Дисперсія випадкових величин. Властивості.
Дисперсією випадкової величини 
називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини. Дисперсія характеризує розсіювання випадкової величини відносно свого математичного сподівання.
або 
Доведення:
Для дискретної випадкової величини дисперсія: 
Для неперервної: 
Якщо Î [а; b], то 
Властивості дисперсії
1. 
2. Якщо С — стала величина, то
.
3. Якщо і 
- незалежні випадкові величини, то
Коефіцієнт кореляції випадкових величин
Коефіцієнт кореляції – міра залежності випадкових величин.
1. 
і 
- незалежні, ρ=0. 2. | ρ |≤1.
Доведення: 
= 
- стандартизована випадкова величина
, 
.
, 
.
або 
.
3. | 
|=1 
=1, a>0; =-1, a<0
a) 
б) 
, 
, 
, 
| | 
1 – тим сильніша залежність >1 – позитивний звязок (залежність) 
<0 - 
Зауваження: з того, що ρ=0 не впливає незалежність випадкових величин.)
Біноміальний, геометричний та Пуассонівський розподіли. Їх характеристика.
1) Біноміальний розподіл. (Схема Бернулі)
n- нехалежних розподілів
2 результати: - успіх(У) p
-невдача(Н) q
q=1-p p+q=1
- загальна к-сть усіх успіхів; є{0,1,2,…,n}
k- У; (n-k) – Н;
; 
; 
2) Геометричний розподіл.
У – к-сть експериментів, що проводяться до першого успіху
Н – к-сть невдач
3) Пуассонівський розподіл.
Схема Бернулі. Локальна теорема Муавра-Лапласа
Схема Бернулі(Біноміальний розподіл)
n – кількість незалежних випробувань
|
|
|
У – успіх. p 0≤p≤1
Н – невдача. q=1-p p+q=1
ξ – загальна кількість успіхів в n-експериментах
ξ є{0,1,2…n}
1. математичне сподівання 
Дисперсія
Формули:
Локальна теорема Муавра-Лапласа
Доведення
Ф-ла Стірлінга: 
x≤C<+∞
1. 
2. 
Загальне означення випадкової величини
Нехай 
— ймовірнісний простір. Випадковою величиноюназивається функція 
(w) на 
, яка вимірна відносно 
-алгебри 
, тобто така функція, коли при кожному дійсному x
{w : (w) < x} 
.
Функцією розподілу випадкової величини (w)називається функція
F(x ) = P{w : (w) < x}.
Функція розподілу F(х) має властивості: а) неперервна зліва; б) неcпадна на 
; в) F( 
) =0, F ( 
) = 1.
Для кожної функції F (x), що має ці властивості, можна побудувати ймовірнісний простір
і випадкову величину (w) на ньому, яка має функцією розподілу F(х).
Якщо F (х) — функція розподілу випадкової величини , то
P{a<=x<b}=F(b)–F(a), (a < b).
Функція розподілу, щільність випадкових величин.
Випадковою величиною називається функція x(w)наW, яка вимірна відносно s-алгебри Á, тобто така функція, коли при кожному дійсному x {w : x (w) < x} Î Á, де(W, Á, P)- ймовірнісний простір.
|
|
|
Функцію аргументу х, що визначає ймовірність випадкової події (Х < x), називають функцією розподілу ймовірностей:
F(x ) = P{w : x (w) < x}.
Наприклад, F(5)=P(X < 5) означає, що в результаті експерименту випадкова величина Х (дискретна чи неперервна) може набути значення, яке міститься ліворуч від х = 5, що ілюструє рис.
Властивості функції розподілу F(x):
1. 0 ≤ F(x) ≤ 1
2. F(x) є неспадною функцією, тобто: F(x2) ≤ F(x1), якщо x2 > x1
3. 
,(a<b)
4. F(x) – неперервна зліва
5. F(x) –неспадна a<b; F(a) ≤F(b) P(a≤ 
)=F(b)-F(a)>0; F(b) 
F(a)
6. 
a-т. Неперервності. 
7. 
Для кожної функції F (x), що має ці властивості, можна побудувати ймовірнісний простір (W, Á, Р) і випадкову величину x(w) на ньому, яка має функцією розподілу F(х).
Щільність розподілу випадкової величиниx.
Якщо функцію розподілу F(x) випадкової величини x можна подати у вигляді 
то кажуть, що випадкова величина x має щільність розподілу p(x), і таку випадкову величину називають неперервною.
Майже при всіх x виконується рівність F`(x) = p(x). Щільність розподілу p(x) — невід'ємна функція і 
Виконується рівність: 
Властивості щільності:
1. 
; 
2. 
3. 
+O( 
X)
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 710; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!