С)Ньютон – Лейбниц формуласы(Ньютон - Лейбниц). 11 страница

5) . Бұл қасиет анықталған интегралдың модулын бағалаудеп аталады.

6) Егер теңсіздігі орындалса, онда

7)Егер болса, онда интегралы деп санын айтамыз.

8) Егер а=в болса, онда =0.

6-қасиет сандары қалай орналасса да ақиқат екендігін дәлелдеуге болады (егер интегралдың табылу шарты орындалса), яғни, орындалуы міндетті емес.

С)Ньютон – Лейбниц формуласы(Ньютон - Лейбниц).

функциясы аралығында үзіліссіз болсын және функциясы осы аралықтағы оның алғашқы функциясы, онда

.Көбінде, айырмасы қысқа түрде былай жазылады:

22.Анықталмаған интегралдаудың негізгі әдістері

А)Анықталмаған интегралда айнымалыларды ауыстыру әдісі

Айнымалыны ауыстыру әдісін қолданып интегралдау интегралға жаңа айнымалы енгізуге негізделген. Жаңа айнымалы енгізу негізінде берілген интеграл жаңа интегралға, яғни, кестелік немесе кестелік интегралға куелтірілетін интегралға көшеді.

интегралын есептеу қажет болсын. жаңа айнымалысын енгіземіз, мұндағы - үзіліссіз туындысы бар функция. Онда және анықталмаған интегралды интегралдаудың инварианттылық формуласының қасиеттері негізінде айнымалыны ауыстыру формуласын аламыз:

Бұл формула анықталмаған интегралда айнымалыны ауыстыру формуласы деп аталады. Интегралдың оң жағын есептеп шығарғаннан кейін интегралдың жаңа айнымалысы t –дан қайта x айнымалысына көшеміз.

Б)Бөліктеп интегралдау әдісі

және функциялары үзіліссіз туындылары бар функциялар болсын. Онда . Бұл теңдіктің екі жағын да интегралдасақ немесе

Бұл бөліктеп интегралдау формуласы деп аталады. Бұл формула берілген интегралынан гөрі қарапайым болатын интегралына келтіреді.

Бөліктеп интегралдауды мынадай түрдегі интегралдарға қолданған қолайлы:

1. түріндегі интегралдар, мұндағы - көпмүшелік, - тұрақты сан. деп, ал ретінде қалған интеграл астындағы көбейткіштерді алған ыңғайлы.

2. түріндегі интегралдар. деп, ал ретінде қалған интеграл астындағы көбейткіштерді алған ыңғайлы.

3. түріндегі интегралдар, мұндағы және - тұрақты сандар.

Мысал.

23. Анықталмаған интеграл.

a) Алғашқы функция

Анықтама. Егер функциясы аралығында дифференциалданса және

орындалса, онда функциясы -функциясының аралығындағы алғашқы функциясы деп аталады.

(Бұдан әрі деп аламыз. Басқа жағдайлар болса, атап көрсетеміз).

Егер функциясы -функциясының аралығындағы алғашқы функциясы болса, онда кез келген тұрақтысы үшін функциясы да -үшін -да алғашқы функция болады:

b) Анықталмаған интеграл ұғымы

Анықтама. функциясының аралығында анықталған барлық алғашқы функциялардың жиынтығы функциясының аралығындағы анықталмаған интегралы деп аталады және символымен белгіленеді: интеграл белгісі, ал -интеграл астындағы функция, -интеграл астындағы өрнек деп аталады.

Егер функциясы -функциясының қандай да бір алғашқы функциясы болса, онда

деп жазу қалыптасқан.

Анықталмаған интегралдың негізгі қасиеттерін көрсетейік.

, -тұрақты.

Егер функциясы - функциясының алғашқы функциясы болса, онда функциясы - функциясының алғашқы функциясы болады, яғни:

C) Интегралдар кестесі

Туындыларкестесінжәнеинтегралдардыалуережелеріңпайдаланаотырып , мынандай интегралдаркестесің құрұғаболады :

1).

2).

3).

4).

5).

6).

7).

8).

9).

10).

11).

12).

13).

14).

24.Анықталған интегралдаудың негізгі әдістері.

А)Анықталған интегралда айнымалыларды ауыстыру әдісі. I= интегралын қарастырайық. Айталық, x=g(t) дифференциалданатын функция болсын. Сонда dx=g’(t)dt және .

Бұл әдіс айнымалыны ұтымды алмастыруға негізделген. Айнымалыны алмастыру арқылы интеграл бірден немесе бірнеше амалдардан кейін кестелік интегралға келтіріледі. Мысалдар қарастырайық.

а) +С