С)Ньютон – Лейбниц формуласы(Ньютон - Лейбниц). 3 страница

2. Барлық элементтері ноль болғанда ғана (нолдік матрица) матрица рангісі ноль болады.

3. n–ретті квадрат матрица ерекше емес болғанда матрица рангісі n–ге тең болады.

Мысал.  матрицаның рангісін есептейік.

Шешуі. Матрица өлшемі 3х4 болғандықтан, оның рангісі 3-тен артпайды, r(A) min(3,4). Егер үшінші ретті минорлардың ең болмағанда біреуі нолден өзгеше болса, онда матрица рангісі 3-ке тең болады. Үшінші ретті минорлар матрицаның бір тік жолын сызып тастағанда пайда болады:

 

                        , , , .              

 

Үшінші ретті минорлардың бәрі нолге тең болғандықтан, ранг 3-ке тең бола алмайды. Енді екінші ретті минорлардың ішінен (олардың саны ) ең болмағанда бір нолге тең емес минор тапсақ, матрица рангісі 2-ге тең болады. Екінші ретті минорлар матрицаның бір жатық, екі тік жолын сызып тастағанда пайда болады. Айталық бірінші жатық жол мен бірінші және екінші тік жолдарды сызып тастағанда пайда болатын мына минор: , сондықтан r(A)=2.

Матрица өлшемі артқан сайын оның рангісін барлық нолден өзге минорларды есептеу жолымен анықтау қиындайды. Матрица рангісін элементар түрлендірулер әдісімен табу ондай қиындықтардан құтқарады.

Теорема.Элементар түрлендірулер матрица рангісін өзгертпейді.

Дәлелдеуі. Матрицаға элементар түрлендірулер жүргізгенде оның анықтауышы не өзгермей сақталады, не нолге тең емес санға көбейтіледі. Яғни, оның реті өзгермейді деген сөз. Олай болса, нолден өзгеше минорлардың немесе матрица рангісінің реті де өзгермейді.

 Осы теореманы ескеріп, элементар түрлендірулер жасап, берілген матрицаны барлық диагоналдік элементтері нолден өзгеше болатындай етіп сатылы түрге келтіреміз:

 

,

 

мұндағы r п. Осы шарттың орындалуын матрицаны транстонерлеу арқылы қамтамасыз етуге болады.

Сонда матрицаның r–ретті нолден өзге миноры

 

 

бар болады да, матрица рангісі r-ге тең болады, яғни

 

r(A)=r.

Мысал.  матрицасының рангісін есептейік.            

 

Шешуі. Элементар түрлендірулер көмегімен матрицаны сатылы түрге келтіреміз.

 

 

 

     

 

.

 

Соңғы матрица сатылы түрге келді және онда нолге тең емес үшінші ретті минор бар екенін бірден көруге болады:

 

. Сонымен матрица рангісі 3-ке тең, r ( A )= 3.

5.Сызықтық теңдеулер жүйесі. Крамер ережесі.

Негізгі ұғымдар мен анықтамалар. n белгісізді m теңдеуден тұратын жүйе деп мынадай жүйені айтады:

(1)

мұндағы (i=1,2,…,m, j=1,2,…,n) - теңдеу коэффициенттері деп, ал (i=1,2,…,m) - бос мүшелері деп аталады.

Жүйенің әрбір теңдеуін тепе-теңдікке айналдыратын

 

 

сандар тізбегі теңдеулер жүйесінің шешімі деп аталады. Осы шартты қанағаттандыратын барлық  шешімдер шешімдер жиынын құрады. Жүйенің шешімдер жиынын табу процесін жүйені шешу дейді.

(1) жүйенің ең болмағанда бір шешімі болса жүйе үйлесімді, ал шешімі болмаса үйлесімсіз деп аталады.

Үйлесімді жүйенің бір ғана шешімі болса, жүйе анықталған, ал шешімі бірден көп болса анықталмаған деп аталады.

Енді (1) жүйеге мынадай белгілеулер енгізейік:

 

, ,

А - жүйе коэффициенттерінен құрылған матрица немесе жүйе матрицасы, Х - жүйенің бос мүшелерінен құрылған бағана матрица, В - жүйенің бос мүшелерінен құрылған бағана матрица. Осы белгілеулерді қолданып (1) жүйені былайша жазуға болады:

АХ=В             (3)

 

(3) теңдеу (1) жүйенің матрицалық жазылуы болып табылады.

Егер жүйе матрицасына бос мүшелер матрицасын жалғап жазсақ,

,

жүйенің кеңейтілген матрицасын аламыз.Ең болмағанда бір бос мүше нөлге тең болмаса онда ол біртекті емес жүйе деп аталады.

ЖҮЙЕ ШЕШУДІҢ КРАМЕР ӘДІСІ. Бұл әдіс жүйедегі теңдеулер саны мен белгісіздер саны тең болғанда, яғни m=n, қолдануға болады. Демек, жүйе түрі мынадай болады:

        (4)

  

Жүйедегі теңдеулер саны мен белгісіздер саны тең, онда жүйе матрицасы квадрат матрица болады. Сол квадрат матрицаның анықтауышын   деп белгілейік:  

Д)Крамер ережесі. -жүйе анықтауышы, ал  -  анықтауыштың j-тік жолын бос мүшелермен алмастырғаннан пайда болған анықтауыш болсын. Сонда, егер  болса жүйенің жалғыз шешімі бар болады және мынадай формуламен табылады:

(i=1,2,…,n)           (5)

 

(5) формуланы Крамер формуласы деп атайды.

Осы ережені қолданып мынадай жүйені шешейік

 

Шешуі. Алдымен  анықтауышты есептейміз,

.

 

(j=1,2,3) анықтауыштарды есептейік

,

 

 

Енді Крамер формуласын қолданып белгісіздерді табамыз:

 

, , .

  

Сонымен, берілген жүйенің жалғыз (-1; 2; 3) шешімі табылды, жүйе анықталған екен.

6.Сызықтық теңдеулер жүйесі. Гаусс әдісі.

Кронеккер-Капелли теоремасы. Егер сызықты теңдеулер жүйесінің негізгі матрицасы мен кеңейтілген матрицасының ранглері тең болса, онда жүйе үйлесімді болады.

Теорема бойынша жүйе үйлесімді болуы үшін  болуы керек. Бұл кезде rжүйе рангісі деп аталады.

Үйлесімді жүйенің рангісі жүйедегі белгісіздер санына тең болса (r=n), онда жүйе анықталған болады, ал егер жүйенің рангісі жүйедегі белгісіздер санынан кем болса (r<n), онда жүйе анықталмаған болады.

Мысалы, мынадай жүйе қарастырайық:

 

 

Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып, элементар түрлендірулер жасайық:

 

 

 

Жүйе матрицасы мен кеңейтілген матрицаның екінші ретті нолге тең емес минорлары бар екенін көру қиын емес және . Кронеккер-Капелли теоремасы бойынша жүйе үйлесімді.

Жүйе рангісі r=2, ал белгісіздер саны n=4, r<n болғандықтан жүйе анықталмаған, яғни шексіз көп шешімі бар.

(1) теңдеудің қысқаша жазылуы мынадай:

(i=1,2,…,m)      (1’)

 

(1) жүйенің бос мүшелерінің бәрі нолге тең болса,

(i=1,2,…,m)   (2)

 

жүйе біртекті жүйе деп аталады.                                                                                                       Е) ЖҮЙЕ ШЕШУДІҢ ГАУСС ӘДІСІ. n белгісізді m теңдеуден тұратын жүйе қарастырайық,

.

 

Гаусс әдісі - жүйедегі айнымалыларды түрлендірулер көмегімен біртіндеп жойып, жүйені сатылы түрге келтіріп, айнымалыларды біртіндеп табатын әдіс. Гаусс түрлендірулері мынадай:

1. Кез келген екі теңдеудің орындарын ауыстырып жазу;

2. Кез келген теңдеудің екі жағын нолден өзге санға көбейту;

3. Қандай да бір теңдеуді нолден өзге санға көбейтіп, басқа теңдеуге сәйкесінше қосу;

4. 0=0 түріндегі теңдеуді сызып тастау.

Гаусс түрлендірулерін жүйенің өзіне қолданғаннан гөрі оның кеңейтілген матрицасына қолданған ұтымды болады. Олай болса жүйенің кеңейтілген матрицасын қарастырайық,

.

 

Осы матрицаны түрлендірулер нәтижесінде мынадай түрге келтіреміз:

Матрицаның элементтері арқылы белгіленіп тұрғанымен, шын мәнінде олар түрлендірулер нәтижесінде өзгерген. Бұл белгілеулер жазуды ықшамдау үшін ғана пайдаланылып отыр.

Соңғы матрицаға сәйкес келетін теңдеулер жүйесі мынадай:

 

(6)

 

Соңғы , ...,  теңдеулеріндегі , ...,  сандарының ең болмағанда біреуі нөлден өзгеше болса, онда берілген теңдеулер жүйесі үйлесімсіз, ал бәрі нолге тең болса жүйе үйлесімді болады.

Жүйенің рангісі жүйедегі белгісіздер санынан кем болса, онда жүйе анықталмаған болатыны жоғарыда айтылған. Айталық (6) жүйе үйлесімді және r<n  болсын.

Егер  коэффициенттерінен құрылған анықтауыш нолден өзгеше болса, онда  айнымалыларды базистік (негізгі) айнымалылар деп, ал басқа n-r  айнымалыларды еркін (негізгі емес) айнымалылар деп атайды.

Еркін айнымалылары нолге тең болған кездегі шешім базистік шешім деп аталады. Базистік шешімдер саны -ден артпайды.

 

Бірнеше мысал қарастырайық.

1-мысал.

 

Шешуі. Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып, элементар түрлендірулер жасайық:

 

 

---

Дата добавления: 2021-11-30; просмотров: 33; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!