С)Ньютон – Лейбниц формуласы(Ньютон - Лейбниц). 8 страница

Анықтама.Егер функциясы нүктеде шекті туындыға ие болса, онда ол осы нүктеде дифференциалданады деп аталады.

Енді функцияның дифференциалымен оның үзіліссіздігінің арасындағы байланысты анықтайық, ол үшін бұл анықтамада - ті ажыратамыз.

Сондықтан

Теорема. Егер функциясының нүктеде дифференциалы бар болса, онда ол бұл нүктеде үзіліссіз болады.

Кері тұжырым дұрыс емес, мысалы, функциясы анықталу облысының барлық нүктелерінде үзіліссіз, бірақ ол нүктесінде дифференциалданбайды, себебі . , ал бұл шек жоқ.

Туындының механикалық мағынасы. Айталықнүкте түзу бойымен қозғалып, уақыт ішінде s(t) жол жүрген болсын.

t уақыт ішінде жүрілген жол.

Онда -ден - ға дейінгі уақыт аралығында жүріп өткен жол

және аралықтағы нүктенің орта жылдамдығы болады. Нүктенің уақыт моментіндегі жылдамдығы - дің шегі болады. .

Демек, нүктенің уақыт моментіндегі жылдамдығы жолдың уақыттағы туындысы екен.

Туындының геометриялық мағынасы. функция графигінің және нүктелері арқылы түзу жүргіземіз. Бұл түзу функция графигінің қиюшысы деп аталады (93 - сурет). Оның бұрыштық коэффициенті, яғни өсінің оң бағытымен жасайтын бұрышының тангенсі

, (1)

мұнда оң да, теріс те мән қабылдауы мүмкін.

y=f(x)

Туындының геометриялық мағынасы.

Анықтама. функция графигіне нүктесінде жүргізілген жанама деп нүктеден өтетін қиюшының үмтылғандағы шектік жағдайын беретін түзуді айтады.

Басқаша айтқанда, нүктеге жүргізілген жанама - бұл бұрыштық коэффициенті болатын нүктеден өтетін түзу.

Егер бар болса, онда (1) теңдіктен

Бұл жағдайда функция графигінің нүктесінде жанамасы бар болады.

Сондықтан, функция графигіне нүктеде жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті болады.

Осы жанаманың теңдеуі мынадай:

Егер жоқ болса, онда функция графигіне нүктеде жанама жүргізу мүмкін емес (мысал, функциясының графигіне нүктесінде жанама жүргізу мүмкін емес).

С)Элементтар функциялардың туындысы

1. , 2. ,

3. , 4. ,

5. , 6. ,

7. , 8. ,

9. , 10. ,

11. , 12. ,

13. .

Туынды

1. Күрделі функцияны дифференциалдау.

Айталық функциясы нүктесінде, ал функциясы ( ) нүктесінде дифференциалдансын, онда күрделі функция нүктесінде дифферециалданады және оның туындысы мына формуламен есептеледі:

Мысалы, 1) - ты есептеу керек.

Функцияны былай жазамыз: , мұнда . Сондықтан

;

2) .

2. Кері функция және оның туындысы.

Айталық функциясының анықталу облысы және мәндер жиыны болсын.

Анықтама. Егер және , яғни анықталу облысы E және мәндер жиыны болатын функциясы функциясына кері функция деп аталады.

координаттар жүйесінде және функциялар бірдей графикке ие, яғни және функцияларының графиктері түзуі бойынша симметриялы болады.

3. Логарифмдiк туынды. функциясының логарифмiнiң туындысын логарифмдiк туынды деп атайды.

Алдын ала логарифмдеу функциядан туынды табуды жеңiлдетедi. Берiлген функцияда логарифмделетiн амалдар (көбейту, бөлу, дәрежелеу және түбiр табу) бар болғанда және дәрежелi-көрсеткiштiк функция болған кезде логарифмдiк туындыны қолданған жөн.

6. Күрделi функцияның туындысын табуға мысалдар

Мысал қарастырайық:

функциясының туындысын табу керек.

Шешуi:, демек, 3-шi формула бойынша

Функция дифференциалы.

А)ФУНКЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

Функция шегінің анықтамасына сүйеніп туынды табу формуласын мынадай түрде көшіріп жазуға болады: ,

мұндағы - ақырсыз аз шама, яғни . Түрлендірейік,

мұндағы - функция өсімшесінің сызықты бөлігі деп аталады және ол өсімшеге пропорционал. Ал шама екі ақырсыз аздың көбейтіндісі ретінде өсімшеге қарағанда жоғары ретті ақырсыз аз шама болады.

Анықтама. Функция өсімшесінің сызықты бөлігі функция дифференциалы деп аталады да, dy деп белгіленеді. Сонымен,

y=xфункциясының дифференциалын табайық: . Демек аргумент дифференциалы оның өсімшесіне тең екен. Олай болса функция дифференциалын мынадай түрде жазамыз: (4)

Егер аргумент өсімшесі абсолют шамасы бойынша аз шама болса, онда функция өсімшесі мен дифференциалы жуық шамамаен тең болады, яғни . Түрлендірейік, . Осыдан,

(5)

(5) формуламен функцияның мәнін жуықтап есептейді. Неғұрлым аз болса, соғұрлым формула дәлірек болады.

В)Дифференциалдау ережелері. u=u(x) және v=v(x) функциялардың әрқайсысы берілгенх нүктесінде дифференциалданатын болса, онда бұл функциялардың қосындысы(айырымы), көбейтіндісі және қатынасы (v(x) 0) сол нүктеде дифференциалданады, және мына формулалар дұрыс болады: