Модель дуополии Бертрана.

⇐ ПредыдущаяСтр 36 из 39Следующая ⇒

Модель Бертрана в отличие от моделей Курно и Штакельберга предполагает наличие ценового взаимодействия фирм на олигополистическом рынке.

Условия модели Бертрана:

1) на рынке действуют две фирмы;

2) продукт производится однородный;

3) целью каждой фирмы является максимизация прибыли;

4) отсутствуют соглашения фирм друг с другом;

5) фирмы назначают цены одновременно так, что каждая не может прогнозировать реакцию конкурента на сделанный ею самой выбор.

Таким образом объем продаж в модели Бертрана является функцией от цены, поэтому функцию рыночного спроса следует представить в виде:

• Две фирмы выбирают цены p₁ и p₂. Затраты фирм носят пропорциональный характер:

ТC₁ = c* q₁ и ТC₂ = c* q₂.

Стратегическое поведение фирм в данной модели можно назвать войной цен. Ценовая война – это цикл последовательных уменьшений цены соперничающими на олигополистическом рынке фирмами.

Снижая цену ниже цены своего конкурента, каждый продавец стремиться захватить весь рынок. Но конкурент также отвечает понижением цены. Война цен продолжается до тех пор, пока цена не падает до уровня предельных и средних издержек – до конкурентного равновесия: p*= МС= АС = с.

Спрос на продукцию одного дуополиста формируется в зависимости от соотношения цен обоих дуополистов. Обозначив функцию отраслевого спроса Q=D(p), формирование спроса отдельного дуополиста можно представить в трёх вариантах:

1) при p₁>p₂, спрос нулевой, так как все покупатели предпочтут более низкую цену второго дуополиста, - вертикальный отрезок кривой спроса;

2) при p₁=p₂, дуополисты поделят рынок поровну,- объём продаж соответствует точке F на графике;

3) при p₁<p₂, весь спрос будет обеспечивать первый дуополист - спрос соответствует наклонному отрезку PM.

В случае дифференцированных продуктов точка пересечения будет расположена на уровне цен, превышающих предельные издержки (дуополисты имеют положительную прибыль).

В случае однородных продкутов кривая реакции первого дуополиста проходит через точку с координатами (с; с) и, при всех значениях p₂>c, расположена выше биссектрисы, поскольку первый дуополист устанавливает цену чуть ниже цены конкурента. Кривые реакции дуополистов ниже АС=МС=с не определены – убыточность производства.

48. Модель «Проблема общего»

Пусть в игре участвуют K фермеров, а_k - число коз у k -го фермера.

Тогда численность стада фермеров

Затраты на покупку и содержание козы равны величине c. Будем предполагать, что данная величина не зависит от количества коз в наличии у фермера. Стоимость одной козы определим как функцию v(A).

Предполагая, что козе необходим определённый уровень пропитания для выживания, будем считать, что существует некоторое максимальное число коз, которое может прокормиться, А_max. Тогда функция стоимости козы может быть описана следующим образом:

Весной одновременно и независимо фермеры выбирают, сколько заводить коз, т.е. определяют величину a_k

_{Выигрыш} _k _{-го фермера}

Таким образом, если существует равновесная по Нэшу игровая ситуация, то величина a_k должна максимизировать функцию П_k в условиях существования оптимальной ситуации для других игроков

Решив задачи оптимизации

для всех участвующих в игре фермеров, получим систему:

Решив эту систему, получим набор оптимальных по Нэшу стратегий игроков.

49. Позиционная форма игры

Во многих практически важных конфликтных ситуациях, располагая той или иной информацией об их прошлом развитии, стороны-участницы совершают свой выбор не раз и навсегда, а последовательно во времени, шаг за шагом. Тем самым они используют стратегии, отражающие как динамику конфликта, так и степень собственной информированности о фактически складывающейся обстановке в развитии этого конфликта.

Одним из классов игр, описывающих конфликты, динамика которых оказывает влияние на поведение участников, являются так называемые позиционные игры.

Определение 9.1. Позиционная игра – это бескоалиционная игра, моделирующая процессы последовательного принятия решений игроками в условиях меняющейся во времени и, вообще говоря, неполной информации.

Позиционные игры должны включать следующие элементы описания:

1) последовательность личных и случайных ходов игроков;

2) выборы, которые могут делать игроки при каждом личном ходе;

3) исходы случайных ходов и распределение вероятностей этих исходов;

4) информацию, доступную игрокам при выполнении личного или случайного хода;

5) правила окончания игры и подсчеты выигрыша игроков.

Процесс самой игры состоит в последовательном переходе от одного состояния игры к другому, который осуществляется либо путём выбора игроками одного из возможных действий в соответствии с правилами игры, либо случайным образом.

В позиционной игре состояния игры принято называть позициями, а возможные выборы в каждой позиции – альтернативами.

Характерной особенностью позиционной игры является возможность представления множества позиций в виде древовидного упорядоченного множества, которое называется деревом игры (рис. 8.1).

Символы П, A и B в узлах дерева игры указывают, какая из сторон, П, A и B, делает очередной ход. При этом символом П обычно обозначается ход в игре, осуществляемый не рациональным игроком, а природой.

Рис. 9.1. Дерево позиционной игры

Пользуясь графическим описанием игры, можно сказать, что процесс игры состоит в переходе от начальной позиции к окончательной через непосредственно следующие одна за другой промежуточные позиции.

Каждая окончательная вершина определяет единственную цепь (последовательность идущих друг за другом звеньев), связывающую начальную вершину с данной (рис. 9.2).

Рис. 9.2. Цепь в позиционной игре

Такая цепь называется партией. Число различных партий равно числу окончательных вершин.

В каждой окончательной позиции задан числовой выигрыш игроков.

Различают позиционные игры с полной информацией и позиционные игры с неполной информацией. Игры с полной информацией образуют наиболее простой класс позиционных игр.

Не вполне строго, но практически можно считать, что игра является игрой с полной информацией, если:

игроки воздействуют на игровую ситуацию дискретными действиями — ходами, порядок ходов определён правилами и не зависит от таких параметров, как скорость реакции игроков (то есть очередной ход делает тот, кто должен его сделать по правилам, а не тот, кто первым догадался или успел его сделать);
в любой момент игры все игроки имеют полную информацию о состоянии игры, то есть о позиции и всех возможных ходах любого из игроков.

В позиционных играх с полной информацией (шашки, шахматы) каждый игрок при своём ходе знает ту позицию дерева игры, в которой он находится. В позиционных играх с неполной информацией (домино) при своём ходе позиция дерева игры, в которой он фактически находится, точно не известна. Этот игрок знает лишь некоторое множество позиций, включающее в себя его фактическую позицию. Такое множество позиций называется информационным множеством.

Основными свойствами дерева игры являются:

1) дерево содержит одну единственную начальную вершину (“корень” дерева), в который не входит ни одна ветвь;

2) дерево имеет не менее одной вершины, из которой не выходит ни одна ветвь. Эти вершины называются конечными вершинами;

3) из корня дерева имеется единственный путь к каждой из остальных вершин дерева.

50.Понятие о конечных позиционных играх с совершенной информацией.

Позиционная игра – это бескоалиционная игра, моделирующая процессы последовательного принятия решений игроками в условиях меняющейся во времени и, вообще говоря, неполной информации.

Любая игра называется конечной, если она содержит конечное множество игроков , множества чистых стратегий содержат конечное число элементов (стратегий). Дерево такой игры, записанное в позиционной форме, будет иметь конечное множество вершин.

В игре с совершенной информацией все действия игроков идут последовательно, а не одновременно. Каждый игрок всегда знает точно, в каком месте дерева игры он находится, нет одновременных ходов, и все игроки наблюдают ходы Природы (если таковые есть).

Определение 9.2. Игра в позиционной форме называется игрой с совершенной информацией, если каждое информационное множество состоит из единственной вершины (рис. 9.3). В противном случае игра называется игрой с несовершенной информацией.

Определение 9.3. Стратегией в позиционной игре называется полный возможный план действий, который говорит, что игрок будет делать в каждом его информационном множестве.

Рис. 9.3. Информационное множество с одной вершиной

Пример 1. ( антагонистическая игра с совершенной информацией )

1-й ход. Игрок A выбирает число x из множества двух чисел .

2-й ход. Игрок B выбирает число y из множества двух чисел , зная выбор числа x игроком A.

Функция выигрышей игрока A за счёт игрока B задаётся так:

, , , .

На рис. 9.4 показаны дерево игры и информационные множества (оранжевый пунктир).

−1

−2

Рис. 9.4. Дерево игры с совершенной информацией

Дата добавления: 2015-12-21; просмотров: 91; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 30 31 32 33 34 353637 38 39 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!