Построить интервальную оценку для дисперсии нормального распределения

Постановка задачи.

 

Имеется выборка из нормального распределения. Требуется построить 95%-доверительный интервал (верхнюю границу, нижнюю границу) для неизвестной дисперсии  этого распределения.

 

Теоретические основы.

См. стр. 51-54 и стр. 55-56 пособия [4].

 

Вычисления.

В пакете Excel реализована функция надежности рас­пре­деления хи-квадрат ХИ2РАСП(x ; m)=1– K_m(x) и обратная к ней функция ХИ2ОБР(p ; m). Квантиль хи-квадрат распределения  можно вычислить как

 = ХИ2ОБР(1–p ; m).

 

Пример.

Воспользуемся данными из предыдущего задания. Схема построения доверительных границ для дисперсии состоит из следующих шагов.

1. По выборочным данным находится дисперсия .

2. По таблицам или воспользовавшись функцией ХИ2ОБР, находятся квантили хи-квадрат распределения  и  для  и .

3. Строятся доверительные границы  и .

 

 

Характеристика			Формула	Функция Excel
Дисперсия	0,237			ДИСПР(…)
Число данных	22		n	СЧЕТ(…)
Уровень	0,05
Надежность Q	95%
Квантили			или
=10,283	=11,591			ХИ2ОБР (p ; n-1)
=35,479	=32,671			ХИ2ОБР (1-p ; n-1)
Верхняя граница	0,450
Нижняя граница	0,160
Доверительный интервал	(0,147; 0,507)

 

 

a  Порядок построения вполне очевиден из приведенной пояснительной таблицы.

Замечание 1.  Не надо строить все границы – ограничьтесь только той, которая требуется в задании.

Замечание 2.  Мы воспользовались теми же данными, по которым было построено доверительное утверждение для среднего значения. Однако так поступать нельзя, поскольку мы тем самым утверждаем, что с надежностью  выполняется составное утверждение

,

но это не верно.

Контрольные вопросы.

1. Сформулируйте статистическую задачу.

2. Приведите формулы доверительных границ (доверительного интервала) для дисперсии нормального распределения.

Ответ: см. [4] стр. 56.

3. Найдите по таблице 5%-ю и 90%-ю верхние квантили хи-квадрат распределения для объема выборки .

Ответ: см. ниже стр.  75.

4. Проверьте гипотезу  о значении истинной дисперсии на уровне 5% при альтернативе , воспользовавшись результатами примера.

Ответ: см. [4] стр. 52.

Задание 13.

Построить интервальную оценку для вероятности успеха

Постановка задачи.

 

В эксперименте подсчитывалось число ус­­пешных реа­ли­за­ций некоторого события (например, число доб­ро­ка­че­с­т­венных изделий). Требуется построить доверительную границу для вероятности  этого со­­бытия.

 

Теоретические основы.

См. стр. 51-54 и стр. 56-58 пособия [4].

 

Вычисления.

В пакете Excel имеется возможность вычисления функции 

,

которая при четвертом параметре  вычисляет сумму всех биномиальных вероятностей до t включительно. Для построения доверительных пределов можно вос­по­ль­зо­ва­ть­ся ме­тодом поиска решений (подраздел «Подбор параметра» раздела «Сервис» главного меню Excel), решая уравнения

 –

для нижней границы и

 –

для верхней границы, относительно параметра . Схема применения метода приведена ниже в примере.

Для подсчета числа выборочных данных, удовлетворяющих заданному условию, можно воспользоваться функцией

СЧЁТЕСЛИ(Данные, Условие),

которая выдает количество чисел в массиве Данные, удовлетворяющих заданному Условию.

Пример.

Сначала рассмотрим пример построения приближенных доверительных границ для вероятности выпуска доброкачественной продукции. Данные представляют собой измерения прочности дисков турбин авиадвигателей (те же данные, что были использованы нами при первичной статистической обработке). Норма прочности должна задаваться конструктором. Так как нам эта норма не известна, то мы (в иллюстративных целях) будем задавать её произвольно. Изделие считается кондиционным, если его прочность больше .

 

	A				B		Формула	Функция Excel
1	Норма				119,67
2	Общее число данных n				101			СЧЁТ(…)
3	Число кондиционных t				87			СЧЁТЕСЛИ(…,>B1)
4	Оценка вероятности выпуска хорошего изделия				0,861			B3/B2
5	Стандартная ошибка m				0,0344			КОРЕНЬ(B4*(1-B4)/B2)
6	=				0,05
7	Квантили	= 1,6448		= 1,96				НОРМСТОБР
8	Доверительный интервал		(0,794 ; 0,929)					B4±B5*A8
9	Верхняя граница		0,918					B4+B5*A7
10	Нижняя граница		0,805					B4-B5*A7

 

 

a  Порядок вычислений вполне очевиден из приведенной справа пояснительной таблицы. Многоточия “…” при обращении к функциям следует заменить ссылками на область данных.

 

Теперь перейдем к построению точных границ. Для этого воспользуемся первыми четырьмя строками предыдущих вычислений и поместим вычисления точных границ на том же самом листе в строках 12-14.

 

	A	B	C
1	Норма	119,67
2	Общее число данных  n	101
3	Число кондиционных  t	87
4	Оценка вероятности выпуска хорошего изделия	0,861
12	Доверительный интервал	0,778	0,922		Сначала все эти ячейки заполняются значением   (=0,861)
13	Верхняя граница		0,914
14	Нижняя граница	0,792

 

a  Порядок вычислений точных доверительных границ.

1) Ячейки B12, B14, С12 и С13 заполнить значениями (не ссылками) оценки .

Найти решение уравнения для нижней границы доверительного интервала:

 

2) во вспомогательную ячейку (например, B15) поместить формулу биномиального распределе­ния

Ø =БИНОМРАСП( B3-1 ;  B2 ;  B12 ; 1 )

3) вызвать процедуру поиска решений

– «Сервис» – «Подбор параметра»;

4) ввести параметры процедуры в таблицу запроса:

Здесь в первой строке указывается ячейка, содержащая формулу вычисления функции распределения;

во второй строке – подбираемое значение (в данном случае величина надежности );

в третьей строке – ячейка с искомым значением параметра;

5)

– в результате в ячейке B12 будет выведено искомое значение нижней границы, а в ячейке B15 значение 0,975.

6) Для вычисления верхней границы (в ячейке C12) необходимо заменить формулу пункта 2) на

Ø =1-БИНОМРАСП( B3 ;  B2 ;  C12 ; 1)

 и поместить в ту же вспомогательную ячейку B15, после чего, снова вызвать метод поиска решений, заменив в третьей строке запроса пункта 4) ссылку B12 на C12.

7) Односторонние границы в ячейках C13, B14 строятся по той же самой схеме с заменой значения 0,975 в запросе пункта 4) на 0,95.

Замечание.              Как видно из результатов приведенного примера, при объеме выборки порядка 100 асимптотические методы дают ошибку во втором-третьем знаке после запятой.

 

Контрольные вопросы.

1. Сформулируйте статистическую задачу.

2. Приведите формулы асимптотических границ для вероятности успеха.

Ответ: см. [4] стр. 57.

3. Приведите формулы уточненных асимптотических границ.

Ответ: см. [4] стр. 57.

4. Как можно построить точную границу для вероятности успеха?

Ответ: см. [4] стр. 53.

5. Построив предварительно соответствующую доверительную границу, проверьте гипотезу о том, что вероятность рождения девочки меньше 0,5, если в 50 случаях наблюдалось 28 рождений мальчиков.

Ответ: см. [4] стр. 52, 57.

Задание 14.

---

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 480; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!