Оценка вероятности (биномиального распределения) по относительной частоте
Пусть производятся независимые испытания с неизвестной вероятностью р появления события А в каждом испытании. Требуется оценить неизвестную вероятность р по относительной частоте, т. е. надо найти ее точечную и интервальную оценки.
Точечная оценка. В качестве точечной оценки неизвестной вероятности р принимают относительную частоту
где m - число появлений события А; п - число испытаний.
Эта оценка несмещенная, т. е. ее математическое ожидание равно оцениваемой вероятности. Действительно, учитывая, что М(m) = пр, получим
М(w) = М[m/n] = М(m)/n = nр/n = р.
Найдем дисперсию оценки, приняв во внимание, что D(m) = npq:
D(w) = D[m/n] = D(m)/n2 = npq/n2 = pq/n.
Отсюда среднее квадратическое отклонение:
Интервальная оценка. Доверительный интервал для оценки вероятности по относительной частоте имеет вид:
, где
,
,
где t – квантиль нормированного нормального распределения, который находится из условия:
.
При больших значениях n (порядка сотен) слагаемые 
и 
очень малы и множитель 
, поэтому можно принять в качестве приближенных границ доверительного интервала
.
Другие характеристики вариационного ряда
Кроме выборочной средней и выборочной дисперсии применяются и другие характеристики вариационного ряда. Укажем главные из них.
Модой Мo называют варианту, которая имеет наибольшую частоту. Например, для ряда
варианта . . . . 1 4 7 9
частота .... 5 1 20 6
мода равна 7.
|
|
|
Медианой mе называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.
Если число вариант нечетно, т. е. n = 2k+ 1, me= xk+1 , при четном n = 2k медиана
.
Например, для ряда 2 3 5 6 7 медиана равна 5; для ряда 2 3 5 6 7 9 медиана равна (5 + 6)/2 = 5,5.
Размахом варьирования R называют разность между наибольшей и наименьшей вариантами:
R = xmax - xmin
Например, для ряда 1 3 4 5 6 10 размах равен 10 - 1 =9.
Размах является простейшей характеристикой рассеяния вариационного ряда.
Средним абсолютным отклонением q называют среднее арифметическое абсолютных отклонений:
.
Коэффициентом вариации V называют выраженное в процентах отношение выборочного среднего квадратического отклонения к выборочной средней:
.
Коэффициент вариации служит для сравнения величин рассеяния по отношению к выборочной средней двух вариационных рядов: тот из рядов имеет большее рассеяние по отношению к выборочной средней, у которого коэффициент вариации больше. Коэффициент вариации - безразмерная величина, поэтому он пригоден для сравнения рассеяний вариационных рядов, варианты которых имеют различную размерность, например если варианты одного ряда выражены в сантиметрах, а другого - в граммах.
|
|
|
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 962; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!