Оператор Лапласа. Гармоническое поле
Векторное поле, у которого и дивергенция, и ротор всюду равны нулю, называется гармоническим; его потенциал представляет собой гармоническую функцию.
Поток векторного поля.
В математике поток векторного поля используется для двух различных понятий:
Поток векторного поля через поверхность
Фазовый поток — поток векторного поля 
— однопараметрическое семейство диффеоморфизмов 
, определяемых дифференциальным уравнением 
.
Поток векторного поля через поверхность
Поток векторного поля через поверхность — поверхностный интеграл второго рода по поверхности 
. По определению 
где 
— векторное поле (вектор-функция векторного аргумента — точки пространства), 
— единичный векторположительной нормали к поверхности (положительное направление выбирается для ориентируемой поверхности условно, но одинаково для всех точек — то есть для дифференцируемой поверхности — так, чтобы было непрерывно; для неориентируемой поверхности это не важно, так как поток через неё всегда ноль), 
— элемент поверхности.
· В трёхмерном случае 
, а поверхностью является обычная двумерная поверхность.
Иногда, особенно в физике, применяется обозначение 
тогда поток записывается в виде 
Циркуляция и ротор векторного поля.
Пусть в некоторой области пространства задано силовое векторное поле F . Выберем в этом поле площадку и точку M на ее поверхности. Пусть эта площадка ограничена контуром L. Построим в точке M нормаль N к площадке по правилу "правого винта". Так как силовое поле задано во всем пространстве, то оно также задано и в каждой точке на контуре L. Вычислим работу, которая совершается при обходе контура L. Работа на участке dl контура dA=(F,dL) , где вектор dL по величине равен dl и направлен по касательной в контуру L. Полная работа при обходе контура L 
|
|
|
В рассмотренном примере работа есть циркуляция силового поля.
Аналогичная величина, определенная для произвольного векторного поля A(r) называется циркуляцией векторного поля A по контуру L : 
Рассмотрим свойства циркуляции. Разделим замкрутый контур ABCD на две части отрезком AC . Тогда, цикруляция Г по всему контуру ABCD будет равна сумме циркуляций по контурам ABCA и ACDA , так как по отрезку проход осуществляется дважды в противоположных направлениях. Пусть контур ABCD охватывает площадь S, а контуры ACDA и ABCA соответственно S₁ и S₂. Тогда, можно записать:
Отсюда следует, что Г можно представить в виде интеграла по поверхности, опирающейся на контур L: 
и, используя теорему о среднем, далее можно записать как: 
Будем изменять ориентацию вектора n, сохраняя его начало в точке M. Так как контур будет изменять свою ориентацию в поле, то величина циркуляции также будет изменяться и ее можно рассматривать как функцию n: Г=Г(n) . При этом L Г(-n)=-Г(n), так как направление обхода в этом случае будут противоположным. Так как поле A считается непрерывным, то Г(n) будет непрерывной функцией n. Из анализа известно, что если непрерывная функция на ограниченном участке меняет свой знак, то она проходит через 0. Поэтому существует такой вектор n₀ , что Г(n₀)=0. Частный случай такой ситуации возникает на примере с силовым полем, когда векторы поля будут перпендикулярны к площадке, охватываемой контуром L. Функцию Г(n), удовлетворяющую перечисленным свойствам, можно построить, если выбрать f(M) в виде f(M)=(R,n), при этом вектор R должен быть связан с самим полем A в точке M. Таким образом, можно записать 
|
|
|
Из этого в применении к силовому полю F следует, что если в окрестности точки M вектор R отличен от нуля, то поле будет совершать работу при перемещении материальной точки по замкнутому контуру и наоборот.
Будем стягивать контур L к точке M. Тогда, в предельном случае формулы вектор R называется ротором векторного поля A: 
Формула инвариантным образом определяет новую характеристику векторного поля - ротор, который векторным полем. (??что это??)
|
|
|
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 1032; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!