Основные понятия. Законы коммутации
Различают стационарный (установившийся) режим,
когда токи и напряжения неизменны или изменяются
по синусоидальному закону.
Неустановленный (переходный) режим –
токи и напряжения изменяются периодически.
Переходные процессы возникают:
1) при коммутации цепи;
2) при изменении структуры цепи;
3) при изменении параметров.
Коммутация происходит мгновенно, а переходной процесс мгновенным быть не может из-за наличия энергии в реактивных элементах.
1-ый закон коммутации : ток индуктивности измениться не может.
2-ой закон коммутации: 
Значения тока в индуктивности или напряжения на емкости называют
независимыми начальными условиями.
Они могут быть нулевыми и ненулевыми.
Существует 2 метода расчета: классический и операторный.
Классический метод анализа переходных процессов.
1) Составляется дифференциальные уравнения для конкретной цепи по закону Кирхгофа.
2) Ищется решение этих уравнений при определенных начальных условиях.
7.2.1. Переходные процессы в R , L – цепях.
① Включение R , L – цепи на постоянное напряжение:
Дано: U , R , L
Определить: 
Решение:
1) Определим начальные условия до коммутации:
2) Схема после коммутации:
(1) – линейное дифференциальное уравнение 1-ого порядка,
неоднородное.
|
|
|
Решение такого уравнения (1) ищется в виде:
- частное решение неоднородного уравнения.
- общее решение однородного уравнения.
1) 
2) 
Решение в виде: 
, где р – корень характеристического уравнения
⇒ 
Величина обратная р обозначается: 
постоянная времени (цепи)
при 
это время, за которое свободная составляющая изменяется в е раз.
Переходный процесс заканчивается за время (3-5 
).
Решение уравнения (1) имеет вид:
А - ?
Определяем А из интегрирования начальных условий.
при 
② Короткое замыкание RL – цепи:
Дано: R , U, L
Определить:
при значении К в положении ②.
Решение:
1) Определяем начальные условия до коммутации:
2) После коммутации:
принужденный
свободный
Определение постоянной интегрирования А из начальных условий:
⇒ 
, где 
|
|
|
Подключение RL – цепи на добавочном сопротивлении.
③ RL – цепь на добавочном сопротивлении.
Решение точно такое же. Отличие в том, что:
Если 
, то 
Мощная электрическая машина выключается через некоторое сопротивление, чтобы исключить пробои изоляции (аварийный режим).
④ RL – цепь на синусоидальном напряжении.
Дано: R , L, 
Определить:
при замыкании К.
Решение:
1) Определение начальных условий до коммутации: 
2) После коммутации:
, где
, где 
, где 
, где
Определим А из начальных условий:
⇒ 
1 случай:
Переходной процесс отсутствует.
или 
2 случай:
Переходный процесс максимальный.
, 
Пусть 
7.2.2. Переходные процессы в RC – цепях.
① Включение RC – цепи на постоянном напряжении.
Дано: R , С, U
Определить: 
после замыкания К
Решение:
1) Определяем начальные условия до коммутации:
2) Схема после коммутации:
|
|
|
(1) 
3) Решение уравнения (1):
где
частное решение неоднородного уравнения
общее решение неоднородного уравнения
?
?
, где 
корень характеристического уравнения
, где 
источник времени.
, где 
Определяем А из начальных условий:
, где
② Короткое замыкание RC – цепи. (самостоятельно)
Замыкание накоротко цепи, состоящей из последовательно соединенных R и С, равносильно принятию ЭДС, равной нулю. Предполагается, что емкость C заряжена, т.е. в момент включения на выводах имеется напряжение U. Взяв ЭДС E равной нулю, получим: 
где 
.
При коротком замыкании цепи R,C электрический ток идет от вывода (+) к выводу (-). На рисунке показаны кривые спада uc и i:
В отличии от напряжения на емкости, которое изменяется непрерывно, ток в контуре R,C, пропорциональный скорости изменения uc, совершает при t=0 скачок.
Энергия, рассеиваемая в сопротивлении R в течение всего переходного процесса, равна энергии, запасенной в электрическом поле до коммутации:
Так же как и в случае цепи R,L, переходный процесс может считаться законченным спустя t=(4-5)τ, так как к этому времени емкость разрядится на 98,2-99,3% и напряжение на емкости снизится
|
|
|
до 1,8-0,7% первоначального.
③ Включение RC – цепи на синусоидальное напряжение:
Дано: R , С,
Определить: 
после замыкания К.
Решение:
1) Начальные условия до коммутации: 
2) Схема после коммутации:
?
где 
цепь с емкостью.
; 
, где
Определяем А из начальных условий:
⇒
⇒ 
7.2.3. Переходные процессы в разветвленных цепях:
Отличие в том, что составляется не одно уравнение, а несколько по методу законов Кирхгофа
Дано: 
Определить: 
Решение:
1) Начальные условия до коммутации:
Метод законов Кирхгофа:
из (3) ⇒ 
(1) → (2): 
(4)
Решение уравнения (4):
? ; 
; 
; 
Определяем А из начальных условий:
(в начальный момент) | 
(установившийся)
|
|
|
|
| 
| 
| 
|
|
|
|
|
|
|
| 
7.2.4. Переходные процессы 2-ого порядка.
7.2.4.1. Включение R,L,С – цепи на постоянное напряжение.
Дано: R,L,С,U
Определить: 
Решение:
1) Определяем начальные условия до коммутации:
2) Схема после коммутации:
(1)
3) Решение уравнения (1) в виде: 
? ; 
; ?
Возможны 3 случая из-за выражения под корнем:
1) 
2) 
3) 
.
① Апериодический режим:
Определим 
и 
из начальных условий
; 
(2) , где 
Нам известно, что:
1) 
2) 
3) 
4) 
Из (2): 
(3),
где 
Из (3): 
(4),
где 
Из (4): 
② Критический режим:
Далее аналогично апериодическому режиму.
③ Колебательный режим:
коэффициент затухания.
частота затухания
частота собственных колебаний
постоянные интегрирования
Определим 
из начальных условий:
Строим график для случая 
_____________________________________________________________________________________________
где 
_____________________________________________________________________________________________
⊜ , где 
из∆ ⇒ 
При 
, где 
декремент амплитуд
логарифмический
7.2.4.2. Разряд емкости на RL-цепи .
Так как до коммутации емкость C была заряжена до напряжения U, то имеем ненулевые начальные условия: 
.
После коммутации (переключение ключа из положения 1 в положение 2 емкость начнет разряжаться и в цепи возникнет свободный переходный процесс).
1) В первом случае, когда R>2 
корни p1 и p2 будут вещественными и различными:
где 
– постоянные интегрирования.
Для их определения запишем уравнение для тока в цепи: 
Постоянные А1 и А2 можно найти из начальных условий для 
и законов коммутации: 
Из решения системы уравнений следует, что: 
В результате получаем уравнения для напряжения uc и тока i:
Закон изменения напряжения на индуктивности определяется при этом уравнением:
Каждая из найденных величин uc, i, uL состоит из двух слагаемых, затухающих по экспоненте с коэффициентами p1<0 и p2<0:
Момент времени t1, соответствующей точке перегиба 
и нулевому значению uL определяется из решения уравнения 
а момент t2 из решения уравнения 
Анализ полученных кривых показывает, что в рассматриваемом случае происходит апериодический разряд C, причем в интервале от 0 до t1 энергия Wc расходуется на покрытие тепловых потерь в резистивном сопротивлении R и создание магнитного поля в индуктивности (pc = uci < 0; pL = ULi > 0).
В дальнейшем (t > t1) как энергия электрического поля емкости Wc, так и запасенная к моменту t = t1 магнитная энергия индуктивности WL расходуется на покрытие тепловых потерь в сопротивлении R.
2) Во втором случае при R < 2 , когда корни p1 и p2 носят комплексно-сопряженный характер, 
называют частотой собственных затухающих колебаний.
где A и 
– постоянные интегрирования.
Закон изменения тока в цепи: 
Постоянные A и определяются из начальных условий для uc и i и законов коммутации:
Отсюда A= 
Окончательно уравнение для uc, i и uL принимают вид: 
Полученные уравнения показывают, что в данном случае имеет место колебательный разряд емкости с частотой wc, зависящей только от параметров R, L, C цепи. Интервал времени Tc = 
носит название квазипериода.
На рисунке изображены графики зависимостей uc(t) и i(t) определяемых найденными уравнениями. Скорость затухания переодического процесса принято характеризовать декрементом-затухания, который определяют как отношение двух соседних амплитуд тока или напряжения одного знака:
(1)
На практике чаще используется логарифмический декремент затухания:
(2)
Из уравнений (1) и (2) следует, что затухание тем больше, чем больше R.
При R=2 колебания прекращаются и переходный процесс становится апериодическим.
При R=0 оказываются незатухающие гармонические колебания с частотой 
Очевидно, что этот случай представляет чисто теоретический интерес, так как в любом реальном контуре имеются потери. В процессе колебательного разряда емкости имеет место попеременное запасание энергии Wc в электрическом поле емкости и магнитном поле индуктивности WL.
В начале энергия Wc расходуется на создание магнитного поля WL индуктивности и покрытие тепловых потерь сопротивления R, затем запасенная энергия WL, расходуется на перезаряд емкости и покрытие потерь до полного перехода первоначальной энергии Wc(0) в тепловые потери в резисторе R.
3) Третий случай R = 2 является пограничным между колебательным и апериодическим и соответствует критическому разряду емкости.
Ток определяется уравнением:
– корни характеристического уравнения;
A1, A2 – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий для uc и i и законов коммутации:
.
Отсюда A2 = 
. Окончательные выражения для напряжения и тока принимают вид:
(3)
По своей форме графики зависимостей (3) аналогичны кривым, изображенным на первом рисунке с той лишь разницей, что их скорость изменения больше, чем при R > 2 .
Значение R = 2 носит название критического сопротивления контура.
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 483; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!