Расчет напряженности поля, созданного заряженным телом простой формы
Принцип суперпозиции позволяет рассчитать электростатические поля любой системы неподвижных зарядов, поскольку если заряды не точечные, то их всегда можно свести к совокупности точечных зарядов.
Методика расчета напряженности состоит из двух частей:
• Первая (дифференцирование) заключается в разбиении заряженных тел на малые области, каждая из которых может считаться точечным зарядом, и применении к ним формулы напряжённости электростатического поля точечного заряда.
• Вторая (интегрирование) заключается в векторном суммировании напряжённостей электростатических полей.
.
Задача 2.8. Вычислить напряжённость поля, создаваемого тонким стержнем длиной ℓ, несущим равномерно распределённый по длине заряд с линейной плотностью + τ в точке, равноудалённой от концов стержня, находящейся на расстоянии r 0 от его середины.
Решение. Выделим на стержне бесконечно малый участок 
, заряд которого можно считать точечным (рис. 27, а):
(1)
Воспользуемся формулой напряжённости поля точечного заряда в дифференциальном виде:
(2)
Сделаем геометрические преобразования. Из 
(см. рис. 27, а):
(3)
Из 
(рис. 27, б):
(4)
Так как угол 
мал, то 
Из 
(см. рис. 27, а):
. (5)
Подставив в формулу (4) а и r из (5) и (3), получим:
(6)
Подставив r из (3) и из (6) в формулу (2), получим:
. (7)
Так как 
вектор, то 
.
Из рис. 27, а: 
.
Чтобы найти полную напряжённость, нужно проинтегрировать её составляющие:
|
|
|
.
Модуль напряжённости
.
Для половины стержня угол φ изменяется от 0 до α, а для всего стержня – от α до – α
Так как 
, то 
.
Так как 
, то 
.
Из 
на рис. 27, а выразим 
:
.
Окончательно получим:
.
Задача 2.9. На тонком кольце равномерно распределен заряд с линейной плотностью заряда + τ. Определить напряженность электростатического поля в точке, расположенной на оси кольца и удаленной на расстояние а от плоскости кольца.
Решение. Выделим на кольце элемент длины (рис. 28). Заряд dQ = τ , находящийся на выделенном участке, можно считать точечным. Напряженность электростатического поля , создаваемого точечным зарядом dQ:
,
где 
– расстояние от элемента до заданной точки.
Выразим вектор через проекции 
и 
на оси координат:
.
Напряженность 
найдем интегрированием вдоль длины окружности ℓ:
.
Так как кольцо симметрично относительно заданной точки, то все проекции на ось х скомпенсируют друг друга, то есть интеграл
.
Тогда
,
где
.
Из рис. 28:
;
.
С учетом того, что длина окружности ℓ = 2π R, а коэффициент 
, окончательно получим:
.
Дата добавления: 2016-01-05; просмотров: 23; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!