С)Ньютон – Лейбниц формуласы(Ньютон - Лейбниц). 2 страница
, 
, 
, 
,
, 
, 
.
2-анықтама.Үшінші ретті анықтауыштыңaᵢⱼ элементінің Мᵢⱼ миноры деп анықтауыштың i-ші жатық жолын және j-ші тік жолын сызғанда қалған элементтерінен құралған екінші ретті анықтауышты айтады.
Үшінші ретті марицаның 
элементінің миноры мынадай екінші ретті анықтауыш болады:
Мысалы, 
в) 3-ші ретті анықтауыш
үшінші ретті матрицаға 
үшінші ретті анықтауыш сәйкес келеді:
.
Бұл анықтауыштың есептелуін үшбұрыш ережесі немесе Саррус ережесімен оңай есте сақтауға болады. Бұл ереже бойынша алғашқы оң таңбалы үш қосылғыш 1-схема, ал кейінгі теріс таңбалы үш қосылғыш 2-схемамен есептелінеді.
1-схема 2-схема
3.3-ші ретті анықтауыш
Мысалы, мынадай үшінші ретті анықтауышты есептейік:
Реті үштен көп болатын анықтауыштарды есептеу үшін жаңа ұғымдар қажет болады.
Лаплас теоремасы. 
квадрат матрицаның Δ анықтауышы оның кез келген жол элементтерін сәйкес алгебралық толықтауыштарға көбейтіп қосқанға тең: 
- бұл анықтауыштың i–жатық жолы бойынша жіктелініп есептелуі.
- бұл анықтауыштың j–тік жолы бойынша жіктелініп есептелуі.
|
|
|
Алдыңғы мысалдағы 
матрицасының анықтауышын бірінші жатық жолы бойынша жіктеп есептейік:
,
мұндағы алгебралық толықтауыштардың дайын мәндерін алдыңғы мысалдан алдық.
С)Лаплас теоремасы n-ретті анықтауыш есептеуді (n-1)-ретті анықтауыш есептеуге келтіріледі. Сонымен, кез келген n-ретті (n>3) анықтауышты дәрежесін төмендету арқылы екінші ретті анықтауышты есептеуге келтіруге болады екен.
Д)Енді анықтауыш қасиеттерін қарастырайық.
1-қасиет.Анықтауыштың жатық жолдарын сәкес тік жолдарымен алмастырғаннан, яғни транспонерлегеннен, анықтауыш мәні өзгермейді:
.
Теңдіктің дұрыстығын анықтауыштарды есептеу арқылы тексеруге болады.
2-қасиет.Анықтауыштың қандай да бір жолының ортақ көбейткішін анықтауыш алдына шығаруға болады. Үшінші ретті анықтауыштың екінші жолындағы ортақ көбейткішті анықтауыш алдына шығарамыз:
.
Теңдіктің дұрыстығына берілген матрицаны екінші жол бойынша жіктеп тексеруге болады.
3-қасиет.Анықтауыштың екі жолының орнын ауыстырғаннан анықтауыш таңбасы қарама-қарсы таңбаға өзгереді. Үшінші ретті анықтауыштың бірінші және екінші жолдарын алмастырайық:
|
|
|
Теңдіктің дұрыстығын екінші анықтауышты бірінші жол бойынша жіктеп тексеруге болады.
4-қасиет. Егер анықтауыштың екі жолы бірдей болса, онда анықтауыш мәні нолге тең. Үшінші ретті анықтауыштың бірінші және екінші жолдары бірдей болсын:
=0.
Теңдіктің дұрыстығын осы екі жолдың орндарын алмастырып 3-қасиетті қолданып тексеруге болады.
5-қасиет.Анықтауыштың бір жолын қандай да бір санға көбейтіп басқа жолға қосқаннан анықтауыш мәні өзгермейді.Үшінші ретті анықтауыштың бірінші жолын 
-ға көбейтіп екінші жолға қосайық:
.
Теңдіктің дүрыстығын екінші анықтауышты мынадай
+ 
анықтауыштардың қосындысы түрінде жазайық. Сонда бірінші қосылғыш берілген анықтауыш болады да, екінші анықтауыш нолге тең.
6-қасиет.Үшбұрышты матрицаның анықтауышы диагональ бойындағы элементтердің көбейтіндісіне тең:
|
|
|
.
Теңдіктің дұрыстығын анықтауышты бірінші тік немесе үшінші жатық жол бойынша жіктеп тексеруге болады.
Осы қасиеттер көмегімен жоғары ретті анықтауыштар есептеуді көп жеңілдетуге болады. Анықтауышты қандай да бір жолында неғұрлым көп ноль болатындай етіп түрлендіріп, сол жол бойынша жіктеп анықтауыш реті төмендетіледі. Мысалы,мынадай төртінші ретті 
анықтауышты есептейік.
Анықтауышты үшбұрышты түрге келтіреміз. Алдымен 5-қасиет бойынша анықтауыштың бірінші жолын 1-ге көбейтіп үшінші жолға, (-1)-ге көбейтіп төртінші жолға қосайық (есепте көрсетілген). Сонда анықтауыштың бірінші тік жолында 
элементтен басқасы нолге айналады.
Енді осы қасиетті пайдаланып 
элементінің астында тұрған сандарды нолге айналдырамыз. Соңында 
элементінің астында тұрған сандарды нолге айналдырамыз. Анықтауыш үшбұрышты түрге келді. 6-қасиет бойынша анықтауыш мәнін диагональдік элементтерді көбейтіп табамыз.
= 
=
= 
= 
.
Кері матрица.Матрица рангісі
квадрат матрица қарастырайық.
1.Анықтама.Анықтауышы нолге тең матрицаерекше, ал нолге тең емес матрицаерекше емес матрицадеп аталады.
|
|
|
Кез келген 
сан үшін мына 
теңдігін қанағаттандыратындай кері сан табылады. Квадрат матрица үшін де осындай ұғым енгіземіз.
Анықтама.А квадрат матрица үшін мына
теңдікті қанағаттандыратын 
матрица А матрицаның кері матрицасы деп аталады.
Кері матрицаны мына формуламен табады:
,
мұндағы 
-матрица анықтауышы, ал 
-берілген матрицаның 
элементтерінің алгебралық толықтауыштары, i=1,2,…,n; j=1,2,…,n.
Кез келген квадрат матрицаның кері матрицасы бола бермейді.
Теорема(кері матрица болуының қажетті және жеткілікті шарты). Матрицаның кері матрицасы болуы үшін ол ерекше емес ( 
) матрица болуы қажетті және жеткілікті.
Мысал. 
матрицасының кері матрицасын табу керек.
Шешуі. Алдымен анықтауышын есептейік.
= 
= 
.
, яғни кері матрица бар. Енді элементтердің алгебралық толықтауыштарын есептейік.
, 
,
, 
,
, 
,
, 
,
.
Табылған мәндерді формулаға қойып кері матрицаны табамыз.
.
Кері матрицаның дұрыс табылғандығын 
теңдігін тексеру арқылы көз жеткізуге болады:
.
Берілген матрицаға кері матрицаны элементар түрлендірулер әдісімен де табуға болады. Бұл әдіс матрицаға элементар түрлендірулер қолдануға сүйенеді. Матрицаның элементар түрлендірулері деп мынадай түрлендірулерді айтамыз:
1) Матрицаны транспонерлеу;
2) Жолдардың орнын алмастыру;
3) Қандай да бір жолдың барлық элементтерін нолден өзге санға көбейту;
4) Қандай да бір жолдың барлық элементтерін нолден өзге санға көбейтіп басқа жолдың сәйкес элементтеріне қосу;
5) Барлық элементі ноль болатын жолды алып тастау.
Енді кері матрица табу ережесіне көшейік: Берілген 
матрицаның оң жағына бірлік матрица жалғап жазу керек. Сонда 
өлшемді кеңейтілген матрица пайда болады. В матрицаға А матрицасының орнында бірлік матрица пайда болғанға дейін жатық жолдарына элементар түрлендірулер жасалады. Нәтижесінде бірлік матрицаның орнында 
кері матрица пайда болады.
Мысалы, жоғарыдағы қарастырылған 
матрицаның кері матрицасын осы әдіспен тауып көрейік. Берілген матрицаның оң жағына бірлік матрица жазып, элементар түрлендірулер жүргіземіз.
.
Соңында бірлік матрицаның орнында пайда болған матрица кері матрица болады: 
.
Ерекше емес матрицалар үшін мынадай қасиеттер дұрыс болады:
1) 
, 2) 
,
3) 
, 4) 
.
МАТРИЦА РАНГІСІ
mxn өлшемді А матрицаның бірнеше жатық және тік жолдарын сызып тастап k өлшеміді, k 
min(m,n), квадрат матрица алуға болады. Осы квадрат матрица анықтауышы берілген матрицаның k өлшемді миноры деп аталады. 
матрицаның k-өлшемді минорлар саны 
болады.
Анықтама. Матрицаның нолге тең емес минорларының ең үлкен реті матрица рангісі деп аталады:
r=r(A)= rangA .
Анықтамадан бірден мынадай тұжырымдар жасауға болады:
1. матрицасының рангісі оның өлшемдерінің кішісінен артпайды:
r(A) min(m,n).
Дата добавления: 2021-11-30; просмотров: 31; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!