Потенциал электростатического поля. Циркуляция напряженности электрического поля. Работа перемещения заряда в электрическом поле. Энергия системы электрических зарядов.
Потенциал электростатического поля, определяется как отношение потенциальной энергии пробного заряда q к величине этого заряда, φ = W п / q, откуда следует, что потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд. Единицей измерения потенциала служит Вольт (1 В).
Работа перемещения заряда. На положительный точечный заряд q в электрическом поле с напряжённостью E действует сила F = q E. При перемещении заряда на отрезке d l силами поля совершается работа d A = F d l =q E d l cos (E, d l ). При перемещении заряда q силами электрического поля на произвольном конечном отрезке из точки 1 в точку 2 эта работа равна 
Рассмотрим перемещение точечного заряда q в поле точечного заряда Q, напряженность поля которого 
Проекция отрезка d l на направление вектора E (рис. 1.5) есть d r = d l cos (E, d l).
Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2, определяется следующим образом:
Отсюда следует, что работа сил электрического поля не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положениями заряда q. Если оба заряда, q и Q, положительны, то работа сил поля положительна при удалении зарядов и отрицательна при их взаимном сближении.
Для электрического поля, созданного системой зарядов Q 1, Q 2,…, Qn, работа перемещения заряда q равна алгебраической сумме работ составляющих сил:
|
|
|
.
Циркуляция вектора напряженности электрического поля. Работа, совершаемая силами электрического поля при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому контуру длиной l, определяется как циркуляция вектора напряженности электрического поля:
Так как для замкнутого пути положения начальной и конечной точек перемещения заряда совпадают, то работа сил электрического поля на замкнутом пути равна нулю, а значит, равна нулю и циркуляция вектора напряженности, т.е.
.
Равенство нулю означает, что силы электрического поля являются силами консервативными, а само поле - потенциальным.
Потенциальная энергия системы точечных зарядов. В случае электростатического поля потенциальная энергия служит мерой взаимодействия зарядов. Пусть в пространстве существует система точечных зарядов Qi (i = 1, 2,..., n). Энергиявзаимодействия всех n зарядов определится соотношением
,
где rij - расстояние между соответствующими зарядами, а суммирование производится таким образом, чтобы взаимодействие между каждой парой зарядов учитывалось один раз.
Уравнение Пуассона
Используя дифференциальные соотношения, описывающие свойства электростатического поля 
и 
,
|
|
|
сформулируем уравнение, которое находит применение во многих разделах физики. Поскольку градиент функции 
представляет собой векторную функцию, то к нему можно применить операцию дивергенции:
div E = - div grad ,
в декартовых координатах
где 
оператор Лапласа, являющийся суммой вторых производных по координатам. Так что с учетом теоремы Гаусса
.
Это и есть уравнение Пуассона. Уравнение Пуассона является дифференциальным эквивалентом интегрального соотношения, по которому вычисляется потенциал. В тех областях пространства, где заряды отсутствуют (или φ = 0), оно превращается в уравнение
,
называемое уравнением Лапласа. В большинстве случаев классическая теория поля занимается исследованием решений этого уравнения. Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, относятся к классу гармонических функций.
6. Примеры расчёта потенциала электрического поля для распределённых зарядов.
Дата добавления: 2016-01-05; просмотров: 21; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!