С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

ЗАДАНИЕ № 17. ( С 5 )

Содержание критерия	Баллы.
Обоснованно получен верный ответ.	3
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки ИЛИ получен верный ответ, но решение недостаточно обосновано.	2
Верно построена математическая модель и решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение не завершено.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Задачи на сложные проценты:

I тип задач: на какой минимальный срок взят кредит.

II тип задач: под какой процент был взят кредит.

III тип задач: какую сумму взяли в кредит или сумма выплат по кредиту.

I тип задач: на какой минимальный срок взят кредит.

1. Максим хочет взять кредит 1,5 млн. рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть последней), после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Максим взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были бы не более 350 тыс. рублей?

Решение:

1) - остаток после первого погашения.

2) - остаток после второго погашения.

3) - остаток после третьего погашения.

4) - остаток после четвёртого погашения.

5) - остаток после пятого погашения.

6) - шестое погашение.

Ответ: 6 лет.

2. 1 января 2015 года Андрей Владимирович взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплат кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 3% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 3 %), затем Андрей Владимирович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Андрей Владимирович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 220 тыс. рублей?

Решение:

1) остаток после первого погашения.

2) - остаток после второго погашения.

3) - остаток после третьего погашения.

4) - остаток после четвёртого погашения.

5) - остаток после пятого погашения.

6) шестое погашение кредита.

Ответ: 6 месяцев.

3. Оля хочет взять в кредит 1 200 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами ( кроме, может быть последней ) после начисления процентов. Ставка процентов 10 % годовых. На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 320 000 рублей?

Решение:

Год	Долг банку	Остаток долга после выплат
0	1 200 000	-
1	1 200 000	1 320 000 - 320 000 = 1 000 000
2	1 000 000	1 000 000 - 320 000 = 780 000
3	780 000	858 000 - 320 000 = 538 000
4	538 000	591 800 - 320 000 = 271 800
5	271 800	0

Ответ: 5 лет

июнь 2015

4. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн. рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года. На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платёж по кредиту не превысил 1,8 млн. рублей?

Решение:

Пусть n срок, на который планируем взять кредит, тогда ежегодная сумма погашения составляет

( без начисления процентов). После первого погашения (т. е. в январе следующего года ) остаток по кредиту составит , после второго года и т. д.

После начисления процентов на момент оформления кредита, долг банку составит , тогда по окончании первого года кредитования остаток увеличивается на 20% т. е. .

Ежегодные выплаты банку находятся как разность между долгом банку и остатком по кредиту на данный момент. Составим таблицу по данным задачи:

Срок	Кредит	Долг	Выплаты
1	6
2
3
4
...	...	...	...

По условию задачи, выплаты составляют арифметическую прогрессию, где и т.д. Наибольший годовой платёж по кредиту не превышает 1,8 млн. рублей или

Ответ: 10.

июнь 2015

5. В июле планируется взять кредит на сумму 20 млн. рублей на некоторый срок ( целое число лет). Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 30 % по сравнению с концом предыдущего года;

с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 47 млн. рублей?

Решение:

I способ:

Срок	Кредит	Долг	Выплаты
1	20
2
3
4
....	...	...
Итого:			47

Выплаты составляют арифметическую прогрессию, где

Ответ: 8 лет.

II способ:

Укажем общие формулы для решения задач этого типа. Пусть на n платежных периодов (дней, месяцев, лет) в кредит взята сумма S, причём каждый платежный период долг сначала возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего платежного периода, а затем вносится оплата так, что долг становится на одну и ту же сумму меньше долга на конец предыдущего платежного периода. Тогда величина переплаты П и полная величина выплат В за всё время выплаты кредита даются формулами

Ответ: 8 лет.

6. Гражданин Петров по случаю рождения сына открыл 1 сентября 2008 года в банке счёт, на который он ежегодно кладет 1000 рублей. По условиям вклада банк ежегодно начисляет 20% на сумму, находящуюся на счёте. Через 6 лет у гражданина Петрова родилась дочь, и 1 сентября 2014 года он открыл в другом банке счёт, на который ежегодно кладёт по 2200 рублей, а банк начисляет 44% в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов сравняются, если деньги со счетов не снимают?

Решение:

Через n лет 1 сентября на первом счёте будет сумма