Задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения
досрочный 2015
1. Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно 
часов в неделю, то за эту неделю они производят 2t единиц товара, если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно часов в неделю, то за эту неделю они производят 5t единиц товара. За каждый час работы ( на каждом из заводов ) Владимир платит рабочему 500 рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих?
Решение:
Пусть количество единиц товара, произведённого на первом заводе 2х, а на втором заводе 5у. ( 
Тогда за неделю нужно произвести 580 единиц товара или 
За каждый час работы Владимир платит рабочему 500 рублей, тогда составим функцию 
и исследуем её на наименьшее значение.
Выразим из первого уравнения у через х: 
- точка минимума.
Ответ: 5 800 000.
досрочный 2015
2. Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, платит 200 рублей. Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
|
|
|
Решение:
Пусть количество единиц товара, произведённого на первом заводе х и суммарные затраты времени будут 
.Тогда количество единиц товара, произведённого на втором заводе y и суммарные затраты времени будут 
. Антон платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, платит 200 рублей и готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих, тогда получаем уравнение 
.
Составим функцию количества единиц товара за неделю на двух заводах: 
.
Выразим из первого уравнения у через х: 
( 
- точка максимума.
Ответ: 90.
досрочный 2015
3. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара, если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара. За каждый час работы ( на каждом из заводов ) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
|
|
|
Решение:
Пусть количество единиц товара, произведённого на первом заводе 3х и суммарные затраты времени будут . Тогда количество единиц товара, произведённого на втором заводе 4y и суммарные затраты времени будут . Григорий платит рабочему 500 рублей и готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих, тогда получаем уравнение 
. или 
Составим функцию количества единиц товара за неделю на двух заводах: 
.
Выразим из первого уравнения у через х: 
(
- точка максимума.
Ответ: 400.
4. Первичная информация разделяется по серверам № 1 и № 2 и обрабатывается на них. С сервера № 1 при объёме гб. входящей в него информации выходит 20t , с сервера № 2 при объёме гб. входящей в него информации выходит 21tгб обработанной информации; 
Каков наибольший общий объём выходящей информации при общем объёме входящей информации в 3364 гб?
|
|
|
Решение:
Пусть на севере № 1 обрабатывается , а на сервере № 2 обрабатывается 
гб. из всей первичной информации. Тогда общий объём входящей информации 3364 гб., тогда 
. Всего обработано будет 
гб. информации. Исследуем эту функцию на наибольшее значение.
- точка максимума.
Ответ: 1 682.
июнь 2015
5. Зависимость объёма Q ( в шт.) купленного у фирмы товара по цене Р ( в рублях за штуку) выражается формулой 
Доход от продажи товара составляет 
рублей. Затраты на производство Qединиц товара составляют 
рублей. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену на продукцию на 20 %, однако её прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?
Решение:
| Цена товара. | P |
| Объём товара. | Q 
|
| Доход от продажи | 
|
| Затраты на производство. | 
|
| Прибыль. | 
|
Рассмотрим функцию: прибыль в зависимости от цены товара.
- это квадратичная функция, графиком, которой является парабола, принимающая наибольшее значение в вершине. Ось симметрии параболы: прямая, параллельная оси ординат и проходящая через вершину параболы. Вершина параболы соответствует 90% цены, так как прибыль не изменилась, когда цену уменьшили на 20 %, тогда составляем пропорцию: 
|
|
|
Ответ: 12,5 %
В первые классы поступают 43 человека: 23 мальчика и 20 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом - 21. После распределения посчитали процент мальчиков в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?
Решение:
Пусть в меньший класс ( 21 человек) распределено х мальчиков ( 
. Тогда в больший класс попало ( 23 - х ) мальчиков.
Суммарная доля мальчиков в двух классах 
- линейная функция с положительным угловым коэффициентом. Значит, эта функция достигает своего наибольшего значения на правом конце промежутка [ 1; 21 ] , то есть при х = 21. Таким образом, меньший класс полностью должен состоять из мальчиков, а в большем классе должно быть 20 девочек и 2 мальчика.
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 9579; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!