Лекция 17. Применение математического анализа в экономике
Краткая программа семинарских ЗАНЯТИй
Занятие 1. Элементы теории множеств.
Функции.Графики элементарных функций.
Занятие 2. Функции.Нахождение области определения и множества значений функции, сложной и обратной функции.
Занятие 3. Числовые последовательности. Нахождение выражения общего члена последовательности. Ограниченность, монотонность последовательностей.
Предел числовой последовательности.Нахождениепределов последовательностей, имеющих различные виды неопределенностей. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Занятие 4. Предел функции.Нахождение пределов функций, имеющих различные виды неопределенностей.
Замечательные пределы.Нахождение пределов функций с помощью замечательных пределов.
Занятие 5. Эквивалентные функции.Вычисление пределов с помощью замены на эквивалентную.
Непрерывность функций.Доказательство непрерывности функций. Нахождение точек разрыва и их классификация.
Занятие 6. Производная.Вычисление производных функций.
Дифференциал функции одной переменной. Производные высших порядков.
Занятия 7, 8. Правило Лопиталя.Раскрытие неопределённостей по правилу Лопиталя.
Контрольная работа № 1.
Занятие 9. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.
Монотонность функций. Точки перегиба.
Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значение функции.
Занятие 10. Формула Тэйлора. Разложение отдельных функций в ряд Тэйлора. Приближенное вычисление функций с помощью формулы Тэйлора.
|
|
|
Занятие 11. Неопределенный интеграл.Простейшие методы интегрирования.
Замена переменной в неопределенном интеграле.
Интегрирования по частям(неопределённых интегралов).
Занятие 12. Определённый интеграл.
Занятие 13. Несобственные интегралы.
Занятие 14. Функции многих переменных.Частные производные.
Безусловный экстремум функциимногих переменных.
Занятия 15. Числовые ряды.Сходящиеся и расходящиеся ряды. Признаки уравнения.
Занятие 16. Признаки Даламбера и Коши.
Знакочередующиеся ряды.Признак Лейбница.
Занятие 17. Абсолютная и условная сходимость рядов.
Степенные ряды.Интервал сходимости.
Контрольная работа № 2.
ПРИЛОЖЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
В ДИСЦИПЛИНАХ ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ:
· функции спроса и предложения, бюджетное множество, функция издержек и кривая средних издержек, функция дохода, функции среднего дохода (теория функций);
· зависимость налоговой ставки от дохода, кривая Торнквиста (пределы последовательностей и функций);
· предельные издержки, предельная производительность ресурса, предельная норма замены, непрерывное начисление доходов (дифференциальное исчисление);
|
|
|
· логистическая кривая, максимизация прибыли в модели однопродуктовой формы, коэффициент эластичности, граница множества производственных возможностей (численные методы, приложения производной);
· изокосты, изокванты производственной функции Кобба–Дугласа, кривые безразличия, коэффициенты эластичности многофакторной функции, предельная производительность труда, модели и методы долгосрочного прогнозирования (функции многих переменных);
· максимизация прибыли многопродуктовой фирмы, максимизация функции полезности на бюджетном множестве, максимизация прибыли многопродуктовой фирмы на множестве производственных возможностей (экстремумы функций многих переменных);
· формула вычисления среднегодового значения основных фондов, средняя производительность труда и фондоотдача, вычисление объемов производства, дисконтированный доход (интегральное вычисление);
· изменение отдачи технологии во времени, кумулятивная (совокупная) отдача, средняя производительность отрасли (несобственные интегралы);
· статистика с кластерным анализом, необходимым в специальных разделах маркетинга:
|
|
|
o в логистике,
o в экологическом менеджменте,
o в приближенных методах расчета во всех дисциплинах.
литературА (основная)
1.Бардушкина И.В., Кожухов И.Б., Ревякин А.М., Терещенко А.М. Математический анализ. Сборник заданий для самостоятельной работы студентов. Учебно-методическое пособие, – МГАДА, 2009. – 59 с.
2.Блинкова Н.А., Ревякин А.М., Терещенко А.М. Дифференциальные уравнения. Серия «Высшая математика для экономистов» Учебное пособие, – МГАДА, 2009. – 86 с.
3.Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям.- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. – 476 с.
4.Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. Математика в экономике: Учебник. В 2-х частях. Ч.2. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 376 с.
5.Малыхин В.И. Математика в экономике: Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2002. – 352 с.
литературА (дополнительная)
1.Аллавердиев А.М., Блинкова Н.А., Пиндрикова Л.В., Платонова И.В. Математический анализ: Учебно-методическое пособие. М., 2004.
2.Ильин В.А., Садовничий В.А, Сендов Б.Х. Математический анализ. М.: Изд-во МГУ, 1985.
3.Фихтенгольц Г.М. Курс математического анализа. М.: Физматгиз, 1962.
4.Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1976.
|
|
|
5.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М.: Высшая школа, 1981.
6.Никольский С.М. Курс математического анализа. М.: Наука, 1990.
ИНТЕРНЕТ РЕСУРСЫ
Сайт www.rutracker.org/forum/view forum.php содержит PDF-файлы многих учебников и задачников.
ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
Базовый уровень.
1. Точка А(-3,3) принадлежит графику функции 
. Как меняются координаты точки А при поэтапном преобразовании графика функции 
? Указать этапы построения.
2. Вычислить 
.
3. Вычислить 
.
4. Вычислить 
.
5. Вычислить 
.
Повышенный уровень.
6. Вычислить 
.
7. При каком а функция f(x) будет непрерывна? Дать геометрическую иллюстрацию.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
Базовый уровень.
Найти производные от функций:
а) 
; б) 
; в) 
.
Найти уравнения касательной и нормали к кривой 
в точке 
.
Вычислить приближенно с помощью первого дифференциала 
.
Найти экстремумы и промежутки монотонности функции 
.
Повышенный уровень.
Вычислить предел с помощью правила Лопиталя 
.
КОМПЬЮТЕРНЫЙ ТЕСТ
| Дидактическая единица | Формулировка вопроса | Варианты ответа | Правиль-ный ответ(ы) |
| Множества | Установить соответствие между выражениями и диаграммами Венна.
1. 
2. 
3. 
| а)
б)
в)
| 1 – а) 2 – б) 3 – в) |
| Множества | Заданы два множества:  и  . Отметить верные утверждения
| 1) 
2) 
3) 
4) 
| 1) 2) 3) |
| Графики элементарных функций. Преобразование графиков | Установить соответствие между функциями и их графиками.
1. 
2. 
3. 
| а)
б)
в)
г)
| 1 – а) 2 – б) 3 – в) |
| Графики элементарных функций. Преобразование графиков | Какое преобразование нужно сделать, чтобы от графика  перейти к графику  ?
| 1)Сдвиг на 1 единицу влево 2) Сдвиг на 1 единицу вправо 3) Сдвиг на 1 единицу вверх 4) Сдвиг на 1 единицу вниз | 1) |
| Предел последова-тельности | 2-й член последовательности  равен
| ||
| Предел последова-тельности | Отметьте возрастающие последовательности | 1) 
2) 
3) 
4) 
| 1) 2) |
| Предел последова-тельности | Установить соответствие между выражениями и значениями пределов:
1.  ; 2. 
3.  ; 4. 
| а)  ; б)  ; в) 0; г) 3; д)  ;
е)  ; ж) 2
| 1 – а) 2 – б) 3 – в) 4 – г) |
| Предел последова-тельности | Предел последовательности
 равен
| 1 | |
| Предел последова- тельности | Предел последовательности 
равен
| 1)  ; 2)  ; 3)  ;
4) 0; 5) 
| 1) |
| Предел последова-тельности | Отметьте бесконечно малые последовательности | 1) 
2) 
3) 
4) 
| 1) 2) |
| Предел последова-тельности | Предел последовательности  равен
| 1) 
2) 
3) 1
4) 
| 1) |
| Простые и cложные проценты | Банк выдаёт кредит предприятию в 100 тыс. руб. на 1 месяц по ставке 24% годовых. Проценты начисляются по истечении месяца. Вычислить сумму возврата кредита с учётом процентов. | 1) 102 тыс. 2) 100 тыс. 3) 124 тыс. 4) 300 тыс. | 1) |
| Простые и сложные проценты | Вкладчик заключает договор с банком на срок 6 месяцев, процентная ставка – 20% годовых с ежемесячным начислением процентов. Сумма вклада 50 тыс. руб. Через 6 месяцев сумма вклада составит | 1)  руб.
2)  руб.
3)  руб.
4)  руб.
| 1) |
| Предел функции | Предел функции 
равен
| 1) 
2) 0
3) 10
4) 1
| 1) |
| Предел функции | Предел функции 
равен
| 2 |
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3
Базовый уровень.
1. Вычислить неопределённые интегралы:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
.
2. Вычислить определённые интегралы: 1) 
; 2) 
.
3. Найти площадь фигуры, заключенной между кривыми 
, 
.
Повышенный уровень.
4. Вычислить несобственный интеграл или установить расходимость 
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
Базовый уровень.
1. Найти область определения функции 
. Изобразить на плоскости.
2. Найти 
функции 
, где 
, 
.
3. Найти экстремумы функции 
.
Повышенный уровень.
4. Вычислить приближенно 
.
Найти производную функции 
в начале координат в направлении вектора 
.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5
Базовый уровень.
1. Исследовать на сходимость ряд 
.
2. Исследовать на сходимость ряд 
.
3. Вычислить двойной интеграл 
, где D – область, ограниченная кривыми 
, 
, 
.
Повышенный уровень.
4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд 
.
5. Исследовать на абсолютную, условную и равномерную сходимость степенной ряд 
.
КОМПЬЮТЕРНЫЙ ТЕСТ
| Дидакти-ческая единица | Формулировка вопроса | Варианты ответа | Прави льный ответ |
| Определён-ный интеграл | Отметьте верные равенства | 1) 
2) 
3) 
4) 
| 1) 2) |
| Определён-ный интеграл | Интеграл  равен
| 2 | |
| Определён-ный интеграл | Интеграл  равен
| 1)  ; 2)  ; 3) 
4)  ; 5)  ; 6) верного ответа нет
| 1) |
| Определён-ный интеграл | Площадь фигуры, изображённой на
рисунке, вычисляется:
| 1) 
2) 
3) 
4) 
| 1) |
| Определён-ный интеграл | Отметьте верную формулу для
вычисления площади фигуры
| 1) 
2) 
3) 
4) 
| 1) |
| Определён-ный интеграл | Отметьте сходящиеся интегралы | 1)  ; 2)  ; 3) 
4) 
| 1) 2) |
| Определён-ный интеграл | Определить значение несобственного
интеграла 
| 1)  ; 2) 0; 3) 1; 4) 
5) интеграл расходящийся
| 1) |
| Функции многих перемен-ных | Отметьте функции, определённые на всей плоскости Oxy | 1) 
2)  ; 3) 
4)  ; 5) 
| 1) 2) |
| Функции многих перемен-ных | Значение функции  в
точке  равно
| 1 | |
| Функции многих перемен-ных | Если  ,
то значение  равно
| 2 | |
| Функции многих перемен-ных | Отметьте частные производные
1-го порядка для функции 
| 1)   ; 2) 
3)  ; 4) 
5)  ; 6) 
7)  ; 8) 
| 1) 2) |
| Функции многих перемен-ных | Отметьте правильные выражения для указанных частных производных функции 
1)  ; 2)  ; 3)  ; 4)  ; 5) 
| а)  ; б)  ; в) 0;
г)  ; д)  ; е) 
| |
| Функции многих перемен-ных | Значение смешанной производной
 функции 
равно
| 0 | |
| Функции многих перемен-ных | Частная производная от функции  равна
| 1)  ; 2) 0; 3)  ;
4)  ; 5) 
| 1) |
| Функции многих перемен-ных | Отметьте выражение для
дифференциала 1-го порядка функции 
| 1) 
2) 
3) 
4) 
| 1) |
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Решение задач. Задания предоставляются индивидуально и берутся из учебника: Бардушкина И.В., Кожухов И.Б., Ревякин А.М., Терещенко А.М. Математический анализ. Сборник заданий для самостоятельной работы студентов. Учебно-методическое пособие, – МГАДА, 2009. – 59 с.
ТЕМЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Семестр
Базовый уровень.
1. Преобразования графиков элементарных функций.
2. Вычисление пределов рациональных дробей.
3. Вычисление пределов с помощью второго замечательного предела.
4. Исследование и построение графиков функций.
5. Вычисление неопределенных интегралов по заданному методу.
6. Вычисление площадей плоских фигур.
7. Вычисление дифференциала первого и второго порядков.
8. Исследование на экстремум функции многих переменных.
9. Исследование сходимости числовых рядов с помощью необходимого, предельных признаков, признаков Даламбера, Коши.
10. Вычисление двойных интегралов.
11. Решение дифференциальных уравнений первого порядка.
Повышенный уровень.
1. Вычисление пределов тригонометрических функций.
2. Классификация точек разрыва.
3. Правило Лопиталя.
4. Разложение функций по формуле Тейлора.
5. Нахождение области определения функции двух переменных.
6. Исследование на условный экстремум функции двух переменных.
7. Абсолютная сходимость степенных рядов.
8. Вычисление двойных интегралов с заменой переменных.
ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 352; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!