Полагаем, что в произвольном подмножестве натуральных чисел всегда есть наименьшее
Nbsp; Бондаренко А.А. Краткий конспект лекций “Алгебра и теория чисел” (отделение математической электроники, отделение механики) 34 ч./34 ч. Литература. 1. Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и математическая геометрия. Ч.I.,Мн.,1984, 2 изд.,Мн.,2001. 2. Кострикин А.И. Введение в алгебру.М.,1977. 3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 10 изд.,М.,1971. Сборники задач. 1. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре.М.,1977. 2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре.М.,1978. 3. Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии.Мн.,1989. 2 изд.Мн.,1999 (под редакцией А.С.Феденко). Тема 1. Развитие понятия числа. Комплексные числа. Число — основное понятие математики, сложившееся в ходе длительного исторического развития. Возникновение и формирование этого понятия происходило вместе с зарождением и развитием математики. Практическая деятельность человека, с одной стороны, и внутренние потребности математики, с другой, определили развитие понятия числа. Потребность счета предметов привела к возникновению понятия натурального числа. Известно много разных систем счисления (уже в Древнем Египте таких систем было несколько). Шаг за шагом отодвигали границу счета, возникло представление о неограниченной продолжимости натурального ряда. Этим представлением отчетливо владели древние греки. «Простых существует больше всякого предложенного их числа» – гласит одна из теорем Евклида. Тем не менее еще Архимеду пришлось убеждать современников, что можно указать число, большее чем «число песчинок в мире». Для измерения величин требовались дробные числа (были известны уже в Древнем Египте и Вавилоне). Дальнейшее расширение понятия числа происходило главным образом в связи с потребностями самой математики. Отрицательные числа впервые появились в Древнем Китае. Диафант (III век) свободно оперирует с отрицательным числом, они постоянно встречаются во многих задачах его «Арифметики». Однако и в 16 и в 17 вв. многие европейские математики не признавали отрицательных чисел, и если они встречались в их вычислениях, то они называли их ложными, невозможными. Развитие алгебры и техники вычислений, в связи с потребностями астрономии, привело арабских математиков к расширению понятия числа (появлению действительного числа)… И, наконец, И.Ньютон во «Всеобщей арифметике» (1707) дал определение числа: «…Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое есть то, что измеряется единицей, дробное – кратное долей единицы, иррациональное число не соизмеримо с единицей». Мнимые числа впервые появились в труде Дж.Кардано «Великое искусство» (1545) при решении системы уравнений В начале 19 в. математиков перестали удовлетворять доказательства, основанные на наглядности. В результате работ Дж.Пеано (1891), К.Вейерштрасса (1878) и Г.Грассмана (1861) была построена аксиоматическая теория натуральных чисел. У.Гамильтон (1837) построил теорию комплексных чисел, исходя из пар действительных чисел; К.Вейерштрасс — теорию целых чисел как пар натуральных; Ж.Таннери (1894) — теорию рациональных чисел как пар целых чисел; теория действительных чисел обоснована в работах Г.Кантора и Ш.Мере, несколько другая конструкция у Р.Дедекинда. На протяжении всего 19 в. и до начала 20 в. в математике происходили глубокие изменения, постепенно складывается аксиоматический метод построения математики на теоретико-множественной основе. Так под системой натуральных чисел обычно понимают алгебраическую систему с двумя алгебраическими операциями (+) и (•) и выделенным элементом (1), удовлетворяющим следующим аксиомам: 1) " aÎN, a+1¹a; 2) ассоциативность сложения; 3) коммутативность сложения; 4) " a, b, cÎN из равенства a+c=b+cÞa=b – сократимость сложения; 5) 1 – нейтральный элемент при умножении, т.е. "aÎN a×1=a; 6) ассоциативность умножения; 7) дистрибутивность умножения относительно сложения; 8) аксиома индукции: если MÌN содержит 1 и вместе с элементом a элемент a+1, то M=N. Систему целых чисел Z определяют как минимальное кольцо, содержащее N; Q — как минимальное поле, содержащее Z; C — минимальное поле, содержащее R с элементом i, что i2+1=0, R — особое построение. Обзор по истории развития понятия числа можно найти в “Математической энциклопедии”, том 5, М.1985 г. Обозначения: N – натуральные числа, Z – целые числа, Q – рациональные числа, R – вещественные числа, C – комплексные числа.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Делимость целых чисел.
Полагаем, что в произвольном подмножестве натуральных чисел всегда есть наименьшее.
Определение. Пусть a, bÎZ. Если существует qÎZ, что a = bq, то b делит a, или a делится на b, обозначаем b|a.
Простейшие свойства делимости:
1) Если a|b, b|c Þ a|c. Если a делит b и b делит c, то a делит c.
2) Если a,b,с 
и с не равно 0, то a делит b тогда и только тогда, когда ac делит bc, т. е. a|b; c¹0 Û ac|bc, a, b, cÎZ.
3) d|ai; i=1,…,n,
x1,…,xnÎZ Þ d|a1 x1 +…+an xn.
4) a|b; b|a Þ a =±b.
Доказательство всех свойств однообразно: используется только определение делимости. Докажем 4) :
a = bq и b = aq1 Þ a = aqq1 Þ a(qq1 – 1) = 0 Þ qq1 = 1, т. к. a¹0 Þ q = ±1.
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 238; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!