сферический конденсатор образуется двумя проводящими концентрическими сферами(рис.44-а). Поле в пространстве между сферами создаётся только внутренней сферой. Поэтому напряжённость и потенциал поля в интервале R₁< r < R₂ определяется формулами (4.9) и (4.10), записанными для случая ε ≠ 1(вместо e₀ входит произведение ee₀). Поле внутри малой сферы и вне большой равно 0 (рис.44-б).

Напряжение U между обкладками есть разность потенциалов поля точечного заряда между точками R₁ и R₂ (формула 4.10).                                         (7.12)

Ёмкость сферического конденсатора . (7.13)

При R₂ ® ¥ получаем ёмкость уединённого шара (формула 7.7).

Сферические конденсаторы не имеют широкого технического применения. В основном они используются в научных исследованиях, например, при изучении внешнего фотоэффекта.

6.Цилиндрический конденсатор образуется двумя проводящими коаксиальными цилиндрами (рис.45-а). Как и в сферическом конденсаторе поле между цилиндрами создаётся только внутренним цилиндром. Напряжённость и потенциал в пространстве R₁> r >R₂ определяется формулами (4.23) и (4.25), записанными для случая диэлектрической сферы (вместо e₀ в формулы входит произведение ee₀)(рис.45-б).

Напряжение между обкладками найдётся из формулы (4.25), где r₀ = R₂, r = R₁.                                 (7.14)

Здесь t - заряд, приходящийся на единицу длины цилиндров. Ёмкость цилиндрического конденсатора на каждую единицу длины равна                                (7.15)

Цилиндрические конденсаторы широко применяются в технических устройствах. Обычно они представляют собой керамическую трубку, на поверхности которой нанесены металлические слои, играющие роль обкладок. Формула (7.15) используется при вычислении волнового сопротивления коаксиальных кабелей.

Электрическая ёмкость элементов электрических устройств имеет часто большое значение для их нормального функционирования. Поэтому необходимо знание ёмкостей систем, не являющихся в обычном смысле конденсаторами. Примером такой системы является двухпроводная линия.

Пример 7.2. Ёмкость двухпроводной линии. Пусть 2 параллельных провода имеют каждый диаметр 2R и расположены на расстоянии l друг от друга. Полагаем, что диаметр проводов много меньше расстояния между ними, 2R<< l. Это позволяет считать распределение заряда на каждом проводе равномерным, а поле невозмущённым и определяющимся формулами (4.23) и (4.25).

Пусть оба провода заряжены противоположными зарядами с одинаковой линейной плотностью t. Для вычисления напряжения между проводами направим ось х через центры проводов, начало оси выберем на левом положительном проводе (рис.46). Потенциал отрицательного провода примем за 0.

Напряжённость поля в любой его точке на оси х есть сумма

,                                                                                    (7.16)

где e - диэлектрическая проницаемость сферы.

Проинтегрировав уравнение -dj = Edx от R до l - R, получаем напряжение между проводниками

                (7.17)

Ёмкость двухпроводных линий увеличивает потери в энергосистемах и ограничивает максимальную частоту электрического поля в линиях связи.

7. Энергия заряженного конденсатора. Рассмотрим процесс зарядки конденсатора путём переноса одноимённых зарядов с одной обкладки на другую. Пусть с левой обкладки конденсатора на рис.47 переносятся положительные заряды. Перенос зарядов приводит к появлению поля в конденсаторе и должен совершаться за счёт работы внешних сил. Эта работа идёт на увеличение энергии электрического поля W.

dA = dW = Udq                                       (7.19)

Но U = qçС, где q - заряд на правой по рис.47 обкладке, а С - ёмкость конденсатора. После интегрирования получаем :

                              (7.20)

Используя формулу q = СU, можно получить три выражения энергии

                                   (7.21)

8. Плотность энергии электрического поля. Если площадь пластин конденсатора велика, по сравнению с расстоянием между ними, то есть S >>d², то поле в плоском конденсаторе практически однородно и полностью заключено в объёме конденсатора V = Sd. Разделив энергию поля W на объем V, получаем плотность энергии электрического поля.

                                                   (7.22)

Полученная формула определяет плотность энергии в зависимости от «точечной» характеристики поля напряжённости Е, поэтому применима не только к однородным, но и к неоднородным полям.

Пример 7.3. Размер электрона. Вычислим энергию электрического поля уединённой сферы, имеющей заряд q и радиус R, воспользовавшись формулой плотности энергии (7.22). Проинтегрируем энергию по всему объёму пространства вне шара.

                                               (7.23)

С уменьшением радиуса сферы R энергия её поля стремится в бесконечность. Это обстоятельство ограничивает размер реальных зарядов снизу.

Например, если полагать, что вся масса покоя электрона m обусловлена его электрическим полем, то W = mc², где с скорость света в вакууме. Отсюда

Это минимально возможный радиус электрона.

У частиц с большой массой, например, у протона, радиус может быть и меньше. Но предположение о том, что масса покоя частицы обусловлена исключительно её электрическим полем остаётся всего лишь гипотезой, которая не может объяснить массу нейтральных частиц, например, нейтронов.

9. Притяжение обкладок конденсатора. Поскольку обкладки имеют разный по знаку заряд, то они притягиваются друг к другу. Найдём силу притяжения обкладок плоского конденсатора, предположив, что одна из них смещается на расстояние dl за счёт энергии поля (рис.48).

Изменение энергии dW = dA = Fdl.

Отсюда . Но .

Тогда .                         (7.24)

Знак «минус» означает, что пластины притягиваются.

10. Неустойчивость электростатических систем. В 1839 г. английский математик С. Ирншоу сформулировал и доказал теорему: совокупность неподвижных частиц, взаимодействующих между собой с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния (притягивающихся или отталкивающихся) не может образовывать устойчивой равновесной системы.

Доказательство теоремы Ирншоу основано на том, что потенциальная энергия системы электрически заряженных частиц не имеет минимума. Это значит, что совокупность неподвижных электрических зарядов, находящихся на конечном расстоянии друг от друга, не может находиться в устойчивом равновесии.

Теорема Ирншоу сыграла большую роль в развитии теории строения атома, поскольку из нее следует динамическая модель атома. Стационарный атом не может быть построен из неподвижных зарядов, связанных только электрическими силами.

Глава. 2. Законы постоянного тока и его природа в разных средах.

Законы постоянного тока

I. Электрический ток - направленное движение электрических зарядов. Если перемещаются элементарные заряды, например, электроны в металлах, ионы в газах и жидкостях, ток называется током проводимости. Если заряды много больше элементарных и связаны с макротелами, ток называется конвективным. Например, конвективный перенос объемного заряда в воздухе. Третьим случаем является электрический ток в вакууме. В настоящем параграфе речь пойдет только о токе проводимости.

Основной характеристикой тока является его величина i, определяющаяся отношением заряда, проходящего через поперечное сечение проводника, к времени: .         (8.1)

Если i = const, ток называют постоянным и обозначают I. Чтобы на отрезке проводника АВ существовал постоянный электрический ток, на концах проводника должна поддерживаться постоянная разность потенциалов .                  (8.2)

Направление тока соответствует направлению понижения потенциала, то есть направлению движения положительных зарядов (рис.49).

2. Закон Ома для участка цепи. В 1826 г. немец Георг Ом установил, что ток в проводнике прямо пропорционален напряжению U на его концах: .                     (8.3)

Здесь G - коэффициент пропорциональности, различный для разных проводников и называемый проводимостью.

Обратная проводимости величина R называется электрическим сопротивлением проводника постоянному току, R = 1çG. Формула закона Ома принимает вид:        (8.4)

Электрический ток, идущий в проводнике, пропорционален приложенному к концам проводника напряжению и обратно пропорционален сопротивлению проводника.

Единица тока в - ампер (А) - одна из 7 основных единиц в СИ. Единицу сопротивления ом (Ом) можно определить из закона Ома. Очевидно, [R] = [U]ç[I] то есть Ом = ВçА. Ом - это сопротивление такого проводника, в котором при напряжении на его концах 1 В идет ток 1 А.

Единица проводимости в СИ - сименс (Сим), Сим = Ом^-1.

3. Электрическое сопротивление проводников имеющих длину l и постоянное сечение S, определяется формулой, найденной Гэмфри Дэви в 1821 г ,    (8.5)

где ρ - коэффициент пропорциональности, называемый удельным сопротивлением проводника. Численно величина ρ равна сопротивлению R проводника единичной длины и единичного сечения. Единица ρ в СИ – Ом×м.

Опыт показывает, что удельное сопротивление металлов растет с температурой по закону, приближающемуся на отдельных участках к линейному             (8.6)

Здесь температурный коэффициент сопротивления, у чистых металлов приблизительно равен 1ç273 К^-1, у сплавов может изменяться в широких пределах, вплоть до отрицательных значений. В таблице (8.1) приведены значения a некоторых металлов и сплавов при t = 20°С.

Если механически деформировать проводник, то изменение его геометрических размеров также влияет на величину его сопротивления. По этому принципу устроены электрические тензометры, позволяющие измерять быстропеременные механические напряжения.

4. Закон Ома в дифференциальной форме. Пусть к концам проводника длиной l и сечением S приложено напряжение U. Преобразуем формулу закона Ома.

Таблица 8.1
Вещество	r, мкОм×м	a, град-1
Чистые металлы
Алюминий Al Вольфрам W Железо Fe Медь Cu Никель Олово Sn Платина Pt Ртуть Hg Серебро Au Цинк Zn	0,028 0,055 0,098 0,017 0,973 0,120 0,105 0,958 0,016 0,059	0,0042 0,0048 0,0060 0,0043 0,0065 0,0044 0,0039 0,0010 0,0040 0,0042
Сплавы и др.
Графит C	8-20	-0,0005
Константан (Cu+ +Ni40%+Mn2%)	0,50	-0,00005
Манганин (Cu+ +Ni3%+Mn2%)	0,46	0,00001
Нихром (Ni60%+ Cr20%+Mn1,5%+Fe)	1,0	0,0001

.    (8.7)

Отношение IçS = j - ток через единичное сечение проводника и называется плотностью тока. Отношение 1çr = g называется удельной электропроводностью. Единица g - Сим/м. Поскольку направление движения положительных зарядов совпадает с вектором напряженности Е, то выражение для плотности тока можно записать в векторной форме:                            (8.8)

Это закон Ома в дифференциальной форме. Величины, входящие в него, определены в любой точке проводника.

5. Замкнутая электрическая цепь. Это система из источника тока, и электрически соединенных проводников различного сопротивления.

Источником тока называют элемент цепи, в котором происходит разделение электрических зарядов.

Разность потенциалов между точками А и В цепи создает электрическое поле в проводниках правой и левой частей цепи на рис.50. Если в цепи нет источника тока ИТ, то потенциалы точек А и В сравняются. Ток прекратится. Функция источника тока состоит в том, что он, перемещая заряды в левой части против поля АВ, поддерживает постоянной разность потенциалов между этими точками.

Силы, разделяющие заряды в ИТ, не являются кулоновскими, хотя, в конечном счете, имеют электромагнитную природу. В феноменологической теории эти силы принято называть сторонними. Процесс разделения зарядов сторонними силами совершается за счет какой-либо энергии. Например в генераторе электрической станции разделение происходит за счет механической энергии вращения ротора, а в гальваническом элементе разделение зарядов происходит за счет энергии химической реакции.

6. Электродвижущая сила (ЭДС). Вычислим работу сторонних сил по перемещению заряда в цепи. Для этого введем в закон Ома в дифференциальной Форме вектор напряженности сторонних сил E_ст :   или                 (8.9)

Здесь jS = I - ток в цепи, одинаковый во всех её участках. Умножим выражение (8.9) скалярно на элемент длины  проводника вдоль по току и проинтегрируем от точки 2 до точки 2 по внешней части цепи, содержащий гальванический источник тока (рис.51).

  или         (8.10)

Полученная формула не несёт пока ничего нового. Она просто выражает закон Ома для участка цепи1-а-2, поскольку никаких сторонних сил на участке 1-а-2 в цепи с гальваническим источником тока нет и интеграл равен нулю. (Это не так в цепях, в которых действует ЭДС индукции). Но ситуация меняется, если точки 1 и 2 стянуть в одну так, чтобы одна из них пересекла источник тока. Тогда напряжение обратиться в нуль, U₁₂ = 0 Сопротивление R₁₂ перейдет в полное сопротивление цепи. Обычно его представляют как сумму сопротивлений источника тока r и внешней части цепи R. Выражение (8.10) принимает вид:                                                                                                  (8.11)

Интеграл по замкнутому контуру (его называют циркуляцией) вектора напряженности E_ст здесь уже не равен нулю. Он определяет работу перемещения сторонними силами единичного положительного заряда по всей цепи. Эту работу называют электродвижущей силой источника тока и обозначают E. ЭДС - важнейшая характеристика ИТ. Как и напряжение она измеряется в вольтах.

7. Закон Ома для полной цепипредставлен формулой (8.11). Обозначив интеграл буквой E  придадим ему привычный вид:                                                             (8.12)

Ток в полной цепи пропорционален ЭДС источника тока E и обратно пропорционален полному сопротивлению цепи R + r.

Из формулы (8,12) следует, что ЭДС источника тока E равна сумме падений напряжений во внешней и во внутренней частях цепи .                 (8.13)

Напряжение во внешней части цепи IR = U легко измеряется вольтметром, присоединённым к зажимам источника тока, но измерить напрямую падение напряжения внутри источника тока Ir нельзя, его можно лишь уменьшить, уменьшая ток в цепи. В пределе при R®0  U®E  Можно сказать, что ЭДС источника тока E равна напряжению на его зажимах, при разомкнутой цепи. Это условие реализуется при измерении ЭДС методом компенсации.

8 Тепловая мощность тока. Закон Джоуля-Ленца. При перемещении единичного заряда электрическими силами по цепи совершается работа, равная ЭДС источника. Если перемещаемый заряд равен q то работа его перемещения A = E q = E It = I²(R + r)t (8.14)

Эта работа состоит из двух частей: работы во внешней части цепи I²Rt и работы во внутренней части I²rt . Работа во внешней части называется полезной.

Полезная мощность Р, выделяющаяся во внешней части цепи, с учётом закона Ома для участка цепи может быть предусмотрена формулами:   P = I²R = IU = U²çR      (8.15)

Очевидно, формулы (8.15) позволяют вычислить электрическую мощность, выделяющуюся не только во всей внешней цепи, но и на любом элементе цепи, если из группы параметров I, R, U известны любые два.

Если бы заряды двигались в вакууме, то работа А пошла бы на увеличение скорости их движения, A→E_кин.При движении зарядов в проводнике скорость направленного движения зарядов практически не изменяется во времени, поскольку в противном случае происходило бы перераспределение концентрации зарядов по проводнику. Получается, что под действием постоянной электрической. силы заряды в проводниках дрейфуют с постоянной скоростью. Это напоминает движение частиц в вязкой среде. Следовательно, работа электрических сил идет на преодоления "вязкого сопротивления" проводника направленному движению зарядов и должна поэтому выделяться в виде тепла.

Количественную связь между выделяющимся в проводниках теплом Q на сопротивлении R и током I нашли опытным путем Джеймс .Джоуль (1841, индукционный метод) и Эмилий Ленц (1844, нагревание спирали) Q = I²Rt = IUt=                                                      (8.16)

Связь между единицами тепловой мощности тока и напряжения очевидна: Вт = В×А, Дж = Вт×с = В×А×с .

9. Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме определяет тепловую мощность, выделяющуюся в единице объема проводника.

Если по проводнику с удельной проводимостью g, длинной l и с постоянным сечением S проходит ток I, а на концах проводника напряжение U, то выделяющаяся в единице объёма проводника тепловая мощность равна       (8.17)

10. Разветвленные цепи. Вычисление взаимодействий. Разветвлёнными называются цепи, содержащие узлы - точки, в которых содержится более трёх проводников.

В простейшем случае разветвлённая цепь содержит один источник тока и группу сопротивлений. Поэтому задача сводится к вычислению сопротивлений отдельных участков цепи и всей цепи в целом. Исходными для вычисления являются правила:

а) Сопротивление участка цепи из последовательно соединенных проводников равно сумме сопротивлений этих проводников .                                                                            (8.18)

б) Проводимость участка цепи из параллельно соединённых проводников равна сумме проводимостей этих проводников     или .                                                                                     (8.19)

Вся работа в дальнейшем сводится к разбиению цепи на такие однородные участки и подсчёту их сопротивлений. Схемы цепей полезно видоизменять, например, делая их более наглядными (рис.52-а), разделяя параллельные ветви в точках одинакового потенциала (рис.52-б), выбрасывая сопротивления, соединяющие эквипотенциальные точки и не вносящие вклада в проводимость цепи (риc.52-а и 52-в), рассекая цепь эквипотенциальными плоскостями на последовательные участки, состоящие из параллельно включенных сопротивлений (рис52-г).

Если все сопротивления на схеме (рис.52-а) одинаковы и равны R, то сопротивления цепи между точками A и B R_АВ = R.

Если на остальных рисун-ках каждый прямой отрезок между узла-ми на схеме имеет сопротивление R, то на рис.52-б_ R_АВ = 4Rç5. На рис.52-в R_АВ = 6Rç7, на рисунке 52-г. R_АВ = Rç2 + Rç4 + Rç6 + Rç6 + Rç4 + Rç2 = 11Rç6.

11. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа. В разветвленных электрических цепях, содержащих несколько источников тока, в разных участках, вычисление токов становится сложной задачей. Эти вычисления сильно упрощаются и формализуются, если пользоваться алгоритмом Кирхгофа, сформулированным им в идее двух правил:

1-е. Сумма токов в узле равна нулю .   (8.20)

2-е. Сумма падений напряжений в контуре равна сумме действующих в контуре ЭДС.                       (8.21)

Контуром называется кольцевой участок цепи. Первое правило выражает закон сохранения электрического заряда, второе закон Ома для замкнутой цепи.

При решении задач произвольно задается направление токов и произвольно выбирается направление обхода в контурах. В качестве примера рассмотрим технологию вычисления токов в ветвях цепи, показанной на рисунке (рис.53). Полагаем значения всех сопротивлений и ЭДС всех источников тока известными.

Токи, идущие вдоль направления обхода, принимаются положительными, против - отрицательными. ЭДС, действующие в направлении обхода, также считаются положительными, а против - отрицательными.

Чтобы задача могла быть решена, общее число уравнений должно быть равным числу неизвестных токов. В начале составляются уравнения для узлов. Число независимых уравнений для токов в узлах на одно меньше количества узлов. Остальные недостающие уравнения составляются для контуров. Их число равно числу внутренних областей плоской схемы без взаимопересечений ветвей. Целесообразно в первую очередь составить уравнения для внутренних контуров, то есть минимальных. В схеме цепи на рис.53 уравнение для узлов должно быть одно. Полагаем токи, входящие в узел, положительными, выходящие - отрицательными. Тогда, например, для узла 1: I₁ - I₂ - I₃ = 0                                     (8.22)

Всего неизвестных токов три, поэтому нужны ещё два уравнения. Составим их для внутренних контуров 1 и 2.

Контур 1:   I₁R₁+ I₂R ₂ = E ₁ - E ₂                                                                                                                    (8.23)

Контур 2:   I₂R₂+ I₃R₃ = E ₂ - E ₃                                                                                                                     (8.24)

Итак, имеем систему из трёх линейных уравнений с тремя неизвестными  I₁, I ₂, I ₃.

В принципе неизвестными могут быть и другие величины. Но для получения однозначного решения число неизвестных параметров должно быть равно числу независимых уравнений.

Напомним, что направление токов и обхода произвольны. Если какой-либо ток в решении окажется отрицательным, это значит, что его действительное направление противоположно в начале принятому.

Ток в металлах.

Природа носителей электрического тока в металлах была установлена в следующих экспериментах.

а. Опыты Карла Рике, 1901г, состояли в том, что через 3 очень хорошо прошлифованных торцевыми поверхностями цилиндра медь - алюминий - медь в течении года пропускался электрический ток (рис.54). Суммарный прошедший заряд составлял 3,5×10⁶ Кл. Взвешивание до и после опытов показала, что с точностью до 0,03мг масса цилиндров осталась неизменной. Это можно объяснить лишь тем, что электрический заряд в металлах переносится не ионами, а какими-то другими одинаковыми во всех металлах частицами.

б. Опыты Леонида Мендельштамма и Николая Папалекси, 1913г. Катушка с проводом, концы которого присоединены к телефону, приводилась в колебательное движение вокруг своей оси (рис.55). При этом телефон издавал звук с частотой, равной частоте колебаний катушки.

Звучание телефона можно объяснить тем, что носители электрического заряда в металлах обладают инертной массой и сравнительно слабо связаны с кристаллической решеткой металла.

в. Опыты Ричарда Толмена с сотрудниками (Т.Стюард). 1916-1926 г, развивали идеи Мендельштамма Папалекси и позволили получить первые количественные результаты.

Катушка с большим числом витков раскручивалась вокруг своей оси, а затем резко тормозилась. Концы провода катушки могли скручиваться и были присоединены к баллистическому гальванометру. Магнитное поле земли тщательно компенсировалось проводниками с током. При резком торможении катушки гальванометр давал отброс.

Если m - инертная масса носителей электрического заряда, а e -их заряд, то тормозное изменение импульса носителей зарядов равно (mN)dv = Fdt = (eN)Edt         (9.1)

Здесь N число носителей зарядов в объеме провода катушки.

Разделив на N и приняв во внимание, что E = Uçl, где U - напряжение на концах провода, а l - его длина, и что U = Ri; где R - сопротивление цепи, а i - протекающий в цепи ток, получаем изменение импульса единичного носителя зарядов.

                                                     (9.2)

Проинтегрировав по времени торможения катушки, получаем:

                                             (9.3)

Линейная скорость вращения составляла v = 300 м/с, длинна провода катушки l = 500 м. Опыты с медной, алюминиевой, серебряной проволоками. При различных сопротивлениях цепи R и различных значениях измерявшегося гальванометром заряда q удельный заряд носителей оказался одинаковым и равным eçm = 1,6×10¹¹ Кл/кг. Это было близко к результатам, полученным Дж. Томсоном двадцатью годами ранее в опытах с катодными лучами.

Обобщение результатов перечисленных ответов позволило сделать следующие выводы:

Носители электрических зарядов во всех металлах одинаковы;

Носители электрических зарядов в металлах вполне материальны, обладают инерцией и слабо связаны с кристаллической решеткой металла.:

Удельный заряд носителей составляет eçm = 1,6×10¹¹ Кл/кг.

Поскольку к этому времени (конец 20-х годов XX века) Милликен определил элементарный заряд e = 1.6×10^-19 Кл, то оказалось возможным оценить инертную массу носителей. .

Носителями тока в металлах оказались электроны, обнаруженные ранее в катодных лучах (1897) и термоэлектронном облаке натриевых металлов. (1988, Т. Эдиссон).

В целом электропроводность следует рассматривать как явление переноса вещества и электрического заряда. Определяющим законом в последнем случае является закон Ома.

.                                                                       (9.4)

2.Электронная теория проводимости металлов. В первом десятилетии XX века Пауль Друде и Гендрик Лоренц построили классическую, т.е. основанную на уравнении Максвелла электронную теорию проводимости металлов.

Они исходили из того, что валентные электроны в металлах связаны со своими атомами настолько слабо, что могут легко перемещаться от одного атома к другому лишь за счет энергии теплового движения. Такая совокупность валентных электронов толковалась ими как электронный газ, подчиняющийся статике Максвелла Больцмана и являющийся по своим свойствам идеальным.

Идеальность электронного газа означает, что электроны проводимости не сталкиваются между собой, они соударяются лишь с узлами кристаллической решетки и находятся с ними в тепловом равновесии. Из этого условия можно оценить среднюю тепловую скорость электронов

Рассмотрим, как объясняет теория проводимости Друде-Лоренца Законы Ома и Джоуля-Ленца. Для упрощения оценок полагаем, что все электроны проводимости имеют одинаковую скорость теплового движения - U.

а. Закон Ома. Если внутри металла создавать поле E, то на хаотическое движение электронов накладывается движение, направленное с некоторой средней скоростью дрейфа v. Ток, текущий в проводнике сечением S, равен I = enSv, где n концентрация электронов проводимости, e их заряд. Плотность тока .                                                         (9.5)

Найдем среднюю скорость дрейфа v. Будем полагать, что электрон под действием силы eE в промежуток времени t от одного соударения с узлом решетки до другого движется с ускорением a и увеличивает свою скорость от 0 до .                             (9.6)

Поскольку движение электрона в электрическом поле равноускоренное, то средняя скорость равна половине максимальной; ,                                                (9.7)

а плотность электрического тока равна .                       (9.8)

Формула (9.8) выражает закон Ома в дифференциальной форме в электронной теории. Коэффициент перед E расшифровывает макроскопическую характеристику проводника, удельную проводимость g через совокупность микрохарактеристик электронного газа.

Оценим среднее время t свободного пробега электронов проводимости на примере меди. Полагаем, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон. Если M молярная масса меди, d ее плотность, то концентрация свободных электронов . Подставив n в выражение удельной проводимости .

В промежуток времени t между двумя соударениями электрон проходит среднее расстояние , что составляет несколько десятков поперечных атомов.

Оценим среднюю скорость дрейфа v электронов проводимости в меди при напряженности поля E = 0,1 Вçм. Из формулы (9.7) получаем:

Скорость дрейфа в миллиард раз меньше тепловой скорости u = 10⁵ м/с.

Заметим, что напряженность E = 0.1 В/м не столь уж малая, как может показаться величина. Она соответствует напряжению 0,1 В на концах провода 1 м. При таком напряжении через медный провод сечением S = 1 мм² проходит ток.

б. Закон Джоуля-Ленца. Масса электрона более чем в тысячу раз меньше массы атомов в узлах кристаллической решетки. Поэтому при неупругом соударении с узлом электрон останавливается, его скорость обращается в 0, а его кинетическая энергия дрейфа полностью отдается узлу. Так как в момент соударения (формула 9.6), то энергия, отдаваемая электронами в единице объема в течении одной секунда, равна

                                                           (9.9)

Эта энергия выделяется в виде тепла, поэтому формула (9.9) выражает закон Джоуля Ленца в дифференциальной форме. Выражение для удельной проводимости  (9.10)

получилось то же самое, что и в формуле закона Ома (9.8).

Строго говоря, предположение, что электрон отдает всю энергию при столкновении с атомом справедливо лишь тогда, когда атом покоится. Но атомы колеблются, а соударения не являются абсолютно неупругим. Поэтому электроны могут как отдавать энергию (соударение с убегающим атомом), так и получить ее (соударения с набегающим атомом). В статистике в условиях теплового равновесия средняя энергия движения электронов при постоянной температуре остается постоянной.

Но когда электронный газ приобретает направленную скорость дрейфа, он приобретает избыточную над тепловой энергию движения. Эта энергия электронов неравновесная с энергией узлов. Поэтому она непрерывно передается узлам кристаллической решетки, повышая температуру проводника.

в. Закон Видемана Франца. В 1853 году немцы Г.Ведеман и Р.Франц установили, что отношение теплопроводности c к электропроводности g при одной и той же температуре одинаково у всех металлов. В 1882году датский физик Людвик Лоренц показал, что это отно-шение пропорционально абсолютной температуре  Закон Видемана-Франца. (9.11)

Здесь L - коэффициент, одинаковый для всех металлов, его называют числом Лоренца.

Классическая электронная теория так объясняет этот закон.

Поскольку электроны очень подвижны, то можно полагать, что теплопроводность металлов обусловлено в основном теплопроводностью его электронного газа. Его коэффициент теплопроводности равен                                                      (9.12)

Здесь l- средняя длина свободного пробега электронов, u - их средняя скорость теплового движения, i = 3 - число степеней свободы электронов, k постоянная Больцмана.

Подставив в формулу (9.11) c из (9.12) и g из (9.10), где t =lçu, получаем:  (9.13).

Из кинетической теории идеальных газов средняя скорость теплового движения электронов U² = 8kTçpm. Отсюда                                                                       (9.14).

Классическая электронная теория в целом верно истолковывает закон Видемана Франца. Она расшифровывает число Лоренца L = 8k²çpm как комбинацию констант и прогнозирует линейную зависимость отношения cçg от температуры T.

4. Трудности классической электронной теории. Приведенные выше выводы принадлежат Друде и были сделаны им в предположении, что все электроны проводимости имеют одинаковую скорость u их теплового движения.

Генрик Лоренц уточнил выводы, приняв Максвеловское распределение электронов по скоростям. В результате в формуле закона Видемана Франца изменился коэффициент вместо 8çp = 2,55 стало ровно 2. Однако уточненная формула стала хуже соответствовать опыту.

а.Молярная теплоемкость металлов должна слагаться из теплоемкости узлов решетки 3R и теплоемкости идеального газа электронов 3Rzç2, где z число валентных электронов у атома. Полная теплоемкость получается равной 3R + 3Rzç2. Но опыт дает теплоемкость 3R (Закон Дюлонга и Пти). Классическая теория не объясняет этого.

В формуле удельной проводимости g = ne²l/2mu величина средней скорости u в соответствии со статистической теорией идеальных газов пропорциональна корню квадратному из температуры. Так как , то u ~ . Отсюда g = 1çr ~ , или ~ . Но опыт дает линейную зависимость удельного сопротивления от температуры, , или r ~ T. Расхождение необъяснимо.

Совершенно не в состоянии классическая электронная теория объяснить явление сверхпроводимости. Суть его в том, что при определенной температуре, называемой критической T_к и близкой к абсолютному нулю у большинства химически чистых металлов, удельное сопротивление проводника падает скачком практически до нуля. Оценим, сделанные по времени затухания тока в сверхпроводящем кольце, показывает, что удельное сопротивление сверхпроводников не более 10^-25 Ом×м. Для сравнения, удельное сопротивление меди в обычном состоянии равно 1,7×10^-8 Ом×м.

В классической электронной теории r ~ , удельное сопротивление должно монотонно убывать с температурой, никакого скачка нет.

5. Границы применимости электронной теории. Классическая теория электропроводности твердых тел тем сильнее расходится с экспериментом, чем ниже температура проводника и чем выше концентрация электронов проводимости. В тех случаях, когда температур достаточно высока, T > T_комн, и концентрация носителей мала, использование электронной теории оправдано не только для качественных, но и для количественных оценок. Это очень ценная возможность, поскольку классическая электронная теория Друде-Лоренца много проще и нагляднее квантовой электронной теории.

Ток в электролитах

       1. Электролиты - жидкие или твердые вещества, в которых присутствуют ионы, обуславливающие возможность прохождения электрического тока. Из жидких электролитов наиболее важны водные растворы кислот, солей и щелочей.

Молекулы растворяющихся веществ и молекулы растворителей, образующих электролиты, полярны. Их взаимодействие приводит к распаду молекул растворяющихся веществ на ионы. Этот процесс называется электролитической диссоциацией. Суть ее в том, что полярная молекула растворимого вещества, например, NaCl, разрывается полярными молекулами растворителя, например, воды H₂O (рис.56).

Вода имеет высокую диэлектрическую проницаемость, = 81. Поэтому электрическое взаимодействие между ионами молекул кислот, солей и щелочей ослабляется настолько сильно, что для распада молекул на отдельные ионы достаточно тепловой энергии движения молекул раствора.

Молекулы воды являются жесткими диполями, они образуют вокруг свободных ионов устойчивую гидратную оболочку. Эта оболочка препятствует рекомбинации - обратному соединению ионов в нейтральные молекулы, и увеличивают сопротивление движению иона в растворе.

Доля распавшихся на ионы молекул растворенного вещества обозначается a и называется степенью электролитической диссоциации. Величина a может измеряться неэлектрическими методами, например, по величине осмотического давления. (Часть 2, §19).

2. Законы разбавления. С уменьшением концентрации раствора п коэффициент a растет. Зависимость a(п) установил Вильгельм Оствальд в 1888г., исходя из условия динамического равновесия процессов диссоциации и рекомбинации.

Для одноступенчатой диссоциации, когда молекула распадается на два иона, число распадов в единице объема раствора пропорционально числу нераспавшихся молекул и равно А(1 - a)п, где А коэффициент.

С другой стороны, число актов воссоединения пропорционально концентрации положительных ионов и концентрации отрицательных ионов и равно В(aп)², где В коэффициент. В состоянии равновесия

А(1 - a)п = В(aп)², . Закон разбавления Оствальда, 1888. (10.1)

При п 0 a 1.

       1. Законы электролиза. Электролизом называют процесс прохождения через электролит электрического тока. В это явление входят также все процессы электрохимического окисления восстановления, происходящие на электродах в момент прохождения электрического тока. В результате на электродах выделяются продукты разложения раствора.

Например, при электролизе воды на катоде выделяется газообразный водород, а на аноде газообразный кислород (рис.57).

На катоде: 4H⁺ + 4e → 2H₂↑

На аноде: 4OH^- - 4e → H₂O + O₂↑.

Положительные ионы, идущие на катод (отрицательный электрод), называются катионами. Отрицательные ионы, идущие на анод (положительный электрод), называются анионами.

а. Закон Ома для электролитов. Плотность электрического тока при направленном движении однозарядных частиц одного знака определяется формулой (9.5), , где  - скорость дрейфа частиц в электрическом поле. В электролитах есть заряды обоих знаков, поэтому плотность тока есть сумма: .                                  (10.2)

Если молекула распадается на два иона, то n₊ = n_- =an, где n  концентрация молекул растворенного вещества, a - их степень диссоциации. Ионы двигаются в вязкой среде, их скорости пропорциональны напряженности поля , так что . Здесь b₊ - подвижность положительных ионов, b_- - подвижность отрицательных ионов. Так как скорость отрицательных ионов  противоположна скорости положительных ионов , то b_- - отрицательное число. Полагая е_- = - е₊= - е, получаем:

. Закон Ома для электролитов                                              (10.3)

Оба слагаемые в скобках положительные числа. Коэффициент перед Е есть удельная электропроводность электролита.

Если в электролите не одно-, а многозарядные ионы с валентностью z, то коэффициент электропроводности увеличивается в z раз. g = znea(b₊ - b_-).                (10.4)

 Например, в растворе CuSO₄ z =2, в растворе Al(NO₃)₃ z = 3.

С ростом температуры электропроводность электролитов увеличивается. В нешироком диапазоне температур эта зависимость приближается к линейной и может быть представлена эмпирической формулой: g = g₂₅[1 + b(t - 25)].                                      (10.5)

Здесь g₂₅ электропроводность при t = 25°С, b - температурный коэффициент. Для сильных кислот b = 0,0164, для сильных оснований b = 0,0190, для солей b = 0,0220.

Температурный рост электропроводности объясняется увеличением концентрации свободных ионов и увеличением их подвижности за счет падения вязкости раствора.

б. Законы Фарадея. Их два.

Первый закон: масса m выделившегося на электроде вещества пропорциональна заряду q, прошедшему через раствор, m = kq.                                                                (10.6)

Здесь k коэффициент пропорциональности, его наэывают электрохимическим эквивалентом вещества. Численно он равен массе вещества, выделившегося на электроде при прохождении через электролит 1 Кл электричества. Например, у серебра Ag k = 1,118 мгçКл, у меди Cu k = 0,329 мгçКл.

Второй закон: электрохимический эквивалент вещества k пропорционален его химическому эквиваленту Э, .                                                                          (10.7)

Здесь F коэффициент, его называют числом Фарадея.

Рассмотрим содержание второго закона. Если при осаждении на электроде массы m вещества прошел заряд q = Nez, где N число разрядившихся на электроде ионов, z их валентность, то k = mçq = mçNez. Но число молекул в массе m вещества равно N = N_A(m/M), где M молярная масса вещества. Отсюда . (10.8)

Очевидно, химический эквивалент вещества Э есть отношение молярной массы вещества к валентности, Э = Mçz. Так, у водорода H  Э = 1 гçмоль, у кислорода O Э = 16ç2 = 8 гçмоль, у кальция Са  Э = 40ç2 = 20 гçмоль и т.д.

Число Фарадея F есть заряд, необходимый для осаждения на электроде 1 химического эквивалента любого вещества. F = 1,6×10^-19×6× 10²³ = 9,6 ×10⁴ Кл.

4. Определение заряда ионов. Пользуясь законами Фарадея, можно определить заряд ионов разных веществ. Для этого нужно провести такой электролиз, в результате которого эти ионы, окисляясь или восстанавливаясь на электроде (отдают или принимают электроны), выделяются в виде нейтрального вещества выводятся из электролита.

Если масса выделившегося вещества m, то из законов Фарадея

.                                              (10.9)

Таким путем можно определить кратность заряда иона по отношению к элементарному заряду. Например, ион водорода H⁺, его заряд +1,6×10^-19 Кл, z = 1, ион однозарядный. Ион кислорода О^{- -}, есть заряд 3,2×10^-19 Кл,  z = 2, ион двухзарядный, и т.д.

5. Примеры электролиза. Это один из современных методов получения материалов и улучшения их свойств.

а. Промышленное получение алюминия.Электролит - 10% раствор глинозема Al₂O₃ в криолите Na₃AlF₆ при температуре 950°С. Анод и катод изготовлены из прессованных угольных брикетов. Анод опускается в электролит сверху, катод располагается на дне стальной ванны. На катоде выделяется алюминий, на аноде кислород.

Диссоциация: 2Al₂ O₃ ® 4Al⁺⁺⁺ + 6О ^{- -}.

На катоде: 4Al⁺⁺⁺ + 12е_- ® 4Al¯.          На аноде: 6О ^{- -} - 12е_- ® 3O₂,   

3O₂ + 3С ® 3СO₂­.

Плотность алюминия r = 2,7×10³ кг/м³ больше плотности электролита. Поэтому чистый расплав алюминия собирается на дне ванны. Выделяющийся на аноде кислород соединяется с углеродом в оксиды 3СO₂ и СO.

б. Промышленное получение едкого натра NaOH. Электролит раствор NaCl в воде, электроды - металлическая платина. На аноде выделяется первичный продукт - газообразный хлор, на катоде - вторичный продукт газообразный водород.

Диссоциация: 2NaCl ® 4Na⁺ + 2Cl ^-.

На катоде: 2Cl ^- - 2е ® Cl₂­.                  На аноде: 2Na⁺ + 2е ® 2Na,

2Na + 2H₂O ® 2NaOH + H₂­.

Выделяющийся на катоде металлический натрий сразу взаимодействует с водой с образованием едкого натра NaOH. Постепенно раствор H₂O + NaCl превращается в раствор H₂O + NaOH.

в. Лабораторный метод получения металлического натрия повторяет предыдущую схему с той разницей, что катодом является не платина Pt, а металлическая ртуть Hg. Выделяющийся натрий растворяется в ртути, поэтому вторичной реакции натрия с водой нет. Процесс растворения может продолжаться до тех пор, пока раствор натрия в ртути не станет твердым. После достижения насыщения раствора Na + Hg реакция пойдет по схеме б. 

Отделяется натрий от ртути обычно прокаливанием. Испаряющаяся ртуть конденсируется в холодильнике.

г. промышленное получение металлического натрия.Электролит - эвтектическая смесь NaCl + СаCl₂ при температуре несколько больше 505⁰С. Анод - уголь, катод - сталь. На аноде выделяется газообразный хлор, на катоде - жидкий натрий.

Диссоциация: 2NaCl ® 2Na⁺ + 2Cl ^-.

На катоде: 2Cl ^- - 2е ® Cl₂­.                   На аноде: 2Na⁺ + 2е ® 2Na¯.

В атомной энергетике натрий-калиевый сплав используют в качестве жидкометаллических теплоносителей в первичных контурах ядерных реакторов.

д. Электролитическая очистка цветных металлов (рафинирование) основана на том, что для выделения на катоде металлов из раствора требуется некоторое минимальное напряжение. Его называют напряжением разложения электролита. У разных металлов оно разное. При электролитическом рафинировании напряжение на электродах подбирается таким, чтобы на катоде осаждался основной металл, а примеси переходили в раствор или оседали на дне ванны.

Например, нормальный электродный потенциал меди относительно водородного электрода сравнения +0,346 В. У Au и Ag эта величина больше, а у Ni, Zn - меньше. Если в электролит CuSO₄ (15%) + H₂SO₄ (10%) + H₂O в качестве анода погрузить медный слиток, полученный после огневой очистки, и пропускать при таком напряжении ток, то анод будет растворяться. Ионы меди будут осаждаться на катоде, благородные металлы не растворяясь, оседают на дно ванны, а ионы Ni⁺⁺, Zn⁺⁺ остаются в растворе.

Осаждая таким способом на готовые металлические изделия слои Au, Ag, Cu, Ni, Cr, Zn, можно создавать на поверхности этих изделий декоративные и защитные покрытия (гальваностегия).

д. Электродный потенциал. Между любым металлом, погруженным в любой электролит, и этим электролитом всегда возникает некоторая разность потенциалов. Потенциал металла относительно электролита называется электродным. У разных металлов электродные потенциалы разные.

Возникновение электродного потенциала можно объяснить так. Допустим, в водный раствор соли ZnSO₄ погружен цинковый электрод. Молекулы ZnSO₄ в растворе продиссоциировали на ионы Zn⁺⁺ и SO₄^{- -}. В результате диффузии некоторые анионы SO₄^{- -} оказываются у поверхности электрода. Обладая сильным электроотрицательным полем, они “выдавливают” валентные электроны ближайшего атома цинка вглубь кристаллической решетки и соединяются с образовавшимся ионом Zn⁺⁺ в молекулу ZnSO₄.

Силы, удерживающие молекулу ZnSO₄ на поверхности цинка, много меньше сил, удерживающей нейтральный атом цинка в кристаллической решетке.

Под действием теплового движения частиц раствора молекула ZnSO₄ переходит в раствор и там диссоциирует. В результате на электроде появились два “лишних” электрона, а в растворе - “лишний” положительно заряженный ион Zn⁺⁺. Электрод заряжается отрицательно, раствор - положительно.

Переход ионов металла из электрода в раствор - процесс обратимый. То есть могут происходить и происходят обратные акты - переходы ионов металла из раствора на электрод. С ростом потенциала электрода относительно раствора процесс отрывания ионов Zn⁺⁺ от металла будет замедляться, а процесс возвращения ионов цинка Zn⁺⁺ из раствора к металлу будет нарастать. При некотором значении потенциала эти потоки сравняются, наступит равновесие.

Вблизи поверхности отрицательно заряженного металла концентрация его положительных ионов максимальна. Говорят, возникает двойной электрический слой (рис.58).

Электродный потенциал металла зависит от концентрации раствора, но не зависит от типа анионов. Например, электродный потенциал цинка в растворах равных концентраций разных солей ZnSO₄, ZnCl₂, Zn(NO₃)₂ и т.д. один и тот же.

Договорились в качестве характеристики вещества электрода указывать нормальный электродный потенциал, соответствующий концентрации раствора соли 1 эквивалент на литр (нормальный раствор).

В таблице 10.1 приведены значения нормальных электродных потенциалов j для систем металл/раствор соли того же металла при 25°С.

Таблица 10.1
Электролит	j, В	Электролит	j, В	Электролит	j, В
Литий   LiçLi+ Калий KçK+ Натрий NaçNa+ Магний MgçMg++ Алюминий AlçAl+++ Цинк ZnçZn++	-3,045 -2,925 -2,714 -2,37 -1,66 -0,763	Железо FeçFe++ Кадмий CdçCd++ Кобальт CoçCo++ Никель NiçNi++ Олово SnçSn++ Свинец PbçPb++	-0,440 -0,403 -0,277 -0,250 -0,136 -0,126	Водород H2çH+ Медь CuçCu++ Медь CuçCu+ Ртуть HgçHg+ Серебро AgçAg+ Золото AuçAu+++	0,0000 +0,337 +0,521 +0,798 +0,799 +1,50

Как видно из таблицы, наряду с преобладанием процесса растворения металла, когда его ионы переходят в электролит (Li, K…Pb), может преобладать и обратный процесс, когда ионы из раствора осаждаются на металл (Cu, Hg…Au). В этом случае металл заряжается положительно, электролит - отрицательно (рис.59).

7. Химические источники тока. Подбирая пары металлов с достаточно большой разностью электродных потенциалов, получают химические источники тока или гальванические элементы (по имени итальянца Луиджи Гальвани, открывшего в 1786 году появление электричес-кого тока в тканях лягушки при контакте разнородных металлов). ЭДС химических источников тока получается как разность электродных потенциалов веществ, образующих элемент.

Рассмотрим наиболее известные гальванические элементы:

а. Элемент А.Вольты, 1794г. Первый химический источник тока, нашедший широкое практическое применение. Состав: медь Cu, цинк  Zn, водный раствор серной кислоты H₂SO₄ (рис.60). Это необратимый элемент. Энергия в нем вырабатывается за счет реакции раство-рения цинка в кислоте. ЭДС элемента Вольты E =j(Cu) - j(Zn) = 0,337-(-0,763) = 1,1 В.

б. Элемент Д.Даниэля, 1836г. Состав: медь Cu, цинк  Zn, раствор сульфата меди CuSO₄, раствор сульфата цинка ZnSO₄. Растворы CuSO₄ и ZnSO₄ разделены перегородкой из необожженной глины (рис.61). Перегородка не мешает прохождению ионов, но предохраняет растворы от быстрого перемешивания. Это обратимый элемент.

С цинкового электрода ионы цинка Zn⁺⁺ переходят в раствор, а ионы меди Cu⁺⁺ переходят из раствора на медный электрод. Поэтому в окрестности медного электрода образуется избыток ионов SO₄^{- -}, а в районе цинкового их недостаток. Ионы SO₄^{- -} мигрируют от Cu к Zn через пористую перегородку.

Элемент Даниэля - первый источник довольно устойчивого постоянного тока его ЭДС 1,1 В.

в. Элемент Лекланше, 1865г. В цинковый стакан, являющийся отрицательным электродом заливается 15% - й раствор хлористого аммония NH₄Cl(рис.62). положительный электрод угольный стержень, окруженный деполяризатором MnO₂. Современные технические модификации элемента Лекланше широко применяются как бытовые химические источники тока. ЭДС элемента 1,5 В.

г. Ртутно-кадмиевый нормальный элемент (элемент фирмы Вестон), 1892г. Нормальный - от слова норма - эталон для проверки. Его ЭДС устойчива к изменению температуры. Состав: кадмий Cd, ртуть Hg, анальтама кадмия (раствор Cd + Hg), растворы CdSO₄ и HgSO₄ в воде (рис.63). Широко применяется в точных измерениях для калибровки потенциометров. Его ЭДС 1,0186 В.

1-амальгама кадмия (10%Сd+90%Hg) (отрицательный электрод), 2-кристаллы 3CdSO₄×8H₂O, 3- электролит (насыщенный водный раствор CdSO₄), 4- деполяризатор (паста из Hg₂SO₄, 5- жидкая ртуть (положительный электрод).

8. Поляризация гальванических элементов это изменение электродных потенциалов при наличии тока в цепи.

Если замкнуть на некоторое сопротивление R элемент Вольты, то с течением времени ток в цепи будет уменьшаться. Причина этого в том, что ионы водорода диффундируют в электролите от цинка к меди и выделяются на медном электроде. В результате на меди появляется пленка водорода, увеличивающая электрическое сопротивление элемента. Кроме того, медный электрод как бы заменяется водородным электродом с меньшим потенциалом. Вместо +0,337(Cu) становится 0,00(Н₂)(cм. Табл.10.1).

Устранение поляризации (деполяризация) достигается с помощью пористых перегородок (элемент Даниэля) или с помощью химических деполяризаторов - веществ, являющихся сильными окислителями. Деполяризаторы переводят выделяющийся водород в воду. Например, оксид марганца (IV) в элементе Лекланше, Н₂ + MnO₂ ® Н₂O + MnO_.

9. Аккумуляторы - химические источники электрического тока многоразового использования. В основе их действия лежит явление поляризации. Работа аккумуляторов включает в себя режим зарядки и режим разрядки. Рассмотрим их принцип действия на примере свинцового (кислотного) аккумулятора.

а. Зарядка. Допустим, в ванну с водой Н₂O опустили два электрода - решетчатых контейнера из свинца, заполненных сульфатом свинца PbSO₄. Часть соли растворится в воде с образованием ионов Pb⁺⁺ и SO₄^{- -}. Потенциалы электродов одинаковы. ЭДС элемента равна нулю.

Подключим к электродам внешний источник постоянного тока и проведем электролиз.

На аноде, то есть электроде, присоединенном к “плюсу” источника тока, потенциал положителен. Это значит, что источник тока “вытягивает” из анода электроны. Так как анионы SO₄^{- -} очень прочные, они не отдают в цепь свои электроны. Электроны теряют ионы свинца, переходя из двух- в четырехвалентное состояние. Pb⁺² - 2е ® Pb⁺⁴. Поскольку сульфата 4-х валентного свинца не существует, то переход PbSO₄ ® Pb(SO₄)₂ не реализуется. Вместо этого анод взаимодействует с молекулами воды.

PbSO₄ + 2Н₂O - 2е = PbO₂ + Н₂SO₄ + 2Н⁺.

На одну молекулу соли требуется две молекулы воды. В результате реакции образуется молекула диоксида свинца PbO₂, молекула серной кислоты, которая переходит в раствор и там диссоциирует, и два иона водорода. Анодное пространство в электролите приобретает положительный заряд.

На катоде, то есть электроде, присоединенном к “минусу” источника тока, потенциал отрицателен. Это значит, что источник тока посылает в катод электроны. В результате ионы свинца восстанавливаются в атомы металлического свинца, высвобождая в раствор отрицательные анионы SO₄^{- -}: PbSO₄ + 2е = Pb + SO₄^{- -}.

Околокатодное пространство приобретает отрицательный заряд. На два атома свинца, изменивших свое состояние (один на аноде, другой на катоде) образуется две молекулы серной кислоты. В целом электролит остается нейтральным.

б. Разрядка. Если отсоединить источник тока и замкнуть электроды аккумулятора проводником, то в цепи пойдет ток противоположного направления, а реакции пойдут в обратную сторону. Дело в том, что в результате электролиза аккумулятор поляризовался. Разность потенциалов системы PbO₂ - Н₂SO₄ - Pb в конце зарядки достигает 2,7 В.

На практике при изготовлении аккумуляторов рассмотренная схема не применяется. Для получения анода в контейнеры заформовывают свинцовый сурик Pb₃O₄ (ярко красное вещество, используемое также для изготовления красок), а для получения катода свинцовый тлёт PbO - красновато-желтый порошок. После заливки 25-30% -го раствора серной кислоты Н₂SO₄ аккумулятор тренируют - подвергают несколько раз зарядке и разрядке.

Наряду с кислотными в настоящее время широко применяются щелочные железо никелевые аккумуляторы [Ni(OH)₃ (анод) - 20% КОН - Fe(катод)].

Ток в газах.

1. Несамостоятельный газовый разряд.Если в газе нет ионизатора, то молекулы газа нейтральны. В этом случае газ - хороший изолятор, он не проводит постоянный электрический ток.

Атмосферный воздух, строго говоря, под действием космического излучения и излучения земной коры всегда ионизирован. Но равновесная концентрация ионов в чистом атмосферном воздухе у Земли не превышает 1000 пар на 1 кубический сантиметр. Поэтому их ток практически незаметен. Если в цепь постоянного тока включить воздушный конденсатор (рис.64), то даже при площади пластин S = 1 м² и при напряженности Е = 100 В/м ток не превышает 10^-11 А. Обычный токовый гальванометр показывает нуль.

Если в воздушный промежуток внести ионизатор - пламя, рентгеновскую или ультрафиолетовую лампу, радиоактивный препарат, то некоторые молекулы газа будут терять, как правило, один электрон, который быстро присоединится к нейтральным молекулам. В результате возникают практически одинаковые по массе и подвижности ионы с противоположными зарядами е ₊ и е_ . Концентрация ионов возрастает, возрастает и ток.

Электрическую проводимость атмосферного воздуха открыл Ш.Кулон в 1785г по уменьшению заряда на заряженных телах. Тела постепенно разряжались. Поэтому наряду с выражением «ток в газах» широко используется исторический синоним «газовый разряд».

Вольтамперная характеристика несамостоятельного (то есть существующего только при наличии внешнего ионизатора) газового разряда показана на рис.65.

На отрезке 0-1 ток подчиняется закону Ома

                                               (11.1)

Здесь n - число пар ионов в единице объема газа, е - положительный заряд, b₊ - подвижность положительных ионов, b_ - подвижность отрицательных ионов, отрицательное число.

Увеличение на участке 0-1 тока i с ростом напряженности Е обусловлено увеличением числа ионов, разряжающихся на электродах, по сравнению с числом ионов, рекомбинирующих в объеме.

Отрезок 2-3 соответствует току насыщения. Здесь все образующиеся ионы уходят к электродам и разряжаются там.

Если убрать источник ионизации, число ионов резко сокращается, ток падает практически до нуля, а заряженные тела долго сохраняют свой заряд.

Как показывает опыт, подвижности отрицательных ионов большинства газов больше, чем подвижность положительных ионов (таблица 11.1 p = 1 атм., t 18°С)

Таблица 11.1
Газ
Водород Н2 Кислород О2 Азот N2 Аргон Аr Оксид углерода СО2 Хлор Cl2 Водяной пар Н2О при 100°C	5,91 1,29 1,27 1,37 1,10 0,65 0,62	8,26 1,89 1,84 1,70 1,14 0,51 0,51

Это обясняется, что вырванный из атома при его ионизации электрон какое-то время до «прилипания» к нейтральной молекуле остается свободным. Его высокая подвижность и

Это объясняется тем, что вырванный из атома электрон какое-то время до «прилипания» к нейтральной молекуле остается свободным. Его высокая подвижность увеличивает среднюю подвижность отрицательных ионов.

Если ионизация молекул газа поддерживается за счет энергии самого разряда, то электрический ток в газе существует и в отсутствии внешнего ионизатора. Это ток называемый самостоятельный разряд. Различают 4 вида самостоятельных разрядов: тлеющий, искровой, дуговой, коронный.

2.Тлеющий разряд  это самостоятельный бесшумный разряд в разряженных газах, сопровождающийся слабым видимым свечением.

Пусть внутри стеклянной трубки с воздухом, из которой его можно откачивать, имеются два электрода (рис.66 вверху). Допустим, расстояние между электродами l = 0,5 м, к ним приложено постоянное напряжение U = 2000 В. При атмосферном давлении ток ничтожно мал, напряженность поля внутри трубки везде одинакова и равна E =Uçl.

Если l - длина свободного пробега молекул и ионов, то энергия W, приобретаемая ионом в электрическом поле Е на отрезке l, равна еЕl, где е  заряд иона.

При нормальном атмосферном давлении (р = 760 ммHg) l»10^-7м, и Дж.

Энергию ионов удобнее измерять не в джоулях, а в электронвольтах. Один электронвольт (эВ) - это энергия, которую приобретает однозарядный ион (или электрон), пройдя отрезок с разностью потенциалов 1В, 1эВ= Кл В= Дж

Энергия иона в нашем примере, выраженная в электронвольтах, составляет эВ.

Если из трубки откачивать газ, то длина свободного пробега ионов будет увеличиваться, будет расти и энергия ионов. При давлении 55 мм Hg вдоль трубки возникает светящийся «шнур». При давлении около 1 мм Hg свечение газа заполняет всю трубку.

Таблица 11.2
Газ	Энергия ионизации, эВ
Кислород О2 Азот N2 Аргон Аr Неон Ne Водород Н2 Вода Н2О	12,1 15,6 15,8 21,6 15,4 12,6

Длина свободного пробега l, а значит и энергия ионов при р =1 мм Hg примерно на 3 порядка больше, чем при атмосферном давлении и приближается к 0,5 эВ. Как видно из таблицы 11.2, в которой приведены значения энергии ионизации молекул разных газов, этой энергии ионов недостаточно для ионизации молекул газа и для поддержания самостоятельного разряда.

Опыт и теория показывают, что основную роль в запуске процесса генерации зарядов в газовом разряде играют свободные электроны. Можно выделить три механизма рождения зарядов в тлеющем разряде

а. Ионизация молекул газа свободными электронами. Из-за внешних ионизирующих факторов (космическое и радиоактивное излучение и др.) в газе постоянно выбивается из молекул какое-то количество свободных электронов. Если нет электрического поля, то свободные электроны почти мгновенно прилипают к молекулам. Но когда электрическое поле есть, электроны ускоряются в нем, и условия прилипания ухудшаются. Чем больше напряженность поля Е, тем больше время свободного состояния электронов. По сравнению с молекулами длина свободного пробега электронов много больше. Поэтому они очень быстро приобретают энергию, достаточную для ионизации молекул газа.

В результате каждого акта столкновения электрона с молекулой рождается пара: положительный ион + свободный электрон. Образовавшейся электрон включается в процесс ионизации. В результате развивается электронная лавина.

б. Эмиссия электронов из катодов под ударами положительных ионов.Существующее между электронами электрическое поле облегчает выход электронов из катода. Поэтому при р »1 ммHg положительные ионы, ударившиеся о катод, в состоянии выбивать из него электроны. В результате с поверхности в целом холодного катода зарождается поток электронов, устремляющихся к аноду и интенсивно ионизирующий газ.

в. Эмиссия электронов с катодов под действием света.При интенсивной ионизации газа нарастает обратный процесс - рекомбинация. В результате слияния ионов разных знаков возникают нейтральные атомы и молекулы. Избыточная энергия выделяется при этом в виде фотонов, газ светится. Падая на поверхность катода, фотоны вырывают электроны (фотоэлектроны), добавляющиеся к потоку электронов от ударной эмиссии.

Структура тлеющего разряда сложная. Двигаясь от катода к аноду, можно выделить такие области: (рис.66 вверху) 1- темное астоново пространство (Ф.Астон, 1909). Его толщина десятые доли миллиметра. Здесь электроны разгоняются до энергии ионизации; 2 - светильный катодный слой. Здесь атомы возбуждаются электронами, но еще не ионизируемы; 3 - темное катодное пространство. Здесь начинается ионизация атомов и молекул и нарастание электронных лавин. Именно отсюда приходят положительные ионы к катоду, выбивающие из него электроны; 4-отрицательное тлеющее свечение. Здесь электроны рекомбинируют с положительными ионами. Постепенно яркость его снижается, и оно переходит в темное фарадеево пространство 5, куда не долетают быстрые электроны электронных лавин. Далее вплоть до анода простирается светящийся положительный столб разряда 6. Здесь газ высоко ионизирован и обладает высокой проводимостью.

Как видно из рис.66 внизу, наиболее быстрый рост потенциала происходит в областях 1, 2, 3.

В настоящее время тлеющий разряд широко используется в качестве источника света газосветных трубках реклам, а также в лампах дневного света.

3. Искровой разряд  это кратковременный (продолжительность » 10^-7с) самостоятельный газовый разряд, который происходит при атмосферном или большем давлении и сопровождается яркой вспышкой и громким треском.

Поскольку разряд происходит при высоком давлении, для его развития нужно электрическое поле высокой напряженности. Напряженность Е_крит, при которой в газе возникает искровой разряд, называется напряженностью пробоя. Для воздуха при нормальных условиях Е_крит Вçм.

С увеличением давления Е_крит растет приблизительно пропорционально давлению. Поэтому при использовании газовых изоляторов в специальных устройствах газ закачивают в них под высоким давлением.

При достаточной напряженности пробоя Е_крит энергия ионов становится достаточной для ударной ионизации молекул. Количество ионов стремительно увеличивается, а динамическое равновесие между ионизацией и рекомбинацией, существующее в тлеющем разряде, нарушается.

Лавинообразное нарастание тока в узких областях плазменных шнуров разогревает плазму (смесь ионов и электронов) до температуры » 10⁴ К. В эти моменты газ в искровом разряде ярко светится. Давление подскакивает в результате, плазменный шнур резко расширяется, возникает звуковая волна взрывного характера. Слышится характерный треск.

При высокой проводимости плазменного шнура свободный заряд источника тока сбрасывается очень быстро. Напряжение на полюсах источника падает, искра гаснет. На рис.67 показана принципиальная схема всех устройств, в которых реализуется искра. Ее энергия тем больше, чем больше заряд накапливается на конденсаторе С и чем выше напряжение между его обкладками. Увеличение сопротивления R снижает частоту следования искровых разрядов.

Согласно стримерной теории, возникновению ярко светящегося канала искры предшествует появление слабо светящихся скоплений ионизированных частиц, так называемых стримеров. Пронизывая газоразрядный промежуток, стримеры образуют проводящие мостики, по которым в последующие стадии разряда устремляются мощные потоки электронов.

Сами стримеры возникают не только благодаря образованию электронных лавин посредствам ударной ионизации, но еще и благодаря ионизации газа излучением, возникающим в самом разряде (фотоионизация).

Примером искрового разряда являются молнии, возникающие как между облаками, так и между облаками и землей. Ток в молнии достигает 10⁶ А, напряжение 10⁸-10⁹ В. Поскольку продолжительность молнии мала (10^-5 с), заряд, переносимый молнией невелик q=It = 10⁶A×10^-9 c = 10 Кл. Длина линейной молнии достигает 10 км.

Энергия одного разряда молнии может достигать W = qU = 10 Кл×10⁹ В = 10¹⁰ Дж. Это соответствует энергии выделяющейся при взрыве 2,5 тонн тротила

4. Дуговой разряд - это самостоятельный продолжительный газовый разряд, происходящий при атмосферном и более высоком давлении и сопровождающийся ярким свечением газа.

Если после зажигания искрового разряда постепенно уменьшать сопротивление цепи R (рис.67), включая сопротивление источника тока и величину разрядного промежутка, то при достаточно большой мощности источника тока сила тока в искре будет увеличиваться. При достаточно малом сопротивлении цепи возникает новая форма газового разряда электрическая дуга.

Впервые дуговой разряд получил в 1802 г. Василий Петров, используя в качестве источника батарею из 2100 медно-цинковых элементов. В 1810 г. Гемфри Дэви переоткрыл его и назвал «вольтовой дугой».

Ток в дуге достигает десятков и сотен ампер, напряжение на разрядном промежутке уменьшается до нескольких десятков вольт.

В настоящее время электрическую дугу, горящую при атмосферном давлении, получают между металлическими и угольными электродами в любом сочетании (рис.68) Для включения дуги электроды вначале соприкасаются, а затем разводятся на расстояние 2-5 мм. Вольтамперная характеристика дуги отрицательна, то есть напряжение на разрядном промежутке падает с увеличением тока. Поэтому для устойчивого горения дуги последовательно с разрядным промежутком включается балластное сопротивление (источник постоянного тока) или дроссель (источник переменного тока).

Температура на оси дуги при атмосферном давлении составляет примерно 4000°С повышением давления температура повышается и при давлении 20 атмосфер достигает 7000°С.

Хорошая электропроводность дуги поддерживается за счет высокой температуры отрицательного электрода благодаря интенсивной термоэлектронной эмиссии. Если отрицательный электрод имеет низкую температуру, то устойчивой дуги не получается.

Дуговой разряд широко применяется для сварки и резки металлов, для плавки металлов в дуговых электропечах, в источниках света.

5. Коронный разряд  это самостоятельный разряд, происходящий при нормальных давлениях газа в сильно не однородных полях. Практически бесшумен, сопровождается едва заметным свечением.

Для создания неоднородности поля один электрод должен иметь большую поверхность, а другой - очень малую (рис.69). Силовые линии сгущаются по мере приближения к малому электроду, а напряженность увеличивается вплоть до напряженности пробоя. В результате возникает ударная ионизация, сопровождающаяся свечением.

Поскольку по мере удаления от острия напряженность электрического поля быстро падает, то при не очень больших напряжениях искры не возникает.

Свечение у острия имеет вид оболочки (или короны). Корона возникает как при отрицательном, так и при положительном острие.

В природе коронный разряд происходит в сухую погоду на остриях громоотводов, верхушках мачт и деревьев перед грозой, а также во время гроз и метелей, когда напряженность электрического атмосферного поля в месте положения острия достигает 500 В/м.

Коронное свечение очень слабое. Поэтому наблюдаться в природе может лишь в темные ночи в местах с низким световым фоном.

В технике коронный разряд используется в электрофильтрах промышленной очистки газов от пыли и дыма. Для этого вдоль дымовой трубы натягивается тонкая проволока, на которую подаётся высокое напряжение. Ионы осаждаются на частицах пыли, а последние под действием электрического поля быстро осаждаются на внутренней поверхности трубы.

Коронный разряд, возникающий в элементах установок высокого напряжения, приводит к появлению токов утечки и к потерям электрической энергии. Особенно это важно на протяженных линиях электропередач. Для предотвращения коронирования провода делаются достаточно толстыми, а все высоковольтные электроды - заземленными. При необходимости для устранения микровыступов поверхности полируются.

6. Катодные лучи. В 1859 г. немец Юлиус Плюккер обнаружил, что если в трубке с тлеющим разрядом снижать давление газа до 0,01-0,001 мм Нg, то свечение газа практически прекращается, хотя ток идет, а стекло трубки со стороны анода продолжает светиться зеленоватым светом. Это говорит о том, что из катода исходят невидимые лучи.

В 1872 г. немец Эуген Гольдштейн назвал эти лучи катодными. Он открыл, что они испускаются перпендикулярно поверхности катода. Искривляя катод, их можно фокусировать.

Англичанин Уильям Крукс доказал, что катодные лучи переносят импульс (вращают крыльчатку изобретенного им радиометра, 1837 г. ) и энергию (разогревают тело, на которые они сфокусированы, 1879 г.). К 1903 г. он установил, что катодные лучи вызывают свечение не только стекла трубки, но и практически всех веществ. Крукс высказал гипотезу, что катодные лучи не являются излучением, подобным видимому свету. Они представляют собой поток отрицательно заряженных частиц.

Джозеф Томсон, отклоняя катодные лучи в магнитном поле, не только подтвердил гипотезу Крукса, но в 1897 г. измерил удельный заряд этих частиц. Он оказался равным е/m = -10¹¹Клçкг. Именно за этими частицами закрепилось название «электрон». На основе опытов Томсона и др. формируется современное представление об электроне как об атоме электричества, как о первой элементарной частице.

Изучение катодных лучей сыграло важную роль в истории физики. В 1895 г. Вильгельм Рентген открыл новый вид электромагнитного излучения (рентгеновские лучи), наблюдающегося при бомбардировке катодными лучами (быстрыми электронами) металлов.

Детальное исследование свойств катодных лучей и особенностей их взаимодействия с веществом, выполненное в конце XIX в., показало, что катодные лучи это поток свободных быстрых электронов. Скорость электронов в катодных лучах зависит от напряжения на электродах и может достигать мçс. Изучение катодных лучей сыграло важную роль в развитии электронной физики.

7. Анодные лучи. Проделав отверстие в катоде, Гольдштейн обнаружил напротив него зеленоватое свечение стекла. На основании этого он заключил, что от анода к катоду распространяется поток положительно заряженных частиц. Этот поток он назвал канальными лучами (канал в катоде). Позднее их стали называть анодными лучами.

Скорость частиц в анодных лучах оказалась на три порядка меньше скорости электронов, v » 10⁵ м/c. На столько же меньше оказался и их удельный заряд, е/m »10⁸ Кл/кг. Сравнение с удельным зарядом ионов, найденных в опытах по электричеству, привело к выводу, что анодные лучи - это поток положительнозаряженных ионов атомов и молекул

Джозеф Томсон, отклоняя узкий пучок анодных лучей в электрическом и магнитном полях одновременно в двух взаимно перпендикулярных направлениях (метод парабол), установил, что заряженными частицами могут быть не только молекулы газа, но и их фрагменты. Например, при разряде в метане СН₄ фотопластинка показала присутствие структур С, Н, СН, СН₂, СН₃.

На основе метода Томсона Френсис Астон сконструировал в 1919 г. массовый спектрограф прибор, способный разделить ионизированные частицы по величинам их масс с точностью 0,1%. Этим методом Астон открыл, что хлор имеет два изотопа с массовыми числами 35 и 37, неон два изотопа 20 и 22, ртуть имеет 6 изотопов и др. масс-спектрометр Астона оказался чрезвычайно полезным прибором в атомной физике.

     

ГЛАВА 3. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

---

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 1692; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!