Введение в математический анализ

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 7Следующая ⇒

Производная и ее приложения.

Задача 2.1

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

Варианты к задаче 2.1

61. а) , б) ,

в) , г)

62. а) , б) ,

в) , г)

63. а) , б) ,

в) , г)

64. а) , б) ,

в) , г)

65. а) , б) ,

в) , г)

66. а) , б)

в) , г)

67. а) , б)

в) , г)

68. а) , б)

в) , г)

69. а) , б)

в) , г)

70. а) , б)

в) , г) .

Задача 2.2

Задана функция у=f (х). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать схематический чертеж. Решение проверить в MathCad.

Варианты к задаче 1.7

71. 72.

73. 74.

75. 76.

77. 78.

79. 80.

Задача 2.3

Найти производные данных функций. Решение проверить в MathCad.

81. a) ; б) при ; в) .

82. a) ; б) при ; в) .

83. a) ; б) при ; в) .

84. a) ; б) при ; в) .

85. a) ; б) при ;

в) .

86. a) ; б) при ;

в) .

87. a) ; б) при ;

в) .

88. a) ; б) при ;

в) .

89. a) ; б) при ;

в) .

90. a) ; б) при ;

в) .

Задача 2.4

Найти пределы функции, применяя правило Лопиталя. Решение проверить в MathCad.

Задача 2.5.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке . Решение проверить в MathCad.

101. . 102. .

103. . 104. .

105. . 106. .

107. . 108. .

109. . 110. .

Контрольная работа №3

Неопределенный и определенный интегралы.

Задача 3.1

Найти неопределенные интегралы. В п. а) и б) результаты проверить дифференцированием. Решение проверить в MathCad.

111. а) ; б) ;

в) ; г) .

112. а) ; б) ;

в) ; г) .

113. а) ; б) ;

в) ; г) .

114. а) ; б) ;

в) ; г) .

115. а) ; б) ;

в) ; г) .

116. а) ; б) ;

в) ; г) .

117. а) ; б) ;

в) ; г) .

118. а) ; б) ;

в) ; г) .

119. а) ; б) ;

в) ; г) .

120.а) ; б) ;

в) ; г) .

Задача 3.2

Вычислить определенные интегралы. Решение проверить в MathCad.

121. 122.

123. 124.

125. 126.

127. 128.

129. 130.

Задача 3.3

Решить указанныезадачи с помощью определенного интеграла. Решение проверить в MathCad.

131.Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у=3х²+1 и прямой у=3х+7.

132.Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой цик-лоиды х=а(t–sin t), у=а(1–соs t)(0 ≤ t ≤ 2π) и осью Ох.

133.Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

r= 3(1+соs φ).

134. Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой r=4sin 2φ.

135. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами у=х² и у= .

136. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной полуэллипсом у=3 ,параболой х= и осью Оу.

137. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми y=2/(1+х²) и у=х².

138. Вычислить длину дуги полукубической параболы y= от точки A(2; 0) до точки B(6; 8).

139. Вычислить длину кардиоиды r=3(1–соs φ).

140. Вычислить длину одной арки циклоиды х=3(t–sin t), у=3(1–соs t)(0 ≤ t ≤ 2π).

Задача 3.4

Разложить функцию f(x) в ряд Фурье в указанном интервале. Выписать полученный ряд и три первых члена разложения отдельно. Построить графики функции f(x) и ее приближения. Решение проверить в MathCad.

161. f(x) = x–1 в интервале .

162. f(x) = x в интервале .

163. f(x) = в интервале .

164. f(x) = –1 в интервале .

165. f(x) = в интервале .

166. f(x) = в интервале .

167. f(x) =|x|+2 в интервале .

168. f(x) = x–3 в интервале .

169. f(x) = x –1 в интервале .

170. f(x) = в интервале .

Контрольная работа №4

Функции нескольких переменных. Элементы теории векторных полей

Задача 4.1

Найти производные функции двух переменных. Решение проверить в MathCad.

141. , если , где , .

142. , если , где , .

143. , если .

144. , если , где , .

145. , если , где , .

146. , если .

147. , если , где , .

148. , если , где , .

149. , если .

150. , если , где , .

Задача 4.2.

Вычислить двойной интеграл. Решение проверить в MathCad.

151. ; где область D – прямоугольник .

152. ; где область D ограничена параболой и прямыми , .

153. ; где область D – прямоугольник .

154. ; где область D – прямоугольник .

155. ; где область D – прямоугольник .

156. ; где область D – прямоугольник .

157. ; где область D ограничена параболой и прямыми , .

158. ; где область D ограничена параболой и прямыми , .

159. ; где область D – прямоугольник .

160. ; где область D – прямоугольник .

Задача 4.3

Найти поток векторного поля в направлении нормали через поверхность S треугольника, высекаемого координатными плоскостями из плоскости, проходящей через точку P перпендикулярно вектору . Сделать чертеж. Решение проверить в MathCad.

171.

172.

173.

174.

175.

176.

177.

178.

179.

180.

Задача 4.4

Проверить, является ли векторное поле потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал. Решение проверить в MathCad.

181. .

182. .

183. .

184. .

185. .

186. .

187. .

188. .

189. .

190. .

Контрольная работа №5

Дифференциальные уравнения и системы.Ряды. Операционный метод.

Задача 5.1

Найти решения дифференциальных уравнений первого порядка, удовлетворяющие указанным начальным условиям. Сделать проверку. Решение проверить в MathCad.

191. у(1) = 0.

192. xy^| + xe^y/x – y = 0, y(1) = 1 .

193. 20xdx – 3ydy = 3x²ydy – 5xy²dx, y(1) = 1.

194. xy^| = y ln (y/x), y(1) = e.

195. 3(x²y + y)dy + = 0, y(0) = 0.

196. xy^| + y = x + 1, y(1) = 0.

197. y^|cosx = (y + 1)sinx, y(0) = 0.

198. xy^| – y = y(1) = 0.

199. y^| – y/x = x², y(1) = 0.

200. y^| + ycosx = y(0) = 0.

Задача 5.2

Решить дифференциальные уравнения второго порядка: а) найти общее решение; б) найти решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям. Сделать проверку подстановкой ршения в исходное уравнение. Сделать проверить в MathCad аналитически и численно.

201. а) .

б) . , .

202. а) .

б) . , .

203. а) .

б) . , .

204. а)

б) . , .

205. a)

б) . , .

206. а)

б) . , .

207. а) .

б) . , .

208. а) .

б) . , .

209. а) .

б) . , .

210. а) .

б) . , .

Задача 5.3

211. Найти закон движения материальной точки массы m, если известно, что работа силы, действующей в направлении движения, пропорциональна пути от начала этого движения (коэффициент пропорциональности k).

212. Лодка пущена со скоростью 4 км/ч через реку и прибыла на другой берег со скоростью 2 км/ч через 6 мин. Сила сопротивления воды пропорциональна квадрату скорости. Найти закон движения лодки и ширину реки.

213. У моторного судна при скорости 10 км/ч отключается мотор. Отрицательное ускорение, сообщаемое лодке сопротивлением воды, пропорционально скорости. Найти закон движения лодки.

214. Сила упругости, возникающая при растяжении пружины, пропорциональна увеличению ее длины и равна 1 Н, когда длина пружины увеличивается на 1 см. Найти закон движения груза, если его оттянуть книзу, а затем отпустить.

215. Кривая проходит через точку А(1; –2) и обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке пропорционален квадрату ординаты точки касания с коэффициентом пропорциональности k = 2. Найти уравнение кривой.

216. Поезд, масса которого вместе с тепловозом равна М, движется прямолинейно. Сила тяги тепловоза постоянна и равна F. Сила f сопротивления движению поезда пропорциональна скорости движения. Найти закон движения поезда, если при t = 0, U = 0.

217. Локомотив весом р движется по некоторому участку пути со скоростью 60 км/ч. Через какой промежуток времени и на каком расстоянии от начала торможения он будет остановлен, если сила сопротивления движению при торможении равна 0,2 веса локомотива.

218. Вагоновожатый трамвая, включая реостат, постепенно увеличивает мощность двигателя так, что сила тяги возрастает от нуля пропорционально времени, увеличиваясь на 120 Н в секунду. Найти закон движения трамвая при следующих данных: 1) масса вагона М = 10 т; 2) сопротивление трению постоянно и равно 200 Н; 3) начальная скорость равна нулю.

219. Материальная точка массой m = 2 г погружается в жидкость, сила сопротивления которой пропорциональна скорости погружения с коэффициентом пропорциональности k = 0,002 кг/с. Найти скорость точки через 1 с после начала погружения, если в начальный момент она была равна нулю.

220. Скорость химической реакции, при которой разлагается данное вещество, пропорциональна количеству неразложившегося вещества. Через час после начала реакции осталось 36 г неразложившегося вещества, а через 3 час – 9 г. Сколько вещества было взято первоначально?

Задача5.4

Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений. Сделать проверку найденного решения подстановкой в исходную систему уравнений. Решение проверить в MathCad.

221.		222.
223.		224.
225.		226.
227.		228.
229.		230.

Задача 5.5

Выяснить, какие из данных рядов сходятся и какие расходятся. Решение проверить в MathCad.

231.		232.
233.		234.
235.		236.
237.		238.
239.		240.

Задача 5.6

Определить область сходимости рядов. Решение проверить в MathCad.

241.		242.
243.		244.
245.		246.
247.		248.
249.		250.

Задача 5.7

Найти решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, применяя метод операционного исчисления. Сделать проверку найденного решения. Решение проверить в MathCad.

251. y – y =te , y( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 0 .