Основные понятия и определения 4 страница



Это означает, что истинное значение Q измеряемой величины с доверительной вероятностью находится между границами доверительного интервала .

Половина длины доверительного интервала называется доверительной границей случайного отклонения результатов наблюдений, соответствующей доверительной вероятности Р. Для определения доверительной границы (при выполнении перечисленных условий) задаются доверительной вероятностью, например Р=0.95 или Р=0.995 и по формулам

                                      

определяют соответствующее значение интегральной функции нормированного нормального распределения. Затем по данным находят значение коэффициента и вычисляют доверительное отклонение . Проведение многократных наблюдений позволяет значительно сократить доверительный интервал. Действительно, если результаты наблюдений (i=l, 2,..., n) распределены нормально, то нормально распределены и величины , а значит, и среднее арифметическое , являющееся их суммой. Поэтому имеет место равенство.

где определяется по заданной доверительной вероятности Р.

Полученный доверительный интервал, построенный с помощью среднего арифметического результатов n независимых повторных наблюдений, в раз короче интервала, вычисленного по результату одного наблюдения, хотя доверительная вероятность для них одинакова. Это говорит о том, что сходимость измерений растет пропорционально корню квадратному из числа наблюдений.

Половина длины нового доверительного интервала

(5.3)

называется доверительной границей погрешности результата измерений, а итог измерений записывается в виде

Теперь рассмотрим случай, когда распределение результатов наблюдений нормально, но их дисперсия неизвестна. В этих условиях пользуются отношением

                             (5.4)

называемым дробью Стьюдента. Входящие в нее величины и вычисляют на основании опытных данных; они представляют собой точечные оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения результатов наблюдений.

Плотность распределения этой дроби, впервые предсказанного Госсетом, писавшим под псевдонимом Стьюдент, выражается следующим уравнением:

                                (5.5)

где S(t, k)- плотность распределения Стьюдента. Величина k называется числом степеней свободы и равна n - 1. Вероятность того, что дробь Стьюдента в результате выполненных наблюдений примет некоторое значение в интервале , согласно выражению (5.5), вычисляется по формуле

                                

или, поскольку S(t, k)является четной функцией аргумента t,

                           

Подставив вместо дроби Стьюдента tее выражение через и , получим окончательно

       (5.6)

Величины , вычисленные по формулам (5.5) и (5.6), были табулированы Фишером для различных значений доверительной вероятности Рв пределах 0.10 - 0.99 при В табл.5.1 приведены значения для наиболее часто употребляемых доверительных вероятностей Р.

Таким образом, с помощью распределения Стьюдента по формуле (5.6) может быть найдена вероятность того, что отклонение среднего арифметического от истинного значения измеряемой величины не превышает , например и т.д. Итог измерений записывается в виде

ПРИМЕР

При измерении ЭДС нормального элемента полечены следующие результаты:

N опыта 1 2 3 4 5 6
ЭДС 1,018456 1,018452 1,018453 1,018457 1,018455 1,018457
N опыта 7 8 9 10 11 12
ЭДС 1,018521 1,018456 1,018455 1,018454 1,018458 1,018457

Приняв доверительную вероятность р=0.99, определить результат, оценить случайную и относительную погрешности.

Для решения данной задачи предлагается следующая методика:

1. определяется неисправленный результат измерения

2. определяется относительная погрешность неисправленного результата измерений

3. вычисляем СКО погрешности неисправленного результата

3. исключаем явные промахи (аномальные результаты). Они не должны удовлетворять условию:

После исключения промахов (допустим, что их количество получилось r ) определяем те же величины для исправленного результата измерений.

Математическое ожидание:

Относительная погрешность:

СКО результата:

Вычисляем результат измерений, как:

,

где tp - коэффициент Стьюдента.

Некоторые значения коэффициентов Стьюдента приведены в таблице:

Таблица 5.1

Число измерений

Доверительная вероятность

0.9 0.95 0.99
2 6,31 12,72 63,7
3 2,92 4,3 9,92
4 2,35 3,18 5,84
5 2,13 2,78 4,6
6 2,02 2,57 4,03
7 1,94 2,48 3,71
8 1,9 2,37 3,5
9 1,86 2,31 3,36
10 1,83 2,26 3,25
15 1,75 2,15 2,92
20 1,72 2,08 2,84
30 1,7 2,05 2,73
Более 30 1,65 1,96 2,58

По приведенной методике определяем математическое ожидание неисправленного результата:

m’=12.221531/12=1.0184609.

Определяем относительную погрешность неисправленного результата i’:

1’

-4.8*10-6

5’

-5,79*10-6

9’

-5,79*10-6

2’

-8.74*10-6

6’

-3,83*10-6

10’

-6,77*10-6

3’

-7,76*10-6

7’

5,9*10-5

11’

-2,85*10-6

4’

-3,83*10-6

8’

-4,8*10-6

12’

-3,83*10-6

Определяем СКО неисправленного результата:

( ')=1,865*10-5.

Определяем границы, в которых находится результат измерения (выявляем явные промахи):

m’-m’*3 ( ')=1.0184039

m’+m’*3 ( ')=1.0185179.

По результатам измерений делаем вывод, что измерение № 7 является явным промахом и должно быть исключено из вычислений.

Определяем математическое ожидание исправленного результата:

m=1.0184553.

Определяем относительную погрешность исправленного результата di:

1

6.873*10-7

5

-2.95*10-7

9

-2.95*10-7

2

-3.24*10-6

6

1.67*10-6

10

-1.87*10-7

3

-2.26*10-6

7

-“-

11

2.65*10-6

4

1.67*10-6

8

6.873*10-7

12

1.67*10-6

Определяем СКО исправленного результата:

( ')=1,837*10-6.

Определяем результат измерения:

Х=1.837±5.7*10-8, при доверительной вероятности р=0.99.

Моменты случайных погрешностей

Функция распределения является самым универсальным способом описания поведения случайных погрешностей. Однако для определения функций распределения необходимо проведение весьма кропотливых научных исследований и обширных вычислительных работ. Поэтому к такому способу описания случайных погрешностей прибегают иногда при исследовании принципиально новых мер и измерительных приборов.

Значительно чаще бывает достаточно охарактеризовать случайные погрешности с помощью ограниченного числа специальных величин, называемых моментами.

Начальным моментом n-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида

(6.1)

представляющий собой математическое ожидание степени .

При n=1

т.е. первый начальный момент совпадает с математическим ожиданием результатов измерений.

Центральным моментом n-го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида

(6.2)

Вычислим первый центральный момент:

(6.3)

Таким образом, первый центральный момент результатов наблюдений равен нулю. Важно отметить, что начальные и центральные моменты случайных погрешностей совпадают между собой и с центральными моментами результатов наблюдений, поскольку математическое ожидание случайных погрешностей равно нулю.

Особое значение наряду с математическим ожиданием результатов наблюдений имеет второй центральный момент, называемый дисперсией результатов наблюдений.

(6.4)

При n=2

Дисперсия D[X] случайной погрешности равна дисперсии результатов наблюдений и является характеристикой их рассеивания относительно математического ожидания.

Если математическое ожидание результатов наблюдений можно рассматривать в механической интерпретации как абсциссу центра тяжести фигуры, заключенной между кривой распределения и осью Ох, то дисперсия является аналогом момента инерции этой фигуры относительно вертикальной оси, проходящей через центр тяжести.

Дисперсия имеет размерность квадрата измеряемой величины, поэтому она не совсем удобна в качестве характеристики рассеивания. Значительно чаще в качестве последней используется положительное значение корня квадратного из дисперсии, называемое средним квадратическимотклонением результатов наблюдений:

(6.5)

С помощью среднеквадратического отклонения можно оценить вероятность того, что при однократном наблюдении случайная погрешность по абсолютной величине не превзойдет некоторой наперед заданной величины , т. е. вероятность . Для этого рассмотрим формулу, известную как неравенство Чебышева:

или

Полагая , можно найти вероятность того, что результат однократного наблюдения отличается от истинного значения на величину, большую утроенного среднеквадратического отклонения, т. е. вероятность того, что случайная погрешность окажется больше :


Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 121;